Méthodes et automatismes

Soit $f$ la fonction définie, pour tout réel $x$, par $f(x)=-2x^3+0,5x^2+0,2x-1.$
Donner, pour tout réel $x$, l'expression de $f^{\prime }(x)$.

Pour tout réel $x$,
$f(x)=-2\times x^3+0,5\times x^2+0,2\times x-1$ donc $f^{\prime }(x)=-2\times 3x^2+0,5\times 2x+0,2\times 1-0$.

En simplifiant, on obtient, pour tout réel $x,f^{\prime }(x)=-6x^2+x+0,2$.

• Dans l'expression de f , on fait apparaître les fonctions de référence $x^3$, $x^2$ et $x$, ainsi que les nombres par lesquels elles sont multipliées.


• Pour déterminer l'expression de $f^{\prime }$, on calcule les dérivées respectives pour faire apparaître les expressions $3x^2$, $2x$ et $1$.


• On simplifie l'expression.

4

À l'oral

Rappeler l'expression de la fonction dérivée de la fonction identité. En déduire les expressions des dérivées des fonctions $x\mapsto 0,2x\text{ et }x\mapsto -\frac{x}{3}$.

5

À l'oral

Rappeler l'expression de la fonction dérivée de la fonction carré. En déduire l'expression de la fonction dérivée de $x\mapsto -x^2$.

6

À l'oral

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4x^2+1$. Parmi les expressions suivantes, laquelle est celle de la dérivée de $f$ ?

7

Regrouper les fonctions suivantes par couple fonction/fonction dérivée.

8

Déterminer l'expression de la fonction dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=12-1,5x^2+6x^3.$

9

Déterminer l'expression de la fonction dérivée de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$g(x)=-x^3+7x+7.$

10

Déterminer l'expression de la fonction dérivée de la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$h(x)=\frac{4}{5}{x}^2-x-1.$

11

Déterminer l'expression de la dérivée de la fonction $k$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$k(x)=\frac{x^3+3x^2-3x+6}{3}.$

12

Déterminer les expressions des fonctions dérivées de $f:x\mapsto 9-x^2\text{ et }g:x\mapsto -x^2+1$.

Que remarque-t-on ?

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Déterminer l'expression de la fonction dérivée de $\ell :x\mapsto 4x^2-3x+7$ et donner l'expression d'une autre fonction qui admet la même fonction dérivée.

Soit $g$ la fonction définie sur $[-10;10]$ par $g(x)=1,2x^2-6x-1$.
La courbe représentative de $g$ admet-elle une ou plusieurs tangentes horizontales sur son ensemble de définition ? Si oui, donner une équation de chacune de ces tangentes.

Soit $x\in [-10;10]$.
Il existe une tangente horizontale au point d'abscisse $x$ si, et seulement si, $g^{\prime }(x)=0$.
Or, pour tout $x\in [-10;10]$, $g^{\prime }(x)=1,2\times 2x-6-0=2,4x-6$.
On a alors :

$2,4x-6=0\iff 2,4x=6\iff x=\frac{6}{2.4}\iff x=2,5.$

Finalement, il existe une et une seule tangente horizontale, au point d'abscisse $2,5$.
Par ailleurs, $g(2,5)=1,2\times 2,5^2-6\times 2,5-1=-8,5$ donc l'équation réduite de cette tangente est $y=-8,5$.

14

À l'oral

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x+2$.

Justifier que la courbe représentative de cette fonction n'admet aucune tangente horizontale.

15

À l'oral

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=3x^2$.

Combien de tangentes horizontales la courbe représentative de cette fonction admet-elle ? Justifier.

16

À l'oral

La courbe ci-dessous représente une fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$. Déterminer l'équation réduite des deux tangentes horizontales à cette courbe.

17

Montrer que la courbe représentative de $f:x\mapsto x^3-1$ admet une unique tangente horizontale. En quelle abscisse ?

18

La fonction $h:x\mapsto x^3-300x+2$ admet-elle des tangentes horizontales ? En quels points ?

19

Montrer que la courbe représentative de $g:x\mapsto 0,1x^2-x+2,5$ admet pour tangente horizontale la droite d'équation $y=0$.

20

Montrer que la courbe représentative de $k:x\mapsto 5x^3-135x+9$ admet deux tangentes horizontales, aux points d'abscisse $x_1=-3\text{ et }{x}_2=3$.

Quelles sont les équations de ces tangentes ?

On détermine les variations de $f$ à partir du tableau de signes de sa dérivée. Les extremums se déduisent du tableau de variations.
Plus précisément :

• on détermine l'expression de $f^{\prime }(x);$


• on résout $f^{\prime }(x)=0$ et on en déduit le signe de $f^{\prime }(x)$ sur l'intervalle d'étude ;


• on détermine les variations de $f$ sur l'intervalle d'étude en utilisant le signe de la dérivée.

Pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)=4\times 1-7\times 2x=4-14x$.

$f^{\prime }(x)=0\iff 4-14x=0\iff x=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}.$

Puisque $f^{\prime }$ est une fonction affine de coefficient directeur négatif, on construit le tableau de signes de $f^{\prime }(x)$ puis on en déduit les variations de $f.$


On en déduit que $f$ admet un maximum atteint en $x=\frac{2}{7}$ et valant $f\left(\frac{2}{7}\right)=4\times \frac{2}{7}-7\times {\left(\frac{2}{7}\right)}^2=\frac{4}{7}$.

21

À l'oral

Le tableau suivant est le tableau de signes de la fonction dérivée $g^{\prime }$ d'une fonction $g$.

La fonction $g$ admet-elle un extremum ? Justifier.

22

À l'oral

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$h(x)=x^2-2x+3.$

Déterminer les variations de $h$ sur $\mathbb{R}$.

23

En utilisant la fonction dérivée, déterminer les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x+2$.

24

Compléter le tableau de variations de $g$ d'après le signe de $g^{\prime }(x)$.
On donne $g(-1)=5$.

25

Compléter le tableau de variations de $f$ d'après le signe de $f^{\prime }(x)$.
On donne $f(-1)=-1$ et $f(0)=0$.

26

Construire le tableau de variations de la fonction $f$ définie sur $[0;30]$ par :

$f(x)=27x^2-6x+1.$

27

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$h(x)=x^3+x+1.$

1. Déterminer l'expression de $h^{\prime }(x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

2. Déterminer le signe de $3x^2+1$ en fonction de $x\in \mathbb{R}$.

3. En déduire les variations de $h$ sur $\mathbb{R}$.

On observe le signe de la dérivée et on applique le cours :

• si la dérivée $f^{\prime }$ est positive sur un intervalle $\mathrm{J}$, alors la fonction $f$ est croissante sur $\mathrm{J}$ ;


• si la dérivée $f^{\prime }$ est négative sur un intervalle $\mathrm{J}$, alors la fonction $f$ est décroissante sur $\mathrm{J}$ ;

Le signe de $f^{\prime }$ donne les variations de $f$.
On observe sur le graphique que $f^{\prime }$ est positive sur $]-\infty ;-1]$, négative sur $[-1;2]$ et à nouveau positive sur $[2;+\infty [$.
On en déduit alors les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Donc $f$ est croissante sur $]-\infty ;-1]$, décroissante sur $[-1;2]$ et croissante sur $[2;+\infty [$.

28

À l'oral

La courbe ci-dessous représente une fonction $g$. Déterminer, en justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. $g^{\prime }$ s'annule deux fois sur $[-1;1]$.

2. $g^{\prime }$ est positive sur $]-\infty ;-0,5]$ et négative sur $[-0,5;+\infty [$.

29

On considère deux fonctions $h$ et $g$ définies sur $[-4;4]$ dont on donne les représentations graphiques de leur fonction dérivée $h^{\prime }$ et $g^{\prime }$.

1. Déterminer graphiquement le signe de $h^{\prime }$ ainsi que celui de $g^{\prime }$ sur $[-4;4].$

2. En déduire les variations des fonctions $h$ et $g$ sur $[-4;4].$