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Exercices transversaux de 18 à 38
P.341-345

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Exercices de 18 à 38

Exercices transversaux


Exercices tranversaux re


Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres.
Cette banque d’exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l’ordre que vous le souhaitez en fonction de ce que vous voulez travailler.
Chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver.
Ces exercices sont, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.

18
Suites numériques Dérivation Fonction exponentielle Fonctions trigonométriques

On définit les fonctions ff et gg sur R\R par f(x)=ex+ex2f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2} et g(x)=exex2g(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2} (la fonction ff a déjà été rencontrée dans l’exercice 103 du chapitre 6).

1. Montrer que, pour tout xR,x \in \mathbb{R}, (f+g)(x)=ex(f+g)(x)=\mathrm{e}^{x} et (fg)(x)=1ex.(f-g)(x)=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}.

2. En déduire l’expression de la fonction f2g2.f^2 - g^2 .

3. a. Pour tous réels aa et x,x , montrer la relation ()(^*) suivante : f(x+a)=f(x)×f(a)+g(x)×g(a).f(x+a)=f(x) \times f(a)+g(x) \times g(a).

b. En déduire l’expression de f(2x)f(2x) en fonction de f(x).f(x).

4. Montrer que f=gf^{\prime}=g et que g=f.g^{\prime} = f .

5. a. En dérivant membre à membre dans l’expression ()(^*) en fonction de la variable x,x , en déduire l’expression de g(x+a)g(x + a) en fonction de f(x),f(x), f(a),f(a), g(x)g(x) et g(a).g(a).

b. Déterminer alors, pour tout xR,x \in \mathbb{R}, l’expression de g(2x)g(2x) en fonction de g(x)g(x) et f(x).f(x).

6. Soit nN.n \in \mathbb{N}. Conjecturer la dérivée nn -ième de la fonction ff et celle de g.g .

7. Quelle analogie peut-on faire entre les fonctions de cet exercice et les fonctions trigonométriques ?
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19
Suites numériques Fonctions de référence Dérivation Applications de la dérivation

Soit nn un entier naturel. On définit la suite de fonction fnf_n sur R\R par fn(x)=(1+x)n.f_{n}(x)=(1+x)^{n}. On note Cn\mathcal{C}_n la courbe représentative de fnf_n dans un repère orthonormé.

1. Déterminer les expressions développées des fonctions f1,f_1, f2f_2 et f3.f_3.

2. Justifier que la fonction dérivée fnf_{n}^{\prime} de fnf_{n} est définie sur R\R par fn(x)=n(1+x)n1f_{n}^{\prime}(x)=n(1+x)^{n-1} en utilisant la formule de la composée d’une fonction avec une fonction affine.

3. En distinguant les cas en fonction de la parité de n,n , dresser le tableau de variations de la fonction fn.f_n . On s’appuiera éventuellement sur la fonction dérivée de fn.f_n .

Couleurs
Formes
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4. Déterminer, en fonction de n,n , l’équation réduite de la tangente Tn\text{T}_n à Cn\mathcal{C}_n au point d’abscisse 0.0.

5. En utilisant une étude de signes, démontrer que Cn\mathcal{C}_n est au-dessus de Tn\text{T}_n pour tout x0.x \geqslant 0.

6. En prenant comme exemple n=3n =3, étudier la position relative de Cn\mathcal{C}_n et Tn\text{T}_n pour x<0x \lt 0.
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20
Équations et inéquations du second degré Fonction exponentielle

Résoudre sur R\R les équations et les inéquations suivantes.

1. 3e2xex2=03 \mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{x}-2=0

2. 3e2xex2>03 \mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{x}-2\gt0

3. 2ex+46ex=02 \mathrm{e}^{x}+4-6 \mathrm{e}^{-x}=0

4. 2ex+46ex<02 \mathrm{e}^{x}+4-6 \mathrm{e}^{-x}\lt0
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21
Équations et inéquations du second degré Trigonométrie

Résoudre les équations suivantes dans R.\R .

1. 2sin2(x)+9sin(x)5=02 \sin ^{2}(x)+9 \sin (x)-5=0

2. 2cos2(x)+2cos(x)2=02 \cos ^{2}(x)+\sqrt{2} \cos (x)-2=0

3. sin2(x)+2cos(π2+x)3=0\sin ^{2}(x)+2 \cos \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)-3=0

4. cos2(x)+(232)sin(x)+(232)=0-\cos ^{2}(x)+\left(\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}\right) \sin (x)+\left(\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}\right)=0
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22
Fonction exponentielle Produit scalaire

On considère les fonctions ff et gg définies pour tout xRx \in \mathbb{R} par f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^{x} et g(x)=ex.g(x)=\mathrm{e}^{-x}.
On note Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g les courbes représentatives respectives de ces deux fonctions, tracées dans un repère orthonormé. Soit aa un réel.

1. Représenter les courbes Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g dans un repère orthonormé.

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2. Tracer les tangentes aux deux courbes au point d’abscisse 0.0. Que remarque-t-on ?

3. a. Déterminer l’équation réduite de Da,\text{D}_a , tangente à Cf\mathcal{C}_f au point d’abscisse a.a .

b. Déterminer l’équation réduite de Δa,\Delta_a , tangente à Cg\mathcal{C}_g au point d’abscisse a.a .

c. Montrer que Da\text{D}_a et Δa\Delta_a sont perpendiculaires.
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23
Suites numériques Fonction exponentielle

Soient a,a , bb et kk trois réels et nn un entier naturel.
On considère la fonction ff définie pour tout réel xx par f(x)=(ax+b)ekx.f(x) = (ax + b)\mathrm{e}^{kx}.
On admet que ff est dérivable nn fois.
On s’intéresse à la dérivée nn-ième de f,f , c’est-à-dire la fonction que l’on obtient lorsque l’on dérive nn fois la fonction f.f . On la note f(n).f^{(n)}.
Pour n=0,n = 0 , f(n)=f.f^{(n)}=f. Pour n=1, n = 1 , f(n)=f.f^{(n)}=f^{\prime}.
On admettra que cette dérivée est de la forme x(anx+bn)ekx.x \mapsto\left(a_{n} x+b_{n}\right) \mathrm{e}^{k x}.

1. Que valent a1a_1 et b1?b_1\: ?

2. a. Montrer que la suite (an)(a_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b. En déduire l’expression de ana_n en fonction de nN.n \in \mathbb{N}.

3. a. Pour tout nN,n \in \mathbb{N}, exprimer bn+1b_{n+1} en fonction de bnb_n et de n.n .

b. On suppose que k=1.k = 1 . Quelle est la nature de la suite (bn)?(b_ n) \:?

c. Dans ce cas, en déduire l’expression de bnb_n en fonction de nN.n \in \mathbb{N}.
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24
Dérivation Applications de la dérivation Fonction exponentielle Fonctions trigonométriques

On étudie dans ce problème la fonction f:t10etcos(4t)f : t \mapsto 10 \mathrm{e}^{-t} \cos (4 t) définie pour t0.t \geqslant 0.
Cette fonction fait partie de la famille des oscillations amorties, fonctions très étudiées en mécanique, en particulier lors de l’étude des suspensions des véhicules.

suspension de voiture - Exercices transversaux

1. Tracer la courbe représentative de cette fonction à l’aide de la calculatrice pour des temps positifs. Pourquoi qualifie-t-on ce type de fonction d’oscillations amorties ?

2. Prouver que, pour tout t0t \geqslant 0, f(t)[10;10].f(t) \in[-10\: ; 10].

3. Calculer la dérivée de f.f .

4. Pourquoi suffit-il de connaître les variations de ff sur [0;π2]\left[0 \:; \dfrac{\pi}{2}\right] pour les connaître sur R\R tout entier ? (Indication : on pourra factoriser la dérivée par et\mathrm{e}^{-t}.)

5. Selon les réglages effectués sur une voiture, les oscillations des suspensions peuvent varier. Un premier réglage donne : g:t10et2cos(t2)g : t \mapsto 10 \mathrm{e}^{-\dfrac{t}{2}} \cos \left(\dfrac{t}{2}\right). Un second donne g:t10et3cos(t).g : t \mapsto 10 \mathrm{e}^{-\dfrac{t}{3}} \cos (t).
Parmi ces deux réglages, lequel est-il préférable de choisir ? Justifier.
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25
Équations et inéquations du second degré Fonctions trigonométriques

Le but de cet exercice est d’étudier le signe de l’expression : T(x)=4cos2(x)+(232)cos(x)3T(x)=4 \cos ^{2}(x)+(2 \sqrt{3}-2) \cos (x)-\sqrt{3} définie pour tout xR.x \in \mathbb{R}.

1. Factoriser le polynôme 4x2+(232)x34 x^{2}+(2 \sqrt{3}-2) x-\sqrt{3} défini sur R.\R.

2. Pour x[0;2π],x \in[0\: ; 2 \pi], établir le signe de 2cos(x)12 \cos(x) - 1 et de 2cos(x)+3.2 \cos(x) + 3 .

3. En déduire le signe de T(x)\text{T}(x) sur [0;2π].[0 \:; 2\pi].

4. Pourquoi peut-on connaître le signe de T(x)\text{T}(x) sur tout R?\R \: ?
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26
Fonctions de référence Équations et inéquations du second degré Produit scalaire

On considère le rectangle ABCD\text{ABCD} tel que AB=5\text{AB} = 5 et BC=2.\text{BC} = 2 . Le point M\text{M} est un point du segment [DC]\text{[DC]} tel que DM=x.\text{DM} = x .
On cherche à déterminer les positions du point M\text{M} afin d’obtenir des valeurs spécifiques du produit scalaire MAMB.\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}.

EXERCICES TRANSVERSAUX

1. À quel intervalle appartient le nombre x?x \: ?

2. Quelle est la valeur du produit scalaire MAMB\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}} lorsque M\text{M} est placé sur D ?\text{D ?} Sur C ?\text{C ?}

3. a. Exprimer le produit scalaire MAMB\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}} en fonction de x.x .

b. Est-il possible que les droites (MA)\text{(MA)} et (MB)\text{(MB)} soient perpendiculaires ?
Si oui, pour quelle(s) valeur(s) de x?x \: ?

c. Déterminer la position de M\text{M} sur le segment [DC]\text{[DC]} maximisant ou minimisant la valeur du produit scalaire.

4. On veut maintenant vérifier comment la largeur du rectangle ABCD\text{ABCD} influe sur le résultat précédent de perpendicularité. On note désormais BC=a.\text{BC} = a .
a. Exprimer le produit scalaire MAMB\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}} en fonction de xx et de a.a .

b. Quelle inégalité doit vérifier aa pour que les droites (MA)\text{(MA)} et (MB)\text{(MB)} soient perpendiculaires ?

5. Conjecturer puis démontrer une propriété plus générale sur les dimensions du rectangle afin qu’il soit possible que les droites (MA)\text{(MA)} et (MB)\text{(MB)} soient perpendiculaires.
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Équations et inéquations du second degré Produit scalaire Configurations géométriques

Dans un repère orthonormé (O;i,j)(\mathrm{O} \:; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) du plan, on considère les points A(3;2)\mathrm{A}(3 \:; \sqrt{2}) et B(22;1)\mathrm{B}(2 \sqrt{2}\: ; 1) et le cercle C\mathcal{C} de centre Ω(2;3)\Omega(-2\: ; 3) et de rayon 32.\sqrt{32}.

Déterminer les coordonnées des éventuels points d’intersection entre la droite (AB)\text{(AB)} et le cercle C.\mathcal{C}.
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28
Résolution d’équations du second degré Applications de la dérivation Variables aléatoires réelles

Un jeu consiste à tirer dans la cible ci-dessous :

Exercices transversaux

ABCD\text{ABCD} est un carré de côté 6 et I\text{I} est le milieu de [CD].\text{[CD].} M\text{M} est un point mobile sur le segment [AB]\text{[AB]} et N\text{N} et P\text{P} sont tels que AMNP\text{AMNP} est un carré.
La probabilité d’atteindre une zone est proportionnelle à sa surface. Une zone est composée de tous les polygones de même couleur. On suppose que le participant ne rate jamais la cible.

1. a. Exprimer en fonction de xx les probabilités d’atteindre les différentes zones.

b. Quelle valeur faut-il donner à xx pour que la probabilité d’atteindre la zone jaune soit maximale ?

2. On note X\text{X} la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués par le participant.
a. Donner la loi de probabilité de X.\text{X.}

b. Exprimer E(X)\text{E(X)} en fonction de x.x.

c. Peut-on avoir E(X) = 0.\text{E(X) = 0.} Justifier.
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29
Équations et inéquations du second degré Configurations géométriques

Le plan est muni d’un repère orthonormé. On considère les cercles C\mathcal{C} et C\mathcal{C}^{\prime} de centres respectifs O(28;18)\text{O}(-28\: ; 18) et O(28;10)\text{O}^{\prime}(28\: ; -10) et de rayons respectifs 5140\sqrt{5\:140} et 10.10. On cherche à déterminer si ces deux cercles se coupent.

1. Tracer les deux cercles à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. Quelle conjecture peut-on faire sur ces cercles ?

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2. Déterminer une équation de chacun de ces deux cercles.

3. Montrer que les points M(x;y)\text{M}(x \:; y) appartenant aux deux cercles ont des coordonnées satisfaisant l’équation : 2xy86=0.2x - y - 86 = 0 .

4. En déduire l’intersection des deux cercles. Vérifier les résultats sur le logiciel de géométrie.
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30
Équations et inéquations du second degré Produit scalaire Configurations géométriques

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;i,j).(\text{O}\: ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}).
On cherche à déterminer le lieu des points P\text{P} qui sont à égale distance d’un point donné et de l’axe des abscisses.
On rappelle que la distance d’un point P\text{P} à une droite dd est la longueur PP\mathrm{PP}^{\prime}P\mathrm{P}^{\prime} est le projeté orthogonal de P\text{P} sur d.d.
On se donne le point A(4;2)\text{A}(4\: ; 2) et un point M(x;0)\text{M}(x\: ; 0) de l’axe des abscisses.

Question préliminaire
Justifier que la distance du point P(x;y)\text{P}(x\: ; y) à l’axe des abscisses est égale à y.|y|.


Partie A : Recherche d’un point particulier
Dans cette partie, x=2.x = -2 .

1. Quel est l’ensemble des points à même distance de A\text{A} et de M ?\text{M ?}

2. On cherche une équation de la médiatrice Δ\Delta du segment [MA].\text{[MA].}
a. Quelles sont les coordonnées du vecteur MA?\overrightarrow{\mathrm{MA}}\:?

b. Quelles sont les coordonnées du milieu de [MA] ?\text{[MA] ?}

c. En déduire une équation de Δ.\Delta.

3. En déduire les coordonnées de P.\text{P.}


Partie B : Généralisation
Dans cette partie, M\text{M} a pour coordonnées (a;0)(a\: ; 0)aa est un réel.

1. On cherche une équation de la médiatrice Δ\Delta du segment [MA].\text{[MA].}
a. Quelles sont les coordonnées du vecteur MA?\overrightarrow{\mathrm{MA}}\:?

b. Quelles sont les coordonnées du milieu de [MA] ?\text{[MA] ?}

c. En déduire une équation de Δ.\Delta.

2. Démontrer que l’ordonnée de P\text{P} est 14a22a+5.\dfrac{1}{4} a^{2}-2 a+5.

3. En déduire le lieu géométrique du point P.\text{P.}
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31
Produit scalaire Probabilités conditionnelles
On considère les vecteurs de la forme (ab)\begin{pmatrix}{a}\\{b}\end{pmatrix}aa et bb peuvent valoir 0;0\: ; 1-1 ou 1.1.
On choisit au hasard deux vecteurs sous cette forme.

1. Quelle est la probabilité de l’événement « ces deux vecteurs sont orthogonaux » ?

2. Quelle est la probabilité de l’événement « ces deux vecteurs sont de norme 11 » ?

3. Les événements « ces deux vecteurs sont orthogonaux » et « ces deux vecteurs sont de norme 11 » sont-ils indépendants ?
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32
Suites numériques Probabilités conditionnelles

D’après Bac ES - Asie - 2018
Lisa décide d’aller au travail tous les matins à vélo ou en voiture. Le premier jour, Lisa prend son vélo. Par la suite, elle choisit entre son vélo ou sa voiture.

Elle note que :
  • si elle a pris son vélo un jour, elle le reprend le lendemain avec une probabilité de 0,7;0{,}7\: ;
  • si elle a pris sa voiture un jour, la probabilité qu’elle la reprenne le lendemain est 0,5.0{,}5.

On définit les événements suivants pour tout entier naturel nn non nul :
  • An\text{A}_n : « Lisa prend le vélo le jour nn », de probabilité an;a_n \:;
  • Bn\text{B}_n : « Lisa prend la voiture le jour nn », de probabilité bn.b_n .


1. a. Déterminer a1a_1 et b1,b_1 , puis a2a_2 et b2.b_2.

b. Déterminer la probabilité que Lisa vienne en voiture le troisième jour.

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel nn non nul, bn=1an.b_{n}=1-a_{n}.

b. Après avoir complété l’arbre ci-après, montrer que, pour tout entier naturel nn non nul : an+1=αan+βbn,a_{n+1}=\alpha a_{n}+\beta b_{n}, où on précisera la valeur de α\alpha et β.\beta.

Exercices transversaux


c. En déduire que an+1=0,2an+0,5.a_{n+1}=0{,}2 a_{n}+0{,}5.

3. On définit la suite (un),\left(u_{n}\right), pour tout entier naturel nn non nul, par un=an0,625.u_{n}=a_{n}-0{,}625.
a. Calculer u1.u_1 .

b. Montrer que la suite (un)\left(u_{n}\right) est géométrique.

c. Après avoir exprimé le terme général unu_n en fonction de n,n , montrer que, pour tout entier naturel nn non nul, an=0,375×0,2n1+0,625.a_{n}=0{,}375 \times 0{,}2^{n-1}+0{,}625.

4. On admet que la suite (an)\left(a_{n}\right) est décroissante. Pendant combien de jours consécutifs Lisa se rend-elle au travail à vélo avec une probabilité supérieure ou égale à 0,63?0{,}63\: ?


Exercices transversaux - Vélo
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33
Fonctions de référence Configurations géométriques
On souhaite démontrer la propriété apparaissant dans le chapitre 10 à la page 258.
On considère un cercle C\mathcal{C} d’équation (xa)2+(yb)2=R2(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=\mathrm{R}^{2}(a;b)(a \:; b) sont les coordonnées du centre de C\mathcal{C} et R\text{R} est le rayon du cercle (donc R>0\text{R} \gt 0 ).

1. On considère une droite dd parallèle à l’axe des abscisses passant par le point de coordonnées (0;k)(0\: ; k)kk est un réel fixé.
a. Quelle est l’équation réduite de d?d \:?

b. Si dd et C\mathcal{C} ont un point d’intersection, quel système d’équation est vérifié par ses coordonnées (x;y)?(x\: ; y) \: ?

c. En déduire alors une expression de xx et établir que dd et C\mathcal{C} peuvent avoir un, deux ou aucun point d’intersection et qu’il n’existe pas d’autre possibilité.

2. Appliquer le même raisonnement avec une droite parallèle à l’axe des ordonnées.
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34
Fonction exponentielle Variables aléatoires réelles

En 1837, Denis Poisson publie son livre Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile dans lequel il aborde une nouvelle loi de probabilité.

Soit λ>0.\lambda\gt0. Une variable aléatoire X\text{X} suit une loi de Poisson de paramètre λ\lambda lorsque, pour tout entier k,k , P(X=k)=eλ×λkk!\mathrm{P}(\mathrm{X}=k)=\mathrm{e}^{-\lambda} \times \dfrac{\lambda^{k}}{k !}k!k! désigne le produit de tous les entiers naturels de 11 à k.k .
Par convention, on a 0!=10! = 1 (voir TP 2 p. 213).
On admettra qu’on définit bien une loi de probabilité sur l’ensemble des entiers naturels.
On considère deux variables aléatoires réelles indépendantes X\text{X} et Y\text{Y} suivant chacune une loi de Poisson, de paramètres respectifs λ\lambda et μ.\mu.
On s’intéresse à la loi que peut suivre la somme de ces deux variables.

1. Que vaut P(X = 0) ?\text{P(X = 0) ?} Et P(Y = 0) ?\text{P(Y = 0) ?}

2. Calculer P(X + Y = 0).\text{P(X + Y = 0).}

3. Décomposer l’événement {X+Y=1}\{\text{X}+\text{Y}=1\} selon les valeurs possibles de X\text{X} et Y.\text{Y.}

4. En déduire la probabilité P(X + Y = 1).\text{P(X + Y = 1).}

5. Calculer P(X + Y = 2).\text{P(X + Y = 2).}

6. Conjecturer : Quelle loi semble suivre la variable aléatoire X + Y ?\text{X + Y ?}
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35
Résolution d’équations du second degré Probabilités conditionnelles

On considère deux événements indépendants A\text{A} et B\text{B} tels que P(A)<P(B),\text{P(A)} \lt \text{P(B)}, P(AB)=0,61\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=0{,}61 et P(AB)=0,12.\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) = 0{,}12 .

1. Calculer P(A) + P(B).\text{P(A) + P(B).}

2. Déterminer le produit de P(A)\text{P(A)} par P(B).\text{P(B)}.

3. Montrer que P(A)\text{P(A)} et P(B)\text{P(B)} sont les solutions de X20,73X+0,12=0.\text{X}^2 - 0{,}73\text{X} + 0{,}12 = 0 .

4. Calculer P(A)\text{P(A)} et P(B).\text{P(B).}
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36
Applications de la dérivation Variables aléatoires réelles

D’après Bac ES - Polynésie - 2005
Une urne contient des jetons bleus, des jetons blancs et des jetons rouges.
10 % des jetons sont bleus et il y a trois fois plus de jetons blancs que de jetons bleus.
Un joueur tire un jeton au hasard.
  • S’il est rouge, il remporte la mise de base.
  • S’il est blanc, il remporte le carré de la mise de base.
  • S’il est bleu, il perd le cube de la mise de base.

1. On suppose que la mise de base est de 2 euros.
a. Soit X\text{X} la variable aléatoire qui donne le gain algébrique du joueur.
Déterminer la loi de probabilité de X.\text{X.}

b. Calculer le gain moyen que l’on peut espérer réaliser sur un grand nombre de tirages.

2. On cherche à déterminer la valeur g0g_0 de la mise de base telle que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de tirages soit maximal. Le résultat sera arrondi au centime d’euro. Soit xx la mise de base en euro.
a. Montrer que le problème posé revient à étudier les éventuels extremums de la fonction ff définie sur [0;+[[0 \:;+\infty[ par f(x)=0,1x3+0,3x2+0,6x.f(x) = -0{,}1x^3 + 0{,}3x^2 + 0{,}6x .

b. Déterminer la dérivée de la fonction ff sur l’intervalle [0;+[.[0 \:;+\infty[.

c. En déduire le sens de variation de ff sur [0;+[.[0 \:;+\infty[.

d. Conclure sur le problème posé.
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37
Probabilités conditionnelles Variables aléatoires réelles

On considère l’urne ci-après.

Exercices transversaux

On tire successivement et sans remise des boules jusqu’à obtenir une boule rouge.
Soit X\text{X} la variable aléatoire donnant le rang d’apparition de la première boule rouge.

1. Modéliser l’expérience aléatoire à l’aide d’un arbre pondéré.

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2. Quelles sont les valeurs prises par X ?\text{X ?}

3. Déterminer la loi de probabilité suivie par X.\text{X.}

4. Déterminer l’espérance et la variance de X.\text{X.}

5. Interpréter E(X).\text{E(X).}
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38
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪ ⑫
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;i,j).(\text{O} \:; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}).

On considère :
  • f,f , la fonction définie pour tout x1x \neq 1 par f(x)=x3+x+2x1;f(x)=\dfrac{x^{3}+x+2}{x-1} \: ;
  • g,g , la fonction définie sur R\R par g(x)=sin(x);g(x) = \sin(x) \: ;
  • (un),\left(u_{n}\right), la suite définie par u0=2u_0 = 2 et, pour tout nN,n \in \mathbb{N}, un+1=2un3;u_{n+1}=2 u_{n}-3 \: ;
  • Δ,\Delta , le discriminant du trinôme hh défini par h(x)=12x23x+3;h(x)=\dfrac{1}{2} x^{2}-3 x+3\: ;
  • α\alpha tel que h(x)=12(xα)2+β;h(x)=\dfrac{1}{2}(x-\alpha)^{2}+\beta \: ;
  • S\text{S} l’événement : « Obtenir un nombre premier en lançant un dé équilibré à 20 faces » ;
  • T\text{T} l’événement : « Obtenir un nombre pair en lançant un dé équilibré à 20 faces » ;
  • X\text{X} la variable aléatoire qui, à chaque issue de l’expérience consistant à lancer un dé cubique équilibré, associe le résultat obtenu sur le dé ;
  • le cercle C\mathcal{C} d’équation (x1)2+(y1,5)2=3,25;(x - 1)^2 + (y - 1{,}5)^2 = 3{,}25\: ;
  • K\text{K} le point d’intersection de C\mathcal{C} avec l’axe des ordonnées tel que yK>0.y_{\mathrm{K}}\gt0.

Placer les points suivants dans le repère (O;i,j).(\text{O} \:; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}).

1. A(f(1);0)\mathrm{A}\left(-f^{\prime}(-1) \:; 0\right)

2. D(cos(π4);Δ)\mathrm{D}\left(\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\: ; \Delta\right)

3. E(2×e2×e3e6;E(X)×67)\mathrm{E}\left(2 \times \dfrac{\mathrm{e}^{2} \times \mathrm{e}^{3}}{\mathrm{e}^{6}}\: ;-\mathrm{E}(\mathrm{X}) \times \dfrac{6}{7}\right)

4. G(u2;yK)\mathrm{G}\left(u_{2}\: ;-y_{\mathrm{K}}\right)

5. P\text{P} d’abscisse xP=1x_\mathrm{P}=-1 tel que AEAP=0.\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}=0.

6. R(α3;PT(S)×307)\mathrm{R}\left(-\dfrac{\alpha}{3} ; \mathrm{P}_{\mathrm{T}}(\mathrm{S}) \times \dfrac{30}{7}\right)

7. V\text{V} tel que cos(APV^)=g(π4)\cos (\widehat{\mathrm{APV}})=g^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{4}\right) et PV=32.\mathrm{PV}=3 \sqrt{2}.

8. Tracer les segments [RV],\text{[RV],} [RP],\text{[RP],} [VA],\text{[VA],} [PA],\text{[PA],} [AE]\text{[AE]} et [GE].\text{[GE].}

9. LLS.fr/M1
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