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Géométrie
P.335-339
Géométrie

Rappels de collège



Espace



Un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) est un solide possédant 6 faces rectangulaires. Il a 8 sommets et 12 arêtes. Le volume dʼun pavé droit dʼarêtes de longueurs a,ba, b et cc est donné par la formule :
V=a×b×c.\mathrm{V}=a \times b \times c.

Exemple

Espace

Le volume du cylindre de révolution de rayon rr et de hauteur hh est donné par la formule :
V=π×r2×h.\mathrm{V}=\pi \times r^{2} \times h.

Exemple

Espace

Le volume de la pyramide dont l’aire de la base est A\text{A} et dont la hauteur est hh est donné par la formule :
V=13×A×h.\mathrm{V}=\dfrac{1}{3} \times \mathrm{A} \times h.

Exemple

Espace

Le volume du cône de révolution de rayon de base rr et de hauteur hh est donné par la formule :
V=13×π×r2×h.\mathrm{V}=\dfrac{1}{3} \times \pi \times r^{2} \times h.

Exemple

Espace

Le volume du prisme droit dont l’aire de la base est A\text{A} et de hauteur hh est donné par la formule :
V=A×h.\mathrm{V}=\mathrm{A} \times h.

Exemple

Espace

  • La sphère de centre O\text{O} et de rayon rr est l’ensemble des points M\text{M} de lʼespace tels que OM=r.\mathrm{OM}=r.
  • La boule ouverte de centre O\text{O} et de rayon rr est l’ensemble des points M\text{M} de lʼespace tels que OM<r.\mathrm{OM} \lt r.
  • Le volume de la boule de rayon rr est donné par la formule :
    V=43×π×r3.V=\dfrac{4}{3} \times \pi \times r^{3}.

Exemple

MAT2_RC_p335_4

Trigonométrie



Dans un triangle rectangle, on définit trois côtés : lʼhypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé à lʼangle étudié.

Exemple

Trigonométrie

Pour un angle aigu aa :

On note cos(a)\cos (a) le cosinus de l’angle aa et on définit :

cos(a)= longueur du coˆteˊ adjacent aˋ l’angle a longueur de l’hypoteˊnuse \cos (a)=\dfrac{\text { longueur du côté adjacent à l'angle } a}{\text { longueur de l'hypoténuse }}

On note sin(a)\sin (a) le sinus de l’angle aa et on définit :

sin(a)= longueur du coˆteˊ opposeˊ aˋ a longueur de l’hypoteˊnuse \sin (a)=\dfrac{\text { longueur du côté opposé à } a}{\text { longueur de l'hypoténuse }}

On note tan(a)\tan (a) la tangente de l’angle aa et on définit :

tan(a)= longueur du coˆteˊ opposeˊ aˋ a longueur du coˆteˊ adjacent aˋ a\tan (a)=\dfrac{\text { longueur du côté opposé à } a}{\text { longueur du côté adjacent à } a}

Exemple

Dans le triangle ABC\text{ABC} suivant rectangle en A\text{A}, on a :
cos(ABC^)=ABBC\cos (\widehat{\mathrm{ABC}})=\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}

sin(ABC^)=ACBC\sin (\widehat{\mathrm{ABC}})=\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}

tan(ABC^)=ACAB\tan (\widehat{\mathrm{ABC}})=\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}

Trigonométrie

Ces formules permettent de calculer des angles ou de déterminer des longueurs de côté.

Pour s'exercer


19
Donner une écriture littérale du sinus de l’angle ACM^.\widehat{\mathrm{ACM}}.
Trigonométrie


Pour s'exercer


20
Calculer la longueur KT\text{KT} arrondie au mm sur la figure ci-dessous.
Trigonométrie

Triangles



Dans un triangle ABC,\text{ABC,} la longueur dʼun côté est toujours plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés.
  • ABAC + BC\text{AB} \leqslant \text{AC + BC}
  • ACAB + BC\text{AC} \leqslant \text{AB + BC}
  • BCAB + AC\text{BC} \leqslant \text{AB + AC}
Si dans le triangle ABC\text{ABC} l’égalité AB = AC + BC\text{AB = AC + BC} est vérifiée, alors C\text{C} appartient au segment [AB]\text{[AB]} : le triangle est plat.

La somme des angles dʼun triangle est égale à 180°.

Exemple

Triangles

  • Un triangle équilatéral a trois angles de même mesure.
  • Un triangle isocèle a deux angles de même mesure.

Exemple

Triangles

Un triangle est rectangle si, et seulement si, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (théorème de Pythagore).

Exemple

Triangles

Si deux droites (MR)(\mathrm{MR}) et (NS)(\mathrm{NS}) se coupent en A\text{A} telles que (RS)//(MN)(\mathrm{RS}) / /(\mathrm{MN}) alors :

ARAM=ASAN=RSMN\dfrac{\mathrm{AR}}{\mathrm{AM}}=\dfrac{\mathrm{AS}}{\mathrm{AN}}=\dfrac{\mathrm{RS}}{\mathrm{MN}} (théorème de Thalès).

Exemple

Dans les deux configurations suivantes, les droites colorées sont parallèles. On a donc :

IAIJ=IBIK=ABJK\dfrac{\text{IA}}{\text{IJ}}=\dfrac{\text{IB}}{\text{IK}}=\dfrac{\text{AB}}{\text{JK}} et GFGN=GEGM=EFMN\dfrac{\mathrm{GF}}{\mathrm{GN}}=\dfrac{\mathrm{GE}}{\mathrm{GM}}=\dfrac{\mathrm{EF}}{\mathrm{MN}}

Triangles

Les points M, I, B\text{M, I, B} et N, I, A\text{N, I, A} sont alignés dans le même ordre.
Si IAIN=IBIM\dfrac{\mathrm{IA}}{\mathrm{IN}}=\dfrac{\mathrm{IB}}{\mathrm{IM}} alors les droites (MN)(\mathrm{MN}) et (AB)(\mathrm{AB}) sont parallèles (réciproque du théorème de Thalès).
Triangles

Exemple

Les droites (AN)(\mathrm{AN}) et (BM)(\mathrm{BM}) sont sécantes en I.\text{I.} On a IA = 6\text{IA = 6} cm, IB = 8 \text{IB = 8 } cm, IM = 6\text{IM = 6} cm et IN = 4,5\text{IN = 4,5} cm. On veut vérifier si les droites (AB)(\mathrm{AB}) et (MN)(\mathrm{MN}) sont parallèles.
Les points A, I, N\text{A, I, N} et B, I, M\text{B, I, M} sont alignés dans le même ordre.
INIA=4,56=34\dfrac{\mathrm{IN}}{\mathrm{IA}}=\dfrac{4,5}{6}=\dfrac{3}{4} et

IMIB=68=34\dfrac{\mathrm{IM}}{\mathrm{IB}}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4} donc

INIA=IMIB\dfrac{\mathrm{IN}}{\mathrm{IA}}=\dfrac{\mathrm{IM}}{\mathrm{IB}}
D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB)(\mathrm{AB}) et (MN)(\mathrm{MN}) sont parallèles.

La médiatrice d’un segment [AB]\text{[AB]} est la droite qui passe par le milieu du segment [AB]\text{[AB]} et qui lui est perpendiculaire.

Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est situé à égale distance des extrémités de ce segment.
Réciproquement, si un point est situé à égale distance des extrémités d’un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment.
(Pour tracer une médiatrice, on utilise donc cette propriété et un compas.)

Exemple

MAT2_RC_p336_6

Pour s'exercer


21
Le triangle ABC\text{ABC} suivant est-il rectangle ? Justifier.
AB = 0,7\text{AB = 0,7} cm, AC = 2,4\text{AC = 2,4} cm et BC = 2,5\text{BC = 2,5} cm


Pour s'exercer


22
Les droites colorées sont parallèles, donner les rapports de longueurs égaux.
MAT2_RC_p337_1


Parallélogrammes



Un parallélogramme ABCD\text{ABCD} est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
  • Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. Ce point est un centre de symétrie du quadrilatère.
  • Ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux.

Les carrés, les losanges et les rectangles sont des parallélogrammes. Toutes les propriétés des parallélogrammes s’appliquent à eux, mais ils en possèdent d’autres qui leur sont propres.
  • Rectangle : tous ses angles sont droits et ses diagonales sont de même longueur.
  • Losange : les diagonales sont perpendiculaires et tous ses côtés sont de même longueur.
  • Carré : c’est un parallélogramme particulier qui est à la fois un rectangle et un losange.

Les propriétés sont récapitulées dans le schéma ci-dessous.

Exemple

Parallélogramme :
Parallélogrammes

Rectangle :
Parallélogrammes

Losange :
Parallélogrammes

Carré :
Parallélogrammes

Pour s'exercer


23
Le quadrilatère ABCD\text{ABCD} suivant est-il un quadrilatère particulier ?
Parallélogrammes

Symétries



Le point B\text{B} est l’image de A\text{A} par la symétrie d’axe dd lorsque dd est la médiatrice de [AB].\text{[AB].}

Exemple

Symétries

Le point A’\text{A'} est l’image de A\text{A} par la symétrie de centre O\text{O} lorsque O\text{O} est le milieu de [AA’].\text{[AA'].}

Exemple

Symétries

Translations, rotations, homothéties



La translation qui transforme A\text{A} en B\text{B} est définie par la direction de la droite [AB],\text{[AB],} le sens de A\text{A} vers B\text{B} et la longueur AB.\text{AB.}

  • L’image d’une droite par une translation est une droite.
  • L’image d’un segment par une translation est un segment de même longueur.
  • Les images de deux droites parallèles par une translation sont deux droites parallèles.
  • L’image d’un angle par une translation est un angle de même mesure.

Exemple

On a tracé ci-dessous l’image du carré ABCD\text{ABCD} par la translation qui transforme A\text{A} en A’.\text{A'.}
MAT2_RC_p338_1

Faire subir à une figure F\text{F} une rotation de centre O,\text{O,} d’angle x,x, dans le sens direct, revient à la faire tourner autour de O\text{O} dans le sens inverse des aiguilles dʼune montre de xx degrés.

Faire subir à une figure F\text{F} une rotation de centre O,\text{O,} d’angle x,x, dans le sens indirect, revient à la faire tourner autour de O\text{O} dans le sens des aiguilles dʼune montre de xx degrés.

Exemple

MAT2_RC_p338_2

  • L’image d’une droite par une rotation est une droite.
  • L’image d’un segment par une rotation est un segment de même longueur.
  • Les images de deux droites parallèles par une rotation sont deux droites parallèles.
  • L’image d’un angle par une rotation est un angle de même mesure.

Exemple

MAT2_RC_p338_3

L’homothétie de centre O\text{O} et de rapport kk est la transformation qui, à tout point M,\text{M,} associe le point M’\text{M'} tel que :
  • O, M\text{O, M} et M’\text{M'} soient alignés ;
  • OM=k×OM\mathrm{OM}^{\prime}=k \times \mathrm{OM} si k>0k>0 et OM=k×OM\mathrm{OM}^{\prime}=-k \times \mathrm{OM} si k<0k\lt 0 ;
  • si kk est positif, alors M’\text{M'} et M\text{M} sont du même côté par rapport à O.\text{O.}
    Sinon, ils sont de part et d’autre de O.\text{O.}

  • Une homothétie de rapport k<1k\lt -1 ou k>1k>1 est appelée un agrandissement.
  • Une homothétie de rapport 1<k<1-1\lt k\lt 1 est appelée une réduction.

  • L’image d’une droite par une homothétie est une droite.
  • Les images de deux droites parallèles par une homothétie sont deux droites parallèles.
  • L’image d’un angle par une homothétie est un angle de même mesure.

Une homothétie de rapport k>0k > 0 multiplie par :
  • kk la longueur d’un segment ;
  • k2k^2 l’aire d’une surface ;
  • k3k^3 le volume d’un solide.

Exemple

On a construit ci-dessous l’image de ABC\text{ABC} par l’homothétie de centre O\text{O} et de rapport 3.3.
MAT2_RC_p338_4
On a construit ci-dessous l’image de ABC\text{ABC} par l’homothétie de centre O\text{O} et de rapport 2.-2.
MAT2_RC_p338_5

Pour s'exercer


24
Tracer l’image de la figure suivante par la translation qui transforme A\text{A} en B.\text{B.}
MAT2_RC_p339_1

Couleurs
Formes
Dessinez ici

Pour s'exercer


25
Montrer que l’image d’un rectangle par une translation est un rectangle.


Pour s'exercer


26
Tracer l’image de ABCD\text{ABCD} par la rotation de centre A\text{A} d’angle 90° dans le sens direct.
MAT2_RC_p339_2

Couleurs
Formes
Dessinez ici

Pour s'exercer


27
ABC\text{ABC} est un triangle rectangle avec AB = 4\text{AB = 4} cm, BC = 5\text{BC = 5} cm et AC = 3\text{AC = 3} cm. O\text{O} est un autre point. A’B’C’\text{A'B'C'} est l’image de ABC\text{ABC} par l’homothétie de centre O\text{O} et de rapport 3.-3.
Quelle est l’aire de A’B’C’\text{A'B'C'} ?

Propriétés des quadrilatères


MAT2_RC_p339_3
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