3. Étude des variations d'une fonction

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Suite à une épidémie dans une région, le nombre de personnes malades $t$ jours après l'apparition des premiers cas est modélisé par $f(t)=45t^2-t^3+100$, pour tout $t$ appartenant à $[0;45]$.

1. Déterminer le nombre de personnes malades prévu par ce modèle au bout de $10$ jours.

Insérer une formule mathématique

2. Montrer que, pour tout $t$ appartenant à $[0;45]$ :

$f^{\prime }(t)=3t(30-t)$

Insérer une formule mathématique

3. Déterminer le signe de $f^{\prime }(t)$ sur $[0;45]$ et en déduire les variations de $f$.

Insérer une formule mathématique

4. Déterminer le jour où le nombre de personnes malades est maximal durant cette période de $45$ jours et préciser le nombre de personnes alors malades.

Insérer une formule mathématique

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Environnement

Lors du transport de l'énergie électrique entre le lieu de production et le lieu de consommation, une partie de cette énergie est dissipée sous forme de chaleur : c'est l'effet Joule. Ces pertes s'élèvent en France à $2,5$ % de la production annuelle et sont atténuées en utilisant des lignes à haute tension qui permettent de réduire l'intensité.

Dans cet exercice, on étudie un réseau électrique simplifié où la puissance totale dissipée est donnée, en mégawatt (MW), par $\mathrm{P}(x)=2,4x^2-x+0,6$ avec $x$ l'intensité en sortie d'une source, exprimée en kiloampère (kA).



1. Déterminer l'expression de ${\mathrm{P}}^{\prime }(x)$ en fonction de $x$.

2. En déduire le tableau de signes de ${\mathrm{P}}^{\prime }$, puis les variations de $\mathrm{P}$ sur l'intervalle $[0;1]$.

3. Pour quelle intensité la puissance dissipée par effet Joule est-elle minimale ? Que vaut alors cette puissance minimale ?

4. L'énergie dissipée est calculée en multipliant la puissance dissipée, en watt, par le temps, en heure. Calculer l'énergie minimale dissipée en une journée.

Apprenez-en plus sur l'effet Joule

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