2. Dérivées des fonctions de référence

36

Déterminer sur $\mathbb{R}$ l'expression de la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes.

1. $f:x\mapsto x^2+3x-2$

2. $g:x\mapsto 5x^3-4x^2+8$

3. $h:x\mapsto x^3+x^2+x+1$

4. $j:x\mapsto -2x^3-5x+8x^2+1$

37

Déterminer sur $\mathbb{R}$ l'expression de la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes.

1. $f:x\mapsto 0,3x^2+4x-6$

2. $g:x\mapsto 2-9x^2$

3. $h:x\mapsto 5x^3+18x-15$

4. $j:x\mapsto \frac{4}{3}{x}^3+\frac{5}{2}{x}^2$

38

Déterminer sur $\mathbb{R}$ l'expression de la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes.

1. $f:x\mapsto \frac{x^2-5x-7}{4}$

Insérer une formule mathématique

2. $g:x\mapsto 1-x^2-x^3$

Insérer une formule mathématique

3. $h:x\mapsto x\left(x^2+1,2x+8\right)$

Insérer une formule mathématique

4. $j:x\mapsto (x-3{)}^2$

Insérer une formule mathématique

39

Copie d'élève

Pour déterminer l'expression de la fonction dérivée de la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$, par $f(x)=6-10,2x^2$, Ahmed écrit le raisonnement suivant.

Je remplace $x^2$ par $2x$, j'obtiens

$f^{\prime }(x)=6-10,2\times 2x=6-20,4x.$

Corriger son erreur et écrire un raisonnement correct.

40

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par :

$f(x)=0,25x^2+0,5x-3.$

Montrer que la courbe représentative de $f$ admet une tangente horizontale et donner son équation réduite.

41

Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par :

$g(x)=12x^3-30x^2+25x-10$

1. a. Déterminer l'expression de $g^{\prime }$, la fonction dérivée de $g$.

b. Montrer que, pour tout réel $x$, $g^{\prime }(x)=(6x-5{)}^2$.

2. Justifier que la courbe représentative de $g$ admet une seule tangente horizontale et donner son équation réduite.

42

En physique

Roger frappe une balle de tennis depuis une hauteur de $2$ m pour lui donner une vitesse initiale de $68,6$ m/s.

On modélise l'altitude de la balle à l'instant $t⩾0$ par la fonction $z$ définie par $z(t)=-4,9t^2+6,86t+2$.



1. La vitesse de la balle peut être décomposée en deux composantes : une composante horizontale et une composante verticale. Montrer que la vitesse verticale de la balle est nulle au bout de $0,7$ s.

2. Quelle altitude a-t-elle atteinte à ce moment-là ?

43

Fil rouge

Une canette cylindrique de volume $33$ cL admet une surface totale $\mathrm{S}$ (surface latérale ainsi que le haut et le bas) exprimée en cm² en fonction de son rayon $r$ donné en cm. On admet que la courbe ci‐dessous est celle de $\mathrm{S}$ en fonction de $r$ et que la dérivée de cette fonction est définie par ${\mathrm{S}}^{\prime }(r)=\frac{4\pi r^3-660}{r^2}$, pour tout rayon $r>0$.



1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $4\pi r^3-660=0$.

2. À quoi correspond ce résultat sur le graphique ?