Enseignement mathématique 1re

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Exercices rituels et automatismes
Exercices rituels
Automatismes
Partie 1 - Information chiffrée
Ch. 1
Analyse de l'information chiffrée
Partie 2 - Probabilités
Ch. 2
De la statistique aux probabilités
Partie 3 - Phénomènes d’évolution
Ch. 3
Croissance linéaire
Ch. 4
Croissance exponentielle
Partie 4 - Dérivation
Ch. 5
Variations instantanées
GeoGebra
Chapitre 6
Exercices d'entraînement

3. Étude des variations d'une fonction

12 professeurs ont participé à cette page
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45

Soit f la fonction définie pour tout réel x par :
f(x)=3(x-2)^2

1. Montrer que, pour tout réel x, f(x)=3 x^2-12 x+12.
2. En déduire une expression de f^{\prime}(x) puis déterminer le tableau de variations de f sur \mathbb{R}.
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46

Construire les tableaux de variations des fonctions f et g définies sur [-10 ; 10] par f(x)=x^2-7 x+9 et g(x)=-x^3+48 x-100
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47

Construire les tableaux de variations des fonctions f et g définies pour tout x \in[-2 ; 2] par f(x)=0,4 x^2-0,25 x-1 et g(x)=x^3+3 x^2+3 x-2.
Préciser les extremums de f et de g sur [-2 ; 2].

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48
Exercice inversé

Construire la courbe représentative d'une fonction f dont la dérivée admet le tableau de signes suivant.

Tableau de signes
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49
Exercice inversé

Construire la courbe représentative d'une fonction f dont la dérivée admet le tableau de signes suivant.

Tableau de signe
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50

Dans le graphique ci‐dessous, on a représenté une fonction et sa fonction dérivée.

Graphique
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Retrouver, parmi ces deux courbes, laquelle représente la fonction dérivée. Justifier.
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51
En économie

Une usine de fabrication de voitures estime que le coût de production, en millier d'euros, de x voitures en une semaine est donnée par la fonction \mathrm{C} définie par \mathrm{C}(x)=0,1 x^3-2,52 x^2+26 x+2.

Le coût marginal \mathrm{C}_m(x) représente le coût de production d'une unité supplémentaire quand on en a déjà produit x. On admet que \mathrm{C}_m(x) peut être approché par \mathrm{C}^{\prime}(x).

Placeholder pour UsineUsine
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1. Déterminer l'expression de \mathrm{C}_m(x).

2. En utilisant la dérivée de \mathrm{C}_m(x), déterminer la quantité pour laquelle le coût marginal est minimal.
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52
Fil rouge

Soit \mathrm{S} la fonction qui donne la surface, exprimée en cm2, d'une canette cylindrique de 33 cL en fonction de son rayon r exprimé en cm. On a représenté ci‐dessous la fonction \mathrm{S}^{\prime}.

Graphique
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Par lecture graphique, déterminer une valeur approchée du rayon pour lequel \mathrm{S} est minimale.
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53

Suite à une épidémie dans une région, le nombre de personnes malades t jours après l'apparition des premiers cas est modélisé par f(t)=45 t^2-t^3+100, pour tout t appartenant à [0 ; 45].

1. Déterminer le nombre de personnes malades prévu par ce modèle au bout de 10 jours.

2. Montrer que, pour tout t appartenant à [0 ; 45] :
f^{\prime}(t)=3 t(30-t)

3. Déterminer le signe de f^{\prime}(t) sur [0 ; 45] et en déduire les variations de f.

4. Déterminer le jour où le nombre de personnes malades est maximal durant cette période de 45 jours et préciser le nombre de personnes alors malades.

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54
Environnement

Lors du transport de l'énergie électrique entre le lieu de production et le lieu de consommation, une partie de cette énergie est dissipée sous forme de chaleur : c'est l'effet Joule. Ces pertes s'élèvent en France à 2,5 % de la production annuelle et sont atténuées en utilisant des lignes à haute tension qui permettent de réduire l'intensité.

Dans cet exercice, on étudie un réseau électrique simplifié où la puissance totale dissipée est donnée, en mégawatt (MW), par \mathrm{P}(x)=2,4 x^2-x+0,6 avec x l'intensité en sortie d'une source, exprimée en kiloampère (kA).

Placeholder pour Tour électriqueTour électrique
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1. Déterminer l'expression de \mathrm{P}^{\prime}(x) en fonction de x.

2. En déduire le tableau de signes de \mathrm{P^{\prime}}, puis les variations de \mathrm{P} sur l'intervalle [0 ; 1].

3. Pour quelle intensité la puissance dissipée par effet Joule est-elle minimale ? Que vaut alors cette puissance minimale ?

4. L'énergie dissipée est calculée en multipliant la puissance dissipée, en watt, par le temps, en heure. Calculer l'énergie minimale dissipée en une journée. .

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Défis !

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55

On dispose d'un grillage de 16 m de long et on veut former un enclos rectangulaire dont l'un des quatre côtés est un mur. Les trois autres côtés sont formés par le grillage. Déterminer les dimensions de cet enclos de sorte que l'aire soit maximale.
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56

Donner une fonction polynomiale de degré 3 ayant le tableau de variations suivant.

Tableau de variation
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57

Soit \mathrm{ABCD} un carré et \mathrm{E}, \mathrm{F}, \mathrm{G} et \mathrm{H} quatre points appartenant respectivement au segment \mathrm{[AB]}, \mathrm{[BC]}, \mathrm{[CD]} et \mathrm{[DA]} tels que \mathrm{AE = BF = CG = DH}.

Figure
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Où placer le point \mathrm{E} pour que l'aire du carré \mathrm{EFGH} soit minimale ?
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58

Montrer que la courbe représentative de f: x \mapsto x^3+x n'admet pas de tangente horizontale.
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