Chapitre Rappels
Rappels de collège

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Géométrie

Rappels de collège



Parallélogrammes



Un parallélogramme ABCD\text{ABCD} est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
  • Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. Ce point est un centre de symétrie du quadrilatère.
  • Ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux.

Les carrés, les losanges et les rectangles sont des parallélogrammes. Toutes les propriétés des parallélogrammes s’appliquent à eux, mais ils en possèdent d’autres qui leur sont propres.
  • Rectangle : tous ses angles sont droits et ses diagonales sont de même longueur.
  • Losange : les diagonales sont perpendiculaires et tous ses côtés sont de même longueur.
  • Carré : c’est un parallélogramme particulier qui est à la fois un rectangle et un losange.

Les propriétés sont récapitulées dans le schéma ci-dessous.

Exemple

Parallélogramme :
Parallélogrammes

Rectangle :
Parallélogrammes

Losange :
Parallélogrammes

Carré :
Parallélogrammes

Pour s'exercer


23
Le quadrilatère ABCD\text{ABCD} suivant est-il un quadrilatère particulier ?
Parallélogrammes

Propriétés des quadrilatères


MAT2_RC_p339_3

Espace



  • La sphère de centre O\text{O} et de rayon rr est l’ensemble des points M\text{M} de lʼespace tels que OM=r.\mathrm{OM}=r.
  • La boule ouverte de centre O\text{O} et de rayon rr est l’ensemble des points M\text{M} de lʼespace tels que OM<r.\mathrm{OM} \lt r.
  • Le volume de la boule de rayon rr est donné par la formule :
    V=43×π×r3.V=\dfrac{4}{3} \times \pi \times r^{3}.

Le volume de la pyramide dont l’aire de la base est A\text{A} et dont la hauteur est hh est donné par la formule :
V=13×A×h.\mathrm{V}=\dfrac{1}{3} \times \mathrm{A} \times h.

Exemple

MAT2_RC_p335_4

Exemple

Espace

Le volume du cylindre de révolution de rayon rr et de hauteur hh est donné par la formule :
V=π×r2×h.\mathrm{V}=\pi \times r^{2} \times h.

Exemple

Espace

Le volume du prisme droit dont l’aire de la base est A\text{A} et de hauteur hh est donné par la formule :
V=A×h.\mathrm{V}=\mathrm{A} \times h.

Exemple

Espace

Le volume du cône de révolution de rayon de base rr et de hauteur hh est donné par la formule :
V=13×π×r2×h.\mathrm{V}=\dfrac{1}{3} \times \pi \times r^{2} \times h.

Exemple

Espace

Un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) est un solide possédant 6 faces rectangulaires. Il a 8 sommets et 12 arêtes. Le volume dʼun pavé droit dʼarêtes de longueurs a,ba, b et cc est donné par la formule :
V=a×b×c.\mathrm{V}=a \times b \times c.

Exemple

Espace

Triangles



Exemple

Les droites (AN)(\mathrm{AN}) et (BM)(\mathrm{BM}) sont sécantes en I.\text{I.} On a IA = 6\text{IA = 6} cm, IB = 8 \text{IB = 8 } cm, IM = 6\text{IM = 6} cm et IN = 4,5\text{IN = 4,5} cm. On veut vérifier si les droites (AB)(\mathrm{AB}) et (MN)(\mathrm{MN}) sont parallèles.
Les points A, I, N\text{A, I, N} et B, I, M\text{B, I, M} sont alignés dans le même ordre.
INIA=4,56=34\dfrac{\mathrm{IN}}{\mathrm{IA}}=\dfrac{4,5}{6}=\dfrac{3}{4} et

IMIB=68=34\dfrac{\mathrm{IM}}{\mathrm{IB}}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4} donc

INIA=IMIB\dfrac{\mathrm{IN}}{\mathrm{IA}}=\dfrac{\mathrm{IM}}{\mathrm{IB}}
D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB)(\mathrm{AB}) et (MN)(\mathrm{MN}) sont parallèles.

Pour s'exercer


21
Le triangle ABC\text{ABC} suivant est-il rectangle ? Justifier.
AB = 0,7\text{AB = 0,7} cm, AC = 2,4\text{AC = 2,4} cm et BC = 2,5\text{BC = 2,5} cm


Exemple

Triangles

Dans un triangle ABC,\text{ABC,} la longueur dʼun côté est toujours plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés.
  • ABAC + BC\text{AB} \leqslant \text{AC + BC}
  • ACAB + BC\text{AC} \leqslant \text{AB + BC}
  • BCAB + AC\text{BC} \leqslant \text{AB + AC}
Si dans le triangle ABC\text{ABC} l’égalité AB = AC + BC\text{AB = AC + BC} est vérifiée, alors C\text{C} appartient au segment [AB]\text{[AB]} : le triangle est plat.

La somme des angles dʼun triangle est égale à 180°.

Les points M, I, B\text{M, I, B} et N, I, A\text{N, I, A} sont alignés dans le même ordre.
Si IAIN=IBIM\dfrac{\mathrm{IA}}{\mathrm{IN}}=\dfrac{\mathrm{IB}}{\mathrm{IM}} alors les droites (MN)(\mathrm{MN}) et (AB)(\mathrm{AB}) sont parallèles (réciproque du théorème de Thalès).
Triangles

Exemple

Dans les deux configurations suivantes, les droites colorées sont parallèles. On a donc :

IAIJ=IBIK=ABJK\dfrac{\text{IA}}{\text{IJ}}=\dfrac{\text{IB}}{\text{IK}}=\dfrac{\text{AB}}{\text{JK}} et GFGN=GEGM=EFMN\dfrac{\mathrm{GF}}{\mathrm{GN}}=\dfrac{\mathrm{GE}}{\mathrm{GM}}=\dfrac{\mathrm{EF}}{\mathrm{MN}}

Triangles

Exemple

MAT2_RC_p336_6

La médiatrice d’un segment [AB]\text{[AB]} est la droite qui passe par le milieu du segment [AB]\text{[AB]} et qui lui est perpendiculaire.

Exemple

Triangles

  • Un triangle équilatéral a trois angles de même mesure.
  • Un triangle isocèle a deux angles de même mesure.

Exemple

Triangles

Un triangle est rectangle si, et seulement si, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (théorème de Pythagore).

Si deux droites (MR)(\mathrm{MR}) et (NS)(\mathrm{NS}) se coupent en A\text{A} telles que (RS)//(MN)(\mathrm{RS}) / /(\mathrm{MN}) alors :

ARAM=ASAN=RSMN\dfrac{\mathrm{AR}}{\mathrm{AM}}=\dfrac{\mathrm{AS}}{\mathrm{AN}}=\dfrac{\mathrm{RS}}{\mathrm{MN}} (théorème de Thalès).

Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est situé à égale distance des extrémités de ce segment.
Réciproquement, si un point est situé à égale distance des extrémités d’un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment.
(Pour tracer une médiatrice, on utilise donc cette propriété et un compas.)

Pour s'exercer


22
Les droites colorées sont parallèles, donner les rapports de longueurs égaux.
MAT2_RC_p337_1


Trigonométrie



Exemple

Trigonométrie

Exemple

Dans le triangle ABC\text{ABC} suivant rectangle en A\text{A}, on a :
cos(ABC^)=ABBC\cos (\widehat{\mathrm{ABC}})=\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}

sin(ABC^)=ACBC\sin (\widehat{\mathrm{ABC}})=\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}

tan(ABC^)=ACAB\tan (\widehat{\mathrm{ABC}})=\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}

Trigonométrie

Ces formules permettent de calculer des angles ou de déterminer des longueurs de côté.

Pour s'exercer


19
Donner une écriture littérale du sinus de l’angle ACM^.\widehat{\mathrm{ACM}}.
Trigonométrie


Dans un triangle rectangle, on définit trois côtés : lʼhypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé à lʼangle étudié.

Pour s'exercer


20
Calculer la longueur KT\text{KT} arrondie au mm sur la figure ci-dessous.
Trigonométrie


Pour un angle aigu aa :

On note cos(a)\cos (a) le cosinus de l’angle aa et on définit :

cos(a)= longueur du coˆteˊ adjacent aˋ l’angle a longueur de l’hypoteˊnuse \cos (a)=\dfrac{\text { longueur du côté adjacent à l'angle } a}{\text { longueur de l'hypoténuse }}

On note sin(a)\sin (a) le sinus de l’angle aa et on définit :

sin(a)= longueur du coˆteˊ opposeˊ aˋ a longueur de l’hypoteˊnuse \sin (a)=\dfrac{\text { longueur du côté opposé à } a}{\text { longueur de l'hypoténuse }}

On note tan(a)\tan (a) la tangente de l’angle aa et on définit :

tan(a)= longueur du coˆteˊ opposeˊ aˋ a longueur du coˆteˊ adjacent aˋ a\tan (a)=\dfrac{\text { longueur du côté opposé à } a}{\text { longueur du côté adjacent à } a}

Translations, rotations, homothéties



  • L’image d’une droite par une homothétie est une droite.
  • Les images de deux droites parallèles par une homothétie sont deux droites parallèles.
  • L’image d’un angle par une homothétie est un angle de même mesure.

  • L’image d’une droite par une translation est une droite.
  • L’image d’un segment par une translation est un segment de même longueur.
  • Les images de deux droites parallèles par une translation sont deux droites parallèles.
  • L’image d’un angle par une translation est un angle de même mesure.

  • Une homothétie de rapport k<1k\lt -1 ou k>1k>1 est appelée un agrandissement.
  • Une homothétie de rapport 1<k<1-1\lt k\lt 1 est appelée une réduction.

Pour s'exercer


27
ABC\text{ABC} est un triangle rectangle avec AB = 4\text{AB = 4} cm, BC = 5\text{BC = 5} cm et AC = 3\text{AC = 3} cm. O\text{O} est un autre point. A’B’C’\text{A'B'C'} est l’image de ABC\text{ABC} par l’homothétie de centre O\text{O} et de rapport 3.-3.
Quelle est l’aire de A’B’C’\text{A'B'C'} ?


Pour s'exercer


25
Montrer que l’image d’un rectangle par une translation est un rectangle.


Pour s'exercer


24
Tracer l’image de la figure suivante par la translation qui transforme A\text{A} en B.\text{B.}
MAT2_RC_p339_1

Couleurs
Formes
Dessinez ici

Faire subir à une figure F\text{F} une rotation de centre O,\text{O,} d’angle x,x, dans le sens indirect, revient à la faire tourner autour de O\text{O} dans le sens des aiguilles dʼune montre de xx degrés.

L’homothétie de centre O\text{O} et de rapport kk est la transformation qui, à tout point M,\text{M,} associe le point M’\text{M'} tel que :
  • O, M\text{O, M} et M’\text{M'} soient alignés ;
  • OM=k×OM\mathrm{OM}^{\prime}=k \times \mathrm{OM} si k>0k>0 et OM=k×OM\mathrm{OM}^{\prime}=-k \times \mathrm{OM} si k<0k\lt 0 ;
  • si kk est positif, alors M’\text{M'} et M\text{M} sont du même côté par rapport à O.\text{O.}
    Sinon, ils sont de part et d’autre de O.\text{O.}

Exemple

On a construit ci-dessous l’image de ABC\text{ABC} par l’homothétie de centre O\text{O} et de rapport 3.3.
MAT2_RC_p338_4
On a construit ci-dessous l’image de ABC\text{ABC} par l’homothétie de centre O\text{O} et de rapport 2.-2.
MAT2_RC_p338_5

Exemple

MAT2_RC_p338_2

Exemple

MAT2_RC_p338_3

  • L’image d’une droite par une rotation est une droite.
  • L’image d’un segment par une rotation est un segment de même longueur.
  • Les images de deux droites parallèles par une rotation sont deux droites parallèles.
  • L’image d’un angle par une rotation est un angle de même mesure.

La translation qui transforme A\text{A} en B\text{B} est définie par la direction de la droite [AB],\text{[AB],} le sens de A\text{A} vers B\text{B} et la longueur AB.\text{AB.}

Faire subir à une figure F\text{F} une rotation de centre O,\text{O,} d’angle x,x, dans le sens direct, revient à la faire tourner autour de O\text{O} dans le sens inverse des aiguilles dʼune montre de xx degrés.

Pour s'exercer


26
Tracer l’image de ABCD\text{ABCD} par la rotation de centre A\text{A} d’angle 90° dans le sens direct.
MAT2_RC_p339_2

Couleurs
Formes
Dessinez ici

Une homothétie de rapport k>0k > 0 multiplie par :
  • kk la longueur d’un segment ;
  • k2k^2 l’aire d’une surface ;
  • k3k^3 le volume d’un solide.

Exemple

On a tracé ci-dessous l’image du carré ABCD\text{ABCD} par la translation qui transforme A\text{A} en A’.\text{A'.}
MAT2_RC_p338_1

Symétries



Exemple

Symétries

Le point B\text{B} est l’image de A\text{A} par la symétrie d’axe dd lorsque dd est la médiatrice de [AB].\text{[AB].}

Le point A’\text{A'} est l’image de A\text{A} par la symétrie de centre O\text{O} lorsque O\text{O} est le milieu de [AA’].\text{[AA'].}

Exemple

Symétries
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