Enseignement mathématique 1re

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Exercices rituels et automatismes
Exercices rituels
Automatismes
Partie 1 - Information chiffrée
Ch. 1
Analyse de l'information chiffrée
Partie 2 - Probabilités
Ch. 2
De la statistique aux probabilités
Partie 3 - Phénomènes d’évolution
Ch. 3
Croissance linéaire
Ch. 4
Croissance exponentielle
Partie 4 - Dérivation
Ch. 5
Variations instantanées
GeoGebra
Chapitre 6
Méthodes

Méthodes et automatismes

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Méthode 1
Déterminer l'expression de la dérivée d'une fonction polynomiale

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Énoncé
Soit f la fonction définie, pour tout réel x, par f(x)=-2 x^3+0,5 x^2+0,2 x-1.
Donner, pour tout réel x, l'expression de f'(x).
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Solution
Pour tout réel x,
f(x)=-2 \times {\color{#007db6}x^3}+0,5 \times {\color{#cc1f59}x^2}+0,2 \times {\color{#5438e0}x}-{\color{#00614e}1} donc f^{\prime}(x)=-2 \times {\color{#007db6}3 x^2}+0,5 \times {\color{#cc1f59}2 x}+0,2 \times {\color{#5438e0}1}-{\color{#00614e}0}.

En simplifiant, on obtient, pour tout réel x, f^{\prime}(x)=-6 x^2+x+0,2.
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Méthode

  • Dans l'expression de f , on fait apparaître les fonctions de référence {\color{#007db6}x^3}, {\color{#cc1f59}x^2} et {\color{#5438e0}x}, ainsi que les nombres par lesquels elles sont multipliées.

  • Pour déterminer l'expression de f', on calcule les dérivées respectives pour faire apparaître les expressions {\color{#007db6}3x^2}, {\color{#cc1f59}2x} et {\color{#5438e0}1}.

  • On simplifie l'expression.

Attention
on ne dérive qu'une seule fois ! Les termes en x^2 qui apparaissent dans l'expression de f' ne doivent pas être remplacés par 2x.
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Automatismes

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4
À l'oral

Rappeler l'expression de la fonction dérivée de la fonction identité. En déduire les expressions des dérivées des fonctions x \mapsto 0,2 x \text { et } x \mapsto-\frac{x}{3}.
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5
À l'oral

Rappeler l'expression de la fonction dérivée de la fonction carré. En déduire l'expression de la fonction dérivée de x \mapsto -x^2.
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6
À l'oral

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=4 x^2+1. Parmi les expressions suivantes, laquelle est celle de la dérivée de f ?

1. g(x)=8 x+1
2. h(x)=9
3. j(x)=8 x
4. k(x)=8 x^2
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7

Regrouper les fonctions suivantes par couple fonction/fonction dérivée.
FonctionFonction dérivée
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8

Déterminer l'expression de la fonction dérivée de la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f(x)=12-1,5 x^2+6 x^3.
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9

Déterminer l'expression de la fonction dérivée de la fonction g définie sur \mathbb{R} par :
g(x)=-x^3+7 x+7.
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10

Déterminer l'expression de la fonction dérivée de la fonction h définie sur \mathbb{R} par :
h(x)=\frac{4}{5} x^2-x-1.
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11

Déterminer l'expression de la dérivée de la fonction k définie sur \mathbb{R} par :
k(x)=\frac{x^3+3 x^2-3 x+6}{3}.
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12

Déterminer les expressions des fonctions dérivées de f: x \mapsto 9-x^2 \text { et } g: x \mapsto-x^2+1.

Que remarque-t-on ?
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13

Déterminer l'expression de la fonction dérivée de \ell : x \mapsto 4 x^2-3 x+7 et donner l'expression d'une autre fonction qui admet la même fonction dérivée.
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Méthode 2
Utiliser l'expression de la fonction dérivée pour déterminer une tangente horizontale

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Énoncé
Soit g la fonction définie sur [-10 ; 10] par g(x)=1,2 x^2-6 x-1.
La courbe représentative de g admet-elle une ou plusieurs tangentes horizontales sur son ensemble de définition ? Si oui, donner une équation de chacune de ces tangentes.
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Méthode

  • Puisqu'on recherche une tangente horizontale en un point, alors le nombre dérivé en ce point est nul.

  • On détermine l'expression de g^{\prime}(x).

  • On résout l'équation g^{\prime}(x)=0.

  • La solution x_0 obtenue est l'abscisse où la tangente à la courbe représentative de g est horizontale.

  • On calcule g\left(x_0\right) :
    l'équation réduite de la tangente horizontale est donnée par y=g\left(x_0\right).

Courbe
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Solution
Soit x \in[-10 ; 10].
Il existe une tangente horizontale au point d'abscisse x si, et seulement si, g^{\prime}(x)=0.
Or, pour tout x \in[-10 ; 10], g^{\prime}(x)=1,2 \times 2 x-6-0=2,4 x-6.
On a alors :
2,4 x-6=0 \Leftrightarrow 2,4 x=6 \Leftrightarrow x=\frac{6}{2.4} \Leftrightarrow x=2,5.
Finalement, il existe une et une seule tangente horizontale, au point d'abscisse 2,5.
Par ailleurs, g(2,5)=1,2 \times 2,5^2-6 \times 2,5-1=-8,5 donc l'équation réduite de cette tangente est y=-8,5.
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Automatismes

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14
À l'oral

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=3 x+2.

Justifier que la courbe représentative de cette fonction n'admet aucune tangente horizontale.
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15
À l'oral

On considère la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x)=3 x^2.

Combien de tangentes horizontales la courbe représentative de cette fonction admet-elle ? Justifier.
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16
À l'oral

La courbe ci-dessous représente une fonction h définie sur \mathbb{R}. Déterminer l'équation réduite des deux tangentes horizontales à cette courbe.

courbe
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17

Montrer que la courbe représentative de f: x \mapsto x^3-1 admet une unique tangente horizontale. En quelle abscisse ?
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18

La fonction h: x \mapsto x^3-300 x+2 admet-elle des tangentes horizontales ? En quels points ?
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19

Montrer que la courbe représentative de g: x \mapsto 0,1 x^2-x+2,5 admet pour tangente horizontale la droite d'équation y=0.
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20

Montrer que la courbe représentative de k: x \mapsto 5 x^3-135 x+9 admet deux tangentes horizontales, aux points d'abscisse x_1=-3 \text { et } x_2=3.

Quelles sont les équations de ces tangentes ?
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Méthode 3
Étudier les variations et les extremums d'une fonction sur un intervalle

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Énoncé
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=4 x-7 x^2.
Déterminer les variations de f sur \mathbb{R} et préciser son extremum.
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Méthode

On détermine les variations de f à partir du tableau de signes de sa dérivée. Les extremums se déduisent du tableau de variations.
Plus précisément :
  • on détermine l'expression de f^{\prime}(x);

  • on résout f^{\prime}(x)=0 et on en déduit le signe de f^{\prime}(x) sur l'intervalle d'étude ;

  • on détermine les variations de f sur l'intervalle d'étude en utilisant le signe de la dérivée.
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Solution
Pour tout réel x, f^{\prime}(x)=4 \times 1-7 \times 2 x=4-14 x.
f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 4-14 x=0 \Leftrightarrow x=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}.

Puisque f' est une fonction affine de coefficient directeur négatif, on construit le tableau de signes de f^{\prime}(x) puis on en déduit les variations de f.

tableau de variation
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On en déduit que f admet un maximum atteint en x=\frac{2}{7} et valant f\left(\frac{2}{7}\right)=4 \times \frac{2}{7}-7 \times\left(\frac{2}{7}\right)^2=\frac{4}{7}.
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Automatismes

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21
À l'oral

Le tableau suivant est le tableau de signes de la fonction dérivée g' d'une fonction g.
tableau de variation
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La fonction g admet-elle un extremum ? Justifier.
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22
À l'oral

Soit h la fonction définie sur \mathbb{ R} par :
h(x)=x^2-2 x+3.
Déterminer les variations de h sur \mathbb{R}.
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23

En utilisant la fonction dérivée, déterminer les variations de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=3 x+2.
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24

Compléter le tableau de variations de g d'après le signe de g^{\prime}(x).
On donne g(-1)=5.
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25

Compléter le tableau de variations de f d'après le signe de f^{\prime}(x).
On donne f(-1)=-1 et f(0)=0.
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26

Construire le tableau de variations de la fonction f définie sur [0 ; 30] par :

f(x)=27 x^2-6 x+1.

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27

Soit h la fonction définie sur \mathbb{R} par :

h(x)=x^3+x+1.

1. Déterminer l'expression de h^{\prime}(x) pour tout x \in \mathbb{R}.

2. Déterminer le signe de 3 x^2+1 en fonction de x \in \mathbb{R}.

3. En déduire les variations de h sur \mathbb{R}.
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Méthode 4
Étudier les variations d'une fonction à partir du graphe de sa dérivée

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Énoncé
On considère une fonction f définie sur \mathbb{R}. La courbe ci-contre représente la fonction dérivée de f notée f'.
Déterminer les variations de la fonction f sur \mathbb{R}.
courbe
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Méthode

On observe le signe de la dérivée et on applique le cours :
  • si la dérivée f' est positive sur un intervalle \mathrm{J}, alors la fonction f est croissante sur \mathrm{J} ;

  • si la dérivée f' est négative sur un intervalle \mathrm{J}, alors la fonction f est décroissante sur \mathrm{J} ;

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Solution
Le signe de f' donne les variations de f.
On observe sur le graphique que f' est positive sur ]-\infty ;-1], négative sur [-1 ; 2] et à nouveau positive sur [2 ;+\infty[.
On en déduit alors les variations de f sur \mathbb{R}.
tableau de variation
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Donc f est croissante sur ]-\infty ;-1], décroissante sur [-1 ; 2] et croissante sur [2 ;+\infty[.
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Automatismes

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28
À l'oral

La courbe ci-dessous représente une fonction g. Déterminer, en justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
courbe
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1. g' s'annule deux fois sur [-1 ; 1].

2. g' est positive sur ]-\infty ;-0,5] et négative sur [-0,5 ;+\infty[.
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29

On considère deux fonctions h et g définies sur [-4 ; 4] dont on donne les représentations graphiques de leur fonction dérivée h' et g'.
courbe
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1. Déterminer graphiquement le signe de h' ainsi que celui de g' sur [-4 ; 4].

2. En déduire les variations des fonctions h et g sur [-4 ; 4].
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30

Soit f une fonction dont la dérivée admet le tableau de signes suivant. Tracer à main levée une représentation graphique possible de f.
tableau
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