Exercices transversaux

On définit les fonctions $f$ et $g$ sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$ et $g(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$ (la fonction $f$ a déjà été rencontrée dans l'

exercice 103

du chapitre 6).

1. Montrer que, pour tout $x\in \mathbb{R},$ $(f+g)(x)={\mathrm{e}}^x$ et $(f-g)(x)=\frac{1}{{\mathrm{e}}^x}.$

2. En déduire l'expression de la fonction $f^2-g^2.$

3. a. Pour tous réels $a$ et $x,$ montrer la relation ${(}^{\ast })$ suivante : $f(x+a)=f(x)\times f(a)+g(x)\times g(a).$

b. En déduire l'expression de $f(2x)$ en fonction de $f(x).$

4. Montrer que $f^{\prime }=g$ et que $g^{\prime }=f.$

5. a. En dérivant membre à membre dans l'expression ${(}^{\ast })$ en fonction de la variable $x,$ en déduire l'expression de $g(x+a)$ en fonction de $f(x),$ $f(a),$ $g(x)$ et $g(a).$

b. Déterminer alors, pour tout $x\in \mathbb{R},$ l'expression de $g(2x)$ en fonction de $g(x)$ et $f(x).$

6. Soit $n\in \mathbb{N}.$ Conjecturer la dérivée $n$-ième de la fonction $f$ et celle de $g.$

7. Quelle analogie peut-on faire entre les fonctions de cet exercice et les fonctions trigonométriques ?

Soit $n$ un entier naturel. On définit la suite de fonction $f_n$ sur $\mathbb{R}$ par $f_n(x)=(1+x{)}^n.$ On note ${\mathcal{C}}_n$ la courbe représentative de $f_n$ dans un repère orthonormé.

1. Déterminer les expressions développées des fonctions $f_1,$ $f_2$ et $f_3.$

2. Justifier que la fonction dérivée $f_n^{\prime }$ de $f_n$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f_n^{\prime }(x)=n(1+x{)}^{n-1}$ en utilisant la formule de la composée d'une fonction avec une fonction affine.

3. En distinguant les cas en fonction de la parité de $n,$ dresser le tableau de variations de la fonction $f_n.$ On s'appuiera éventuellement sur la fonction dérivée de $f_n.$

4. Déterminer, en fonction de $n,$ l'équation réduite de la tangente ${\text{T}}_n$ à ${\mathcal{C}}_n$ au point d'abscisse $0.$

5. En utilisant une étude de signes, démontrer que ${\mathcal{C}}_n$ est au-dessus de ${\text{T}}_n$ pour tout $x⩾0.$

6. En prenant comme exemple $n=3$, étudier la position relative de ${\mathcal{C}}_n$ et ${\text{T}}_n$ pour $x<0$.

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies pour tout $x\in \mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^x$ et $g(x)={\mathrm{e}}^{-x}.$ On note ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ les courbes représentatives respectives de ces deux fonctions, tracées dans un repère orthonormé. Soit $a$ un réel.

1. Représenter les courbes ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ dans un repère orthonormé.

2. Tracer les tangentes aux deux courbes au point d'abscisse $0.$ Que remarque-t-on ?

3. a. Déterminer l'équation réduite de ${\text{D}}_a,$ tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $a.$

b. Déterminer l'équation réduite de ${\Delta }_a,$ tangente à ${\mathcal{C}}_g$ au point d'abscisse $a.$

c. Montrer que ${\text{D}}_a$ et ${\Delta }_a$ sont perpendiculaires.

Soient $a,$ $b$ et $k$ trois réels et $n$ un entier naturel. On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=(ax+b){\mathrm{e}}^{kx}.$
On admet que $f$ est dérivable $n$ fois.
On s'intéresse à la dérivée $n$-ième de $f,$ c'est-à-dire la fonction que l'on obtient lorsque l'on dérive $n$ fois la fonction $f.$ On la note $f^{(n)}.$
Pour $n=0,$ $f^{(n)}=f.$ Pour $n=1,$ $f^{(n)}=f^{\prime }.$
On admettra que cette dérivée est de la forme $x\mapsto \left(a_{n}x+b_n\right){\mathrm{e}}^{kx}.$

1. Que valent $a_1$ et $b_1?$

2. a. Montrer que la suite $(a_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b. En déduire l'expression de $a_n$ en fonction de $n\in \mathbb{N}.$

3. a. Pour tout $n\in \mathbb{N},$ exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $b_n$ et de $n.$

b. On suppose que $k=1.$ Quelle est la nature de la suite $(b_n)?$

c. Dans ce cas, en déduire l'expression de $b_n$ en fonction de $n\in \mathbb{N}.$

On étudie dans ce problème la fonction $f:t\mapsto 10{\mathrm{e}}^{-t}\cos (4t)$ définie pour $t⩾0.$ Cette fonction fait partie de la famille des oscillations amorties, fonctions très étudiées en mécanique, en particulier lors de l'étude des suspensions des véhicules.

1. Tracer la courbe représentative de cette fonction à l'aide de la calculatrice pour des temps positifs. Pourquoi qualifie-t-on ce type de fonction d'oscillations amorties ?

2. Prouver que, pour tout $t⩾0$, $f(t)\in [-10;10].$

3. Calculer la dérivée de $f.$

4. Pourquoi suffit-il de connaître les variations de $f$ sur $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ pour les connaître sur $\mathbb{R}$ tout entier ? (Indication : on pourra factoriser la dérivée par ${\mathrm{e}}^{-t}$.)

5. Selon les réglages effectués sur une voiture, les oscillations des suspensions peuvent varier. Un premier réglage donne : $g:t\mapsto 10{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{2}}\cos \left(\frac{t}{2}\right)$. Un second donne $g:t\mapsto 10{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{3}}\cos (t).$
Parmi ces deux réglages, lequel est-il préférable de choisir ? Justifier.

Le but de cet exercice est d'étudier le signe de l'expression : $T(x)=4{\cos }^2(x)+(2\sqrt{3}-2)\cos (x)-\sqrt{3}$ définie pour tout $x\in \mathbb{R}.$

1. Factoriser le polynôme $4x^2+(2\sqrt{3}-2)x-\sqrt{3}$ défini sur $\mathbb{R}.$

2. Pour $x\in [0;2\pi ],$ établir le signe de $2\cos (x)-1$ et de $2\cos (x)+3.$

3. En déduire le signe de $\text{T}(x)$ sur $[0;2\pi ].$

4. Pourquoi peut-on connaître le signe de $\text{T}(x)$ sur tout $\mathbb{R}?$

On considère le rectangle $\text{ABCD}$ tel que $\text{AB}=5$ et $\text{BC}=2.$ Le point $\text{M}$ est un point du segment $\text{[DC]}$ tel que $\text{DM}=x.$ On cherche à déterminer les positions du point $\text{M}$ afin d'obtenir des valeurs spécifiques du produit scalaire $\overrightarrow{\mathrm{MA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}.$

1. À quel intervalle appartient le nombre $x?$

2. Quelle est la valeur du produit scalaire $\overrightarrow{\mathrm{MA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}$ lorsque $\text{M}$ est placé sur $\text{D ?}$ Sur $\text{C ?}$

3. a. Exprimer le produit scalaire $\overrightarrow{\mathrm{MA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}$ en fonction de $x.$

b. Est-il possible que les droites $\text{(MA)}$ et $\text{(MB)}$ soient perpendiculaires ?
Si oui, pour quelle(s) valeur(s) de $x?$

c. Déterminer la position de $\text{M}$ sur le segment $\text{[DC]}$ maximisant ou minimisant la valeur du produit scalaire.

4. On veut maintenant vérifier comment la largeur du rectangle $\text{ABCD}$ influe sur le résultat précédent de perpendicularité. On note désormais $\text{BC}=a.$
a. Exprimer le produit scalaire $\overrightarrow{\mathrm{MA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}$ en fonction de $x$ et de $a.$

b. Quelle inégalité doit vérifier $a$ pour que les droites $\text{(MA)}$ et $\text{(MB)}$ soient perpendiculaires ?

5. Conjecturer puis démontrer une propriété plus générale sur les dimensions du rectangle afin qu'il soit possible que les droites $\text{(MA)}$ et $\text{(MB)}$ soient perpendiculaires.

Un jeu consiste à tirer dans la cible ci-dessous :

$\text{ABCD}$ est un carré de côté 6 et $\text{I}$ est le milieu de $\text{[CD].}$ $\text{M}$ est un point mobile sur le segment $\text{[AB]}$ et $\text{N}$ et $\text{P}$ sont tels que $\text{AMNP}$ est un carré.
La probabilité d'atteindre une zone est proportionnelle à sa surface. Une zone est composée de tous les polygones de même couleur. On suppose que le participant ne rate jamais la cible.

1. a. Exprimer en fonction de $x$ les probabilités d'atteindre les différentes zones.

b. Quelle valeur faut-il donner à $x$ pour que la probabilité d'atteindre la zone jaune soit maximale ?

2. On note $\text{X}$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués par le participant.
a. Donner la loi de probabilité de $\text{X.}$

b. Exprimer $\text{E(X)}$ en fonction de $x.$

c. Peut-on avoir $\text{E(X) = 0.}$ Justifier.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les cercles $\mathcal{C}$ et ${\mathcal{C}}^{\prime }$ de centres respectifs $\text{O}(-28;18)$ et ${\text{O}}^{\prime }(28;-10)$ et de rayons respectifs $\sqrt{5140}$ et $10.$ On cherche à déterminer si ces deux cercles se coupent.

1. Tracer les deux cercles à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique. Quelle conjecture peut-on faire sur ces cercles ?

2. Déterminer une équation de chacun de ces deux cercles.

3. Montrer que les points $\text{M}(x;y)$ appartenant aux deux cercles ont des coordonnées satisfaisant l'équation : $2x-y-86=0.$

4. En déduire l'intersection des deux cercles. Vérifier les résultats sur le logiciel de géométrie.

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).$ On cherche à déterminer le lieu des points $\text{P}$ qui sont à égale distance d'un point donné et de l'axe des abscisses.
On rappelle que la distance d'un point $\text{P}$ à une droite $d$ est la longueur ${\mathrm{PP}}^{\prime }$ où ${\mathrm{P}}^{\prime }$ est le projeté orthogonal de $\text{P}$ sur $d.$
On se donne le point $\text{A}(4;2)$ et un point $\text{M}(x;0)$ de l'axe des abscisses.

Question préliminaire

Justifier que la distance du point $\text{P}(x;y)$ à l'axe des abscisses est égale à $|y|.$

Partie A : Recherche d'un point particulier

Dans cette partie, $x=-2.$

1. Quel est l'ensemble des points à même distance de $\text{A}$ et de $\text{M ?}$

2. On cherche une équation de la médiatrice $\Delta$ du segment $\text{[MA].}$
a. Quelles sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{MA}}?$

b. Quelles sont les coordonnées du milieu de $\text{[MA] ?}$

c. En déduire une équation de $\Delta .$

3. En déduire les coordonnées de $\text{P.}$

Partie B : Généralisation

Dans cette partie, $\text{M}$ a pour coordonnées $(a;0)$ où $a$ est un réel.

1. On cherche une équation de la médiatrice $\Delta$ du segment $\text{[MA].}$
a. Quelles sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{MA}}?$

b. Quelles sont les coordonnées du milieu de $\text{[MA] ?}$

c. En déduire une équation de $\Delta .$

2. Démontrer que l'ordonnée de $\text{P}$ est $\frac{1}{4}{a}^2-2a+5.$

3. En déduire le lieu géométrique du point $\text{P.}$

On considère les vecteurs de la forme $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ où $a$ et $b$ peuvent valoir $0;$ $-1$ ou $1.$ On choisit au hasard deux vecteurs sous cette forme.

1. Quelle est la probabilité de l'événement « ces deux vecteurs sont orthogonaux » ?

2. Quelle est la probabilité de l'événement « ces deux vecteurs sont de norme $1$ » ?

3. Les événements « ces deux vecteurs sont orthogonaux » et « ces deux vecteurs sont de norme $1$ » sont-ils indépendants ?

D'après Bac ES - Asie - 2018

Lisa décide d'aller au travail tous les matins à vélo ou en voiture. Le premier jour, Lisa prend son vélo. Par la suite, elle choisit entre son vélo ou sa voiture.

Elle note que :

• si elle a pris son vélo un jour, elle le reprend le lendemain avec une probabilité de $0,7;$
• si elle a pris sa voiture un jour, la probabilité qu'elle la reprenne le lendemain est $0,5.$

On définit les événements suivants pour tout entier naturel $n$ non nul :

• ${\text{A}}_n$ : « Lisa prend le vélo le jour $n$ », de probabilité $a_n;$
• ${\text{B}}_n$ : « Lisa prend la voiture le jour $n$ », de probabilité $b_n.$

1. a. Déterminer $a_1$ et $b_1,$ puis $a_2$ et $b_2.$

b. Déterminer la probabilité que Lisa vienne en voiture le troisième jour.

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $b_n=1-a_n.$

b. Après avoir complété l'arbre ci-après, montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $a_{n+1}=\alpha a_n+\beta b_n,$ où on précisera la valeur de $\alpha$ et $\beta .$

1

2

3

4

5

6

c. En déduire que $a_{n+1}=0,2a_n+0,5.$

3. On définit la suite $\left(u_n\right),$ pour tout entier naturel $n$ non nul, par $u_n=a_n-0,625.$
a. Calculer $u_1.$

b. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique.

c. Après avoir exprimé le terme général $u_n$ en fonction de $n,$ montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $a_n=0,375\times 0,2^{n-1}+0,625.$

4. On admet que la suite $\left(a_n\right)$ est décroissante. Pendant combien de jours consécutifs Lisa se rend-elle au travail à vélo avec une probabilité supérieure ou égale à $0,63?$

On souhaite démontrer la propriété apparaissant dans le

chapitre 10 à la page 258

. On considère un cercle $\mathcal{C}$ d'équation $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2={\mathrm{R}}^2$ où $(a;b)$ sont les coordonnées du centre de $\mathcal{C}$ et $\text{R}$ est le rayon du cercle (donc $\text{R}>0$ ).

1. On considère une droite $d$ parallèle à l'axe des abscisses passant par le point de coordonnées $(0;k)$ où $k$ est un réel fixé.
a. Quelle est l'équation réduite de $d?$

b. Si $d$ et $\mathcal{C}$ ont un point d'intersection, quel système d'équation est vérifié par ses coordonnées $(x;y)?$

c. En déduire alors une expression de $x$ et établir que $d$ et $\mathcal{C}$ peuvent avoir un, deux ou aucun point d'intersection et qu'il n'existe pas d'autre possibilité.

2. Appliquer le même raisonnement avec une droite parallèle à l'axe des ordonnées.

En 1837, Denis Poisson publie son livre Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile dans lequel il aborde une nouvelle loi de probabilité.
Soit $\lambda >0.$ Une variable aléatoire $\text{X}$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$ lorsque, pour tout entier $k,$ $\mathrm{P}(\mathrm{X}=k)={\mathrm{e}}^{-\lambda }\times \frac{{\lambda }^k}{k!}$ où $k!$ désigne le produit de tous les entiers naturels de $1$ à $k.$
Par convention, on a $0!=1$ (

voir TP 2 p. 213

).
On admettra qu'on définit bien une loi de probabilité sur l'ensemble des entiers naturels.
On considère deux variables aléatoires réelles indépendantes $\text{X}$ et $\text{Y}$ suivant chacune une loi de Poisson, de paramètres respectifs $\lambda$ et $\mu .$
On s'intéresse à la loi que peut suivre la somme de ces deux variables.

1. Que vaut $\text{P(X = 0) ?}$ Et $\text{P(Y = 0) ?}$

2. Calculer $\text{P(X + Y = 0).}$

3. Décomposer l'événement $\{\text{X}+\text{Y}=1\}$ selon les valeurs possibles de $\text{X}$ et $\text{Y.}$

4. En déduire la probabilité $\text{P(X + Y = 1).}$

5. Calculer $\text{P(X + Y = 2).}$

6. Conjecturer : Quelle loi semble suivre la variable aléatoire $\text{X + Y ?}$

On considère deux événements indépendants $\text{A}$ et $\text{B}$ tels que $\text{P(A)}<\text{P(B)},$ $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cup \mathrm{B})=0,61$ et $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})=0,12.$

1. Calculer $\text{P(A) + P(B).}$

2. Déterminer le produit de $\text{P(A)}$ par $\text{P(B)}.$

3. Montrer que $\text{P(A)}$ et $\text{P(B)}$ sont les solutions de ${\text{X}}^2-0,73\text{X}+0,12=0.$

4. Calculer $\text{P(A)}$ et $\text{P(B).}$

D'après Bac ES - Polynésie - 2005

Une urne contient des jetons bleus, des jetons blancs et des jetons rouges.
$10$ % des jetons sont bleus et il y a trois fois plus de jetons blancs que de jetons bleus.
Un joueur tire un jeton au hasard.

• S'il est rouge, il remporte le gain de base.
• S'il est blanc, il remporte le carré du gain de base.
• S'il est bleu, il perd le cube du gain de base.

1. On suppose que le gain de base est de $2$ euros.
a. Soit $\text{X}$ la variable aléatoire qui donne le gain algébrique du joueur.
Déterminer la loi de probabilité de $\text{X.}$

b. Calculer le gain moyen que l'on peut espérer réaliser sur un grand nombre de tirages.

2. On cherche à déterminer la valeur $g_0$ du gain de base telle que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de tirages soit maximal. Le résultat sera arrondi au centime d'euro. Soit $x$ le gain de base en euro.
a. Montrer que le problème posé revient à étudier les éventuels extremums de la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty [$ par $f(x)=-0,1x^3+0,3x^2+0,6x.$

b. Déterminer la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty [.$

c. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty [.$

d. Conclure sur le problème posé.

On considère l'urne ci-après.

On tire successivement et sans remise des boules jusqu'à obtenir une boule rouge.
Soit $\text{X}$ la variable aléatoire donnant le rang d'apparition de la première boule rouge.

1. Modéliser l'expérience aléatoire à l'aide d'un arbre pondéré.

2. Quelles sont les valeurs prises par $\text{X ?}$

3. Déterminer la loi de probabilité suivie par $\text{X.}$

4. Déterminer l'espérance et la variance de $\text{X.}$

5. Interpréter $\text{E(X).}$

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).$ On considère :

• $f,$ la fonction définie pour tout $x\ne 1$ par $f(x)=\frac{x^3+x+2}{x-1};$
• $g,$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\sin (x);$
• $\left(u_n\right),$ la suite définie par $u_0=2$ et, pour tout $n\in \mathbb{N},$ $u_{n+1}=2u_n-3;$
• $\Delta ,$ le discriminant du trinôme $h$ défini par $h(x)=\frac{1}{2}{x}^2-3x+3;$
• $\alpha$ tel que $h(x)=\frac{1}{2}(x-\alpha {)}^2+\beta ;$
• $\text{S}$ l'événement : « Obtenir un nombre premier en lançant un dé équilibré à 20 faces » ;
• $\text{T}$ l'événement : « Obtenir un nombre pair en lançant un dé équilibré à 20 faces » ;
• $\text{X}$ la variable aléatoire qui, à chaque issue de l'expérience consistant à lancer un dé cubique équilibré, associe le résultat obtenu sur le dé ;
• le cercle $\mathcal{C}$ d'équation $(x-1{)}^2+(y-1,5{)}^2=3,25;$
• $\text{K}$ le point d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des ordonnées tel que $y_{\mathrm{K}}>0.$

Placer les points suivants dans le repère $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).$

1. $\mathrm{A}\left(-f^{\prime }(-1);0\right)$

2. $\mathrm{D}\left(\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right);\Delta \right)$

3. $\mathrm{E}\left(2\times \frac{{\mathrm{e}}^2\times {\mathrm{e}}^3}{{\mathrm{e}}^6};-\mathrm{E}(\mathrm{X})\times \frac{6}{7}\right)$

4. $\mathrm{G}\left(u_2;-y_{\mathrm{K}}\right)$

5. $\text{P}$ d'abscisse $x_{\mathrm{P}}=-1$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{AE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}=0.$

6. $\mathrm{R}\left(-\frac{\alpha }{3};{\mathrm{P}}_{\mathrm{T}}(\mathrm{S})\times \frac{30}{7}\right)$

7. $\text{V}$ tel que $\cos (\widehat{\mathrm{APV}})=g^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)$ et $\mathrm{PV}=3\sqrt{2}.$

8. Tracer les segments $\text{[RV],}$ $\text{[RP],}$ $\text{[VA],}$ $\text{[PA],}$ $\text{[AE]}$ et $\text{[GE].}$

9. LLS.fr/M1▣▣▣▣