Enseignement mathématique 1re

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Exercices rituels et automatismes
Exercices rituels
Automatismes
Partie 1 - Information chiffrée
Ch. 1
Analyse de l'information chiffrée
Partie 2 - Probabilités
Ch. 2
De la statistique aux probabilités
Partie 3 - Phénomènes d’évolution
Ch. 3
Croissance linéaire
Ch. 4
Croissance exponentielle
Partie 4 - Dérivation
Ch. 5
Variations instantanées
GeoGebra
Chapitre 6
Activité C

Un problème d'optimisation

14 professeurs ont participé à cette page
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Objectif
Comprendre comment on utilise des modèles mathématiques dans la vie courante.
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Énoncé

Afin d'optimiser les coûts de fabrication, on s'intéresse aux dimensions d'une casserole pour un volume fixé.
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Doc. 1
Diamètres et contenances de casseroles vendues dans le commerce

Diamètres et contenances de casseroles vendues dans le commerce
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Doc. 2
Minimiser un coût

On suppose qu'une casserole est assimilée à un cylindre de volume fixé sans couvercle. Afin de réduire les coûts de production, les usines cherchent à minimiser la quantité de matériau nécessaire pour construire ce qui correspond au patron du solide formant la casserole. Ce patron permet alors d'obtenir la surface latérale et le fond de la casserole.
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Doc. 3
Patron d'une casserole

Patron d'une casserole
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Questions

1

a. En reprenant les notations du doc. 3, exprimer le volume \mathrm{V} de la casserole en fonction de sa hauteur h et de son rayon r. En déduire que la hauteur de la casserole est égale à \frac{\mathrm{V}}{\pi r^2}.

b. Calculer la hauteur, exprimée en centimètre, d'une casserole de diamètre 26 cm.
Aide
On rappelle que 1 L = 1 dm3.


2

a. Déterminer l'aire \mathrm{S} du patron représenté dans le doc. 3 en fonction de h et de r.
Aide
Le patron de la casserole est formé d'un disque et d'un rectangle.

b. À l'aide de la question 1 a., montrer que \mathrm{S}=\frac{2 \mathrm{~V}}{r}+\pi r^2.

3
On admet que la fonction \mathrm{S} est dérivable par rapport au rayon r et que, pour tout r>0, \mathrm{~S}^{\prime}(r)=\frac{2}{r^2}\left(\pi r^3-\mathrm{V}\right).

a. Quel est le signe de r^2 ? En déduire que le signe de \mathrm{S}^{\prime}(r) est le même que celui de \pi r^3-\mathrm{V}.

b. Justifier que l'inéquation \pi r^3-\mathrm{V} \geqslant 0 est équivalente à r \geqslant h.
Aide
On rappelle que \mathrm{V}=\pi r^2 h.

c. En déduire les variations de la fonction \mathrm{S}. À quelle condition sur r la surface \mathrm{S} est‑elle minimale ?

d. Interpréter ce résultat dans le cadre de l'activité.
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Bilan

De quelle manière a-t-on utilisé la notion de fonction dérivée pour optimiser le coût de fabrication d'une casserole ?
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