Exercices de 18 à 38

Exercices transversaux


Exercices tranversaux re


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Équations et inéquations du second degré Produit scalaire Configurations géométriques

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;i,j).(\text{O}\: ; \vec{i}, \vec{j}).
On cherche à déterminer le lieu des points P\text{P} qui sont à égale distance d’un point donné et de l’axe des abscisses.
On rappelle que la distance d’un point P\text{P} à une droite dd est la longueur PP\mathrm{PP}^{\prime}P\mathrm{P}^{\prime} est le projeté orthogonal de P\text{P} sur d.d.
On se donne le point A(4;2)\text{A}(4\: ; 2) et un point M(x;0)\text{M}(x\: ; 0) de l’axe des abscisses.

Question préliminaire
Justifier que la distance du point P(x;y)\text{P}(x\: ; y) à l’axe des abscisses est égale à y.|y|.


Partie A : Recherche d’un point particulier
Dans cette partie, x=2.x = -2 .

1. Quel est l’ensemble des points à même distance de A\text{A} et de M ?\text{M ?}

2. On cherche une équation de la médiatrice Δ\Delta du segment [MA].\text{[MA].}
a. Quelles sont les coordonnées du vecteur MA?\overrightarrow{\mathrm{MA}}\:?

b. Quelles sont les coordonnées du milieu de [MA] ?\text{[MA] ?}

c. En déduire une équation de Δ.\Delta.

3. En déduire les coordonnées de P.\text{P.}


Partie B : Généralisation
Dans cette partie, M\text{M} a pour coordonnées (a;0)(a\: ; 0)aa est un réel.

1. On cherche une équation de la médiatrice Δ\Delta du segment [MA].\text{[MA].}
a. Quelles sont les coordonnées du vecteur MA?\overrightarrow{\mathrm{MA}}\:?

b. Quelles sont les coordonnées du milieu de [MA] ?\text{[MA] ?}

c. En déduire une équation de Δ.\Delta.

2. Démontrer que l’ordonnée de P\text{P} est 14a22a+5.\dfrac{1}{4} a^{2}-2 a+5.

3. En déduire le lieu géométrique du point P.\text{P.}

29
Équations et inéquations du second degré Configurations géométriques

Le plan est muni d’un repère orthonormé. On considère les cercles C\mathcal{C} et C\mathcal{C}^{\prime} de centres respectifs O(28;18)\text{O}(-28\: ; 18) et O(28;10)\text{O}^{\prime}(28\: ; -10) et de rayons respectifs 5140\sqrt{5\:140} et 10.10. On cherche à déterminer si ces deux cercles se coupent.

1. Tracer les deux cercles à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. Quelle conjecture peut-on faire sur ces cercles ?

Lancer le module Geogebra

2. Déterminer une équation de chacun de ces deux cercles.

3. Montrer que les points M(x;y)\text{M}(x \:; y) appartenant aux deux cercles ont des coordonnées satisfaisant l’équation : 2xy86=0.2x - y - 86 = 0 .

4. En déduire l’intersection des deux cercles. Vérifier les résultats sur le logiciel de géométrie.

19
Suites numériques Fonctions de référence Dérivation Applications de la dérivation

Soit nn un entier naturel. On définit la suite de fonction fnf_n sur R\R par fn(x)=(1+x)n.f_{n}(x)=(1+x)^{n}. On note Cn\mathcal{C}_n la courbe représentative de fnf_n dans un repère orthonormé.

1. Déterminer les expressions développées des fonctions f1,f_1, f2f_2 et f3.f_3.

2. Justifier que la fonction dérivée fnf_{n}^{\prime} de fnf_{n} est définie sur R\R par fn(x)=n(1+x)n1f_{n}^{\prime}(x)=n(1+x)^{n-1} en utilisant la formule de la composée d’une fonction avec une fonction affine.

3. En distinguant les cas en fonction de la parité de n,n , dresser le tableau de variations de la fonction fn.f_n . On s’appuiera éventuellement sur la fonction dérivée de fn.f_n .

Couleurs
Formes
Dessinez ici


4. Déterminer, en fonction de n,n , l’équation réduite de la tangente Tn\text{T}_n à Cn\mathcal{C}_n au point d’abscisse 0.0.

5. En utilisant une étude de signes, démontrer que Cn\mathcal{C}_n est au-dessus de Tn\text{T}_n pour tout x0.x \geqslant 0.

6. En prenant comme exemple n=3,n = 3 , démontrer que Cn\mathcal{C}_n est systématiquement au-dessus de Tn\text{T}_n pour x<0.x \lt 0 .

27
Équations et inéquations du second degré Produit scalaire Configurations géométriques

Dans un repère orthonormé (O;i,j)(\mathrm{O} \:; \vec{i}, \vec{j}) du plan, on considère les points A(3;2)\mathrm{A}(3 \:; \sqrt{2}) et B(22;1)\mathrm{B}(2 \sqrt{2}\: ; 1) et le cercle C\mathcal{C} de centre Ω(2;3)\Omega(-2\: ; 3) et de rayon 32.\sqrt{32}.

Déterminer les coordonnées des éventuels points d’intersection entre la droite (AB)\text{(AB)} et le cercle C.\mathcal{C}.

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Fonctions de référence Équations et inéquations du second degré Produit scalaire

On considère le rectangle ABCD\text{ABCD} tel que AB=5\text{AB} = 5 et BC=2.\text{BC} = 2 . Le point M\text{M} est un point du segment [DC]\text{[DC]} tel que DM=x.\text{DM} = x .
On cherche à déterminer les positions du point M\text{M} afin d’obtenir des valeurs spécifiques du produit scalaire MAMB.\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}.

EXERCICES TRANSVERSAUX

1. À quel intervalle appartient le nombre x?x \: ?

2. Quelle est la valeur du produit scalaire MAMB\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}} lorsque M\text{M} est placé sur D ?\text{D ?} Sur C ?\text{C ?}

3. a. Exprimer le produit scalaire MAMB\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}} en fonction de x.x .

b. Est-il possible que les droites (MA)\text{(MA)} et (MB)\text{(MB)} soient perpendiculaires ?
Si oui, pour quelle(s) valeur(s) de x?x \: ?

c. Déterminer la position de M\text{M} sur le segment [DC]\text{[DC]} maximisant ou minimisant la valeur du produit scalaire.

4. On veut maintenant vérifier comment la largeur du rectangle ABCD\text{ABCD} influe sur le résultat précédent de perpendicularité. On note désormais BC=a.\text{BC} = a .
a. Exprimer le produit scalaire MAMB\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}} en fonction de xx et de a.a .

b. Quelle inégalité doit vérifier aa pour que les droites (MA)\text{(MA)} et (MB)\text{(MB)} soient perpendiculaires ?

5. Conjecturer puis démontrer une propriété plus générale sur les dimensions du rectangle afin qu’il soit possible que les droites (MA)\text{(MA)} et (MB)\text{(MB)} soient perpendiculaires.

36
Applications de la dérivation Variables aléatoires réelles

D’après Bac ES - Polynésie - 2005
Une urne contient des jetons bleus, des jetons blancs et des jetons rouges.
10 % des jetons sont bleus et il y a trois fois plus de jetons blancs que de jetons bleus.
Un joueur tire un jeton au hasard.
  • S’il est rouge, il remporte la mise de base.
  • S’il est blanc, il remporte le carré de la mise de base.
  • S’il est bleu, il perd le cube de la mise de base.

1. On suppose que la mise de base est de 2 euros.
a. Soit X\text{X} la variable aléatoire qui donne le gain algébrique du joueur.
Déterminer la loi de probabilité de X.\text{X.}

b. Calculer le gain moyen que l’on peut espérer réaliser sur un grand nombre de tirages.

2. On cherche à déterminer la valeur g0g_0 de la mise de base telle que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de tirages soit maximal. Le résultat sera arrondi au centime d’euro. Soit xx la mise de base en euro.
a. Montrer que le problème posé revient à étudier les éventuels extremums de la fonction ff définie sur [0;+[[0 \:;+\infty[ par f(x)=0,1x3+0,3x2+0,6x.f(x) = -0{,}1x^3 + 0{,}3x^2 + 0{,}6x .

b. Déterminer la dérivée de la fonction ff sur l’intervalle [0;+[.[0 \:;+\infty[.

c. En déduire le sens de variation de ff sur [0;+[.[0 \:;+\infty[.

d. Conclure sur le problème posé.

28
Résolution d’équations du second degré Applications de la dérivation Variables aléatoires réelles

Un jeu consiste à tirer dans la cible ci-dessous :

Exercices transversaux

ABCD\text{ABCD} est un carré de côté 6 et I\text{I} est le milieu de [CD].\text{[CD].} M\text{M} est un point mobile sur le segment [AB]\text{[AB]} et N\text{N} et P\text{P} sont tels que AMNP\text{AMNP} est un carré.
La probabilité d’atteindre une zone est proportionnelle à sa surface. Une zone est composée de tous les polygones de même couleur. On suppose que le participant ne rate jamais la cible.

1. a. Exprimer en fonction de xx les probabilités d’atteindre les différentes zones.

b. Quelle valeur faut-il donner à xx pour que la probabilité d’atteindre la zone jaune soit maximale ?

2. On note X\text{X} la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués par le participant.
a. Donner la loi de probabilité de X.\text{X.}

b. Exprimer E(X)\text{E(X)} en fonction de x.x.

c. Peut-on avoir E(X) = 0.\text{E(X) = 0.} Justifier.

23
Suites numériques Fonction exponentielle

Soient a,a , bb et kk trois réels et nn un entier naturel.
On considère la fonction ff définie pour tout réel xx par f(x)=(ax+b)ekx.f(x) = (ax + b)\mathrm{e}^{kx}.
On admet que ff est dérivable nn fois.
On s’intéresse à la dérivée nn-ième de f,f , c’est-à-dire la fonction que l’on obtient lorsque l’on dérive nn fois la fonction f.f . On la note f(n).f^{(n)}.
Pour n=0,n = 0 , f(n)=f.f^{(n)}=f. Pour n=1, n = 1 , f(n)=f.f^{(n)}=f^{\prime}.
On admettra que cette dérivée est de la forme x(anx+bn)ekx.x \mapsto\left(a_{n} x+b_{n}\right) \mathrm{e}^{k x}.

1. Que valent a1a_1 et b1?b_1\: ?

2. a. Montrer que la suite (an)(a_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b. En déduire l’expression de ana_n en fonction de nN.n \in \mathbb{N}.

3. a. Pour tout nN,n \in \mathbb{N}, exprimer bn+1b_{n+1} en fonction de bnb_n et de n.n .

b. On suppose que k=1.k = 1 . Quelle est la nature de la suite (bn)?(b_ n) \:?

c. Dans ce cas, en déduire l’expression de ana_n en fonction de nN.n \in \mathbb{N}.

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Produit scalaire Probabilités conditionnelles
On considère les vecteurs de la forme (ab)\begin{pmatrix}{a}\\{b}\end{pmatrix}aa et bb peuvent valoir 0;0\: ; 1-1 ou 1.1.
On choisit au hasard deux vecteurs sous cette forme.

1. Quelle est la probabilité de l’événement « ces deux vecteurs sont orthogonaux » ?

2. Quelle est la probabilité de l’événement « ces deux vecteurs sont de norme 11 » ?

3. Les événements « ces deux vecteurs sont orthogonaux » et « ces deux vecteurs sont de norme 11 » sont-ils indépendants ?

35
Résolution d’équations du second degré Probabilités conditionnelles

On considère deux événements indépendants A\text{A} et B\text{B} tels que P(A)<P(B),\text{P(A)} \lt \text{P(B)}, P(AB)=0,61\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=0{,}61 et P(AB)=0,12.\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) = 0{,}12 .

1. Calculer P(A) + P(B).\text{P(A) + P(B).}

2. Déterminer le produit de P(A)\text{P(A)} par P(B).\text{P(B)}.

3. Montrer que P(A)\text{P(A)} et P(B)\text{P(B)} sont les solutions de X20,73X+0,12=0.\text{X}^2 - 0{,}73\text{X} + 0{,}12 = 0 .

4. Calculer P(A)\text{P(A)} et P(B).\text{P(B).}

22
Fonction exponentielle Produit scalaire

On considère les fonctions ff et gg définies pour tout xRx \in \mathbb{R} par f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^{x} et g(x)=ex.g(x)=\mathrm{e}^{-x}.
On note Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g les courbes représentatives respectives de ces deux fonctions, tracées dans un repère orthonormé. Soit aa un réel.

1. Représenter les courbes Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g dans un repère orthonormé.

Lancer le module Geogebra
2. Tracer les tangentes aux deux courbes au point d’abscisse 0.0. Que remarque-t-on ?

3. a. Déterminer l’équation réduite de Da,\text{D}_a , tangente à Cf\mathcal{C}_f au point d’abscisse a.a .

b. Déterminer l’équation réduite de Δa,\Delta_a , tangente à Cg\mathcal{C}_g au point d’abscisse a.a .

c. Montrer que Da\text{D}_a et Δa\Delta_a sont perpendiculaires.

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Suites numériques Probabilités conditionnelles

D’après Bac ES - Asie - 2018
Lisa décide d’aller au travail tous les matins à vélo ou en voiture. Le premier jour, Lisa prend son vélo. Par la suite, elle choisit entre son vélo ou sa voiture.

Elle note que :
  • si elle a pris son vélo un jour, elle le reprend le lendemain avec une probabilité de 0,7;0{,}7\: ;
  • si elle a pris sa voiture un jour, la probabilité qu’elle la reprenne le lendemain est 0,5.0{,}5.

On définit les événements suivants pour tout entier naturel nn non nul :
  • An\text{A}_n : « Lisa prend le vélo le jour nn », de probabilité an;a_n \:;
  • Bn\text{B}_n : « Lisa prend la voiture le jour nn », de probabilité bn.b_n .


1. a. Déterminer a1a_1 et b1,b_1 , puis a2a_2