Enseignement mathématique 1re

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Exercices rituels et automatismes
Exercices rituels
Automatismes
Partie 1 - Information chiffrée
Ch. 1
Analyse de l'information chiffrée
Partie 2 - Probabilités
Ch. 2
De la statistique aux probabilités
Partie 3 - Phénomènes d’évolution
Ch. 3
Croissance linéaire
Ch. 4
Croissance exponentielle
Partie 4 - Dérivation
Ch. 5
Variations instantanées
GeoGebra
Chapitre 6
Pour aller plus loin

Complément sur la dérivation

11 professeurs ont participé à cette page
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Remarque

Cette double-page permet d'approfondir les notions de ce chapitre et de travailler de façon différenciée avec les élèves de la classe, notamment avec les plus à l'aise en mathématiques ou bien avec celles et ceux qui souhaiteraient choisir l'option mathématiques complémentaires en terminale.
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Cours

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Propriété

La fonction inverse définie sur \mathbb{R}^* par f(x)=\frac{1}{x} est dérivable sur tout intervalle de \mathbb{R}^* et sa fonction dérivée est définie, pour tout x \neq 0, par f^{\prime}(x)=\frac{-1}{x^2}.
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Exemple

Pour déterminer la fonction dérivée de la fonction g définie sur ] 0 ;+\infty[ par g(x)=\frac{4 x^2-7}{x}, on écrit, pour x>0, g(x)=\frac{4 x^2}{x}-7 \times \frac{1}{x}=4 x-7 \times \frac{1}{x}. Ainsi, pour tout x>0, g^{\prime}(x)=4-7 \times \frac{-1}{x^2}=4+\frac{7}{x^2}.
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Propriétés

Dérivée d'un produit de fonctions
Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle \mathrm{I}. Alors u \times v est dérivable sur \mathrm{I} et :
(u \times v)^{\prime}=u^{\prime} \times v+u \times v^{\prime}.
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Exercices

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59

Déterminer les expressions des fonctions dérivées des fonctions suivantes définies pour x > 0.

1. f(x)=2 x^2-9 x+\frac{1}{x}

2. g(x)=x^3-10+\frac{3}{x}

3. h(x)=\frac{8 x^2+5 x-1}{x}

4. k(x)=\frac{-5 x^3+3 x^2+4}{x}
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60

Déterminer les expressions des fonctions dérivées des fonctions f, g, h et k suivantes définies pour tout réel x différent de 0.

1. f(x)=\frac{x^2}{2}+\frac{2}{x}

2. g(x)=\frac{4 x^3-0,8 x^2-x+9}{x}

3. h(x)=\frac{1}{2 x}

4. k(x)=\frac{-1}{3 x}
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61

En utilisant sa fonction dérivée, démontrer que la fonction inverse est décroissante sur ]-\infty ; 0[ et sur ] 0 ;+\infty[.

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62

Construire le tableau de variations de la fonction f définie sur ]-2\:; 0[ par f(x)=x^2-\frac{2}{x}.
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63

Sur le graphique ci-dessous, identifier les courbes représentatives de f : x \mapsto \frac{1}{5 x} et de sa fonction dérivée. Justifier.

Placeholder pour GraphiqueGraphique
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64

La consommation en litre pour 100 km d'un véhicule est donnée, en fonction de sa vitesse x, en km/h, pour 20 \leqslant x \leqslant 100 par :
f(x)=\frac{0,5 x^2-36 x+800}{x}.
1. Exprimer f^{\prime}(x) en fonction de x \in[20 ; 100].

2. En déduire le signe de f^{\prime}(x) sur son ensemble de définition, puis les variations de f sur [20 ; 100].

3. Pour quelle vitesse du véhicule la consommation est-elle minimale ? Calculer cette consommation.
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65

La vitesse d'une onde sonore en eau profonde est modélisée, en fonction de sa longueur d'onde x comprise entre 0,5 m et 50 m, par :
v(x)=1\;000 \sqrt{x+\frac{1}{x}}.
Afin de déterminer pour quelle longueur d'onde cette vitesse est minimale, on cherche le minimum sur l'intervalle [0,5 ; 50] de la fonction f=v^2, définie par f(x)=1\;000\;000 \times\left(x+\frac{1}{x}\right).

Placeholder pour Sous l'eauSous l'eau
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1. Exprimer f^{\prime}(x) en fonction de x.

2. Dresser le tableau de signes de f^{\prime}, puis le tableau de variations de f sur [0,5 ; 50].

3. En déduire la vitesse minimale d'une onde sonore dans l'eau.
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66

Une agricultrice produit du lait. Elle estime que le coût de production en euro est donné, en fonction du volume produit en mètre cube, par :

C(x)=3 x^3-2,5 x^2+300 x+200.
On définit le coût moyen pour tout x > 0 par :

\mathrm{C}_{\mathrm{M}}(x)=\frac{\mathrm{C}(x)}{x}.
Placeholder pour Vaches dans un préVaches dans un pré
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1. Donner l'expression de \mathrm{C}_{\mathrm{M}}(x) en fonction de x , puis celle de sa dérivée.

2. À l'aide d'une table de valeurs de \mathrm{C}_M^{\prime}(x), créée à l'aide d'un tableur par exemple, construire le tableau de signes de \mathrm{C}_M^{\prime}(x), le tableau de variations de \mathrm{C_M} et déterminer le volume de lait, arrondi au mètre cube, pour lequel le coût moyen est minimal.
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3. Déterminer le coût moyen minimal.
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67

Un producteur de safran estime que le coût de production de x kg de safran est donné, en euro, par C(x)=x^3-18 x^2+124 x+200.

Le coût moyen par kg de safran, exprimé en euro, sur une production de x kg est défini pour tout x>0 par \mathrm{C}_{\mathrm{M}}(x)=\frac{\mathrm{C}(x)}{x}.

1. Donner l'expression du coût moyen en fonction de x.

2. Montrer que, pour tout x > 0 :

\mathrm{C}_{\mathrm{M}}^{\prime}(x)=\frac{2(x-10)\left(x^2+x+10\right)}{x^2}.
Aide
On pourra commencer par montrer que, pour tout x>0, \mathrm{C}_{\mathrm{M}}^{\prime}(x)=\frac{2 x^3-18 x^2-200}{x^2}.

3. En déduire le tableau de signes de \mathrm{C}_{\mathrm{M}}^{\prime}(x), puis le coût moyen minimal. Pour quelle masse produite est-il atteint ?
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68

Soit f la fonction définie, pour tout réel x, par f(x)=\left(x^2+4 x-5\right)(7 x+2).

1. Développer f(x) et en déduire f^{\prime}(x) pour tout réel x.

2. Retrouver ce résultat en utilisant la propriété de dérivation d'un produit de fonctions.
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69

Soit g la fonction définie, pour tout réel x, par g(x)=\left(-2 x^3-3 x+1\right)(7 x+2).

1. Développer g(x). Peut‐on en déduire g^{\prime}(x) ?

2. Déterminer, pour tout réel x, une expression de g^{\prime}(x) en utilisant la propriété de dérivation d'un produit de fonctions.
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70

L'objectif de cet exercice est de conjecturer une expression de la dérivée de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^n, où n \in \mathbb{N}.

1. Rappeler les expressions des dérivées des fonctions cube, carré et identité.

2. a. On cherche ici à déterminer la dérivée de la fonction g définie par g(x)=x^4. Écrire g comme un produit de fonctions de référence, puis déterminer une expression de g^{\prime}.

b. On cherche ici à déterminer la dérivée de la fonction h définie par h(x)=x^5. Écrire h comme un produit de fonctions de référence, puis déterminer une expression de h^{\prime}.

c. Conjecturer une expression de la dérivée de la fonction f.
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