Variations globales

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-4x^2+5x-2$. On souhaite déterminer les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ et déterminer ses éventuels extremums.
Pour cela, on détermine la fonction dérivée de $f$.
Pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f^{\prime }(x)=-4\times 2x+5\times 1-0=-8x+5$.
La fonction $f^{\prime }$ est une fonction affine dont le coefficient directeur, égal à $-8$, est négatif. Elle est donc décroissante. On détermine la valeur de $x$ pour laquelle elle s'annule :

$f^{\prime }(x)=0\iff -8x+5=0\iff x=\frac{-5}{-8}=\frac{5}{8}$

On en déduit alors le tableau de signes suivant.

Ainsi, sur l'intervalle $]-\infty ;\frac{5}{8}]$, $f^{\prime }$ est positive donc $f$ est croissante et, sur l'intervalle $[\frac{5}{8};+\infty [$, $f^{\prime }$ est négative donc $f$ est décroissante. On résume cela dans un tableau de variations.

$f$ admet donc un maximum atteint en $x=\frac{5}{8}$.
Ce maximum vaut $f\left(\frac{5}{8}\right)=-4\times {\left(\frac{5}{8}\right)}^2+5\times \frac{5}{8}-2=-\frac{25}{16}+\frac{25}{8}-2=-\frac{7}{16}$.
On remarque que le maximum de $f$ est un nombre négatif. On peut en déduire que la fonction $f$ est toujours négative.