Exercices de 1 à 17

Exercices transversaux


Exercices tranversaux re


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Dérivation Applications de la dérivation Trigonométrie

D’après Bac S – France métropolitaine – 2016
Lors d’un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E\text{E} (voir figure ci-dessous) situé à l’extérieur du segment [AB].\text{[AB].} La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point T\text{T} que le joueur a le droit de choisir n’importe où sur le segment [EM]\text{[EM]} perpendiculaire à la droite (AB)\text{(AB)} sauf en E.\text{E.} La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A\text{A} et B\text{B} sur la figure.

EXERCICES TRANSVERSAUX

Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T\text{T} qui rend l’angle ATB^\widehat{\mathrm{ATB}} le plus grand possible.
Le but de cet exercice est donc de rechercher s’il existe une position du point T\text{T} sur le segment [EM]\text{[EM]} pour laquelle l’angle ATB^\widehat{\mathrm{ATB}} est maximum et, si c’est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.
Dans toute la suite, on note xx la longueur ET.\text{ET.}
Les dimensions sur le terrain sont les suivantes : EM=50\text{EM} = 50 m, EA=25\text{EA} = 25 m et AB=5,6\text{AB} = 5{,}6 m.
On note α\alpha la mesure en radian de l’angle ETA^,\widehat{\mathrm{ETA}}, β\beta la mesure en radian de l’angle ETB^\widehat{\mathrm{ETB}} et θ\theta la mesure en radian de l’angle ATB^.\widehat{\mathrm{ATB}}.

1. En utilisant les triangles rectangles ETA\text{ETA} et ETB\text{ETB} ainsi que les longueurs fournies, exprimer tan(α)\tan (\alpha) et tan(β)\tan (\beta) en fonction de x.x .

2. L’angle ATB^\widehat{\mathrm{ATB}} admet une mesure θ\theta appartenant à l’intervalle ]0;π2[\left]0\: ; \dfrac{\pi}{2}\right[ que l’on peut observer sur la figure.
On admet que, pour tous réels aa et bb de ]0;π2[,\left]0\: ; \dfrac{\pi}{2}\right[, tan(ab)=tan(a)tan(b)1+tan(a)tan(b).\tan (a-b)=\dfrac{\tan (a)-\tan (b)}{1+\tan (a) \tan (b)}.
Montrer que tan(θ)=5,6xx2+765.\tan (\theta)=\dfrac{5{,}6 x}{x^{2}+765}.

3. On admet que la fonction tan\text{tan} est croissante sur l’intervalle ]0;π2[.\left]0\: ; \dfrac{\pi}{2}\right[.
L’angle ATB^\widehat{\mathrm{ATB}} est maximum lorsque sa mesure θ\theta est maximale.
Montrer que cela correspond à un maximum sur l’intervalle ]0;50]\left]0\: ; 50\right] de la fonction ff définie par : f(x)=5,6xx2+765.f(x)=\dfrac{5{,}6 x}{x^{2}+765}.

4. Montrer qu’il existe une unique valeur de xx pour laquelle l’angle ATB^\widehat{\mathrm{ATB}} est maximum et déterminer alors cette valeur de xx au mètre près, ainsi qu’une mesure de l’angle ATB^\widehat{\mathrm{ATB}} à 0,010{,}01 radian près.


Rugby


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Suites numériques Équations et inéquations du second degré

Soit (un)(u_n) la suite définie par un=n22nu_{n}=\dfrac{n^{2}}{2^{n}} pour tout entier naturel n.n .

1. Calculer les cinq premiers termes de la suite. La suite semble-t-elle croissante ? décroissante ?

2. Exprimer un+1unu_{n+1}-u_{n} en fonction de n.n .

3. Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=x2+2x+1.f(x) = -x^2 + 2x + 1. Étudier le signe de f(x)f(x) en fonction de x.x .

4. En déduire que la suite est décroissante à partir d’un certain rang que l’on déterminera.

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Suites numériques Équations et inéquations du second degré

Partie A : La suite de Fibonacci
La suite de Fibonacci est la suite définie par récurrence à partir des deux premiers termes par : F1=1,\text{F}_{1}=1, F2=1\text{F}_{2}=1 et, pour tout entier naturel nn non nul, Fn+2=Fn+1+Fn.\mathrm{F}_{n+2}=\mathrm{F}_{n+1}+\mathrm{F}_{n}.

1. Calculer tous les termes de la suite F(n)\text{F}(n) de F2\text{F}_{2} à F6.\text{F}_{6}.


2. La suite de Fibonacci viendrait de l’histoire suivante :
  • le premier mois, on possède un couple de bébés lapins (des lapereaux) ;
  • le mois suivant, ces lapereaux deviennent adultes et peuvent engendrer un nouveau couple de lapereaux le mois suivant ;
  • le troisième mois, le couple de lapins donne donc naissance à un couple de lapereaux qui agira de la même façon ;
  • le quatrième mois, le premier couple engendre à nouveau un couple de lapereaux (et le fera constamment chaque fois) et le deuxième couple de lapereaux devient adulte et pourra, le mois suivant, donner également naissance à un couple. Les lapins ne meurent jamais et continue de se reproduire de la même façon tous les mois.

À partir de ce texte, retrouver F3\text{F}_{3} à F4\text{F}_{4} puis déterminer ce qu’il se passe le cinquième mois.


3. Éléonore se retrouve face à un escalier.
Pour chaque marche, elle peut décider, soit de monter dessus, soit de l’éviter pour aller à la marche suivante. Elle continue comme ça jusqu’à arriver tout en haut. Soit En\text{E}_n le nombre de façons de monter un escalier de nn marches en utilisant cette méthode. On admet que E0=1\text{E}_0 =1 (l’escalier n’a pas de marche).
a. Montrer que E1=1,E2=2,E3=3\mathrm{E}_{1}=1, \mathrm{E}_{2}=2, \mathrm{E}_{3}=3 et E4=5\mathrm{E}_{4}=5

b. Comment justifier que l’on retrouve les mêmes termes que ceux de la suite de Fibonacci ?


Partie B : Le nombre d’or
Le nombre d’or est le rapport entre deux réels strictement positifs aa et bb vérifiant la relation ab=a+ba.\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+b}{a}.

1. Vérifier que les réels a=161a = 161 et b=100b = 100 respectent presque cette égalité.

2. a. Déterminer l’équation vérifiée par aa lorsque b=1.b = 1.

b. Le nombre d’or, noté φ\varphi, est la solution positive de cette équation. Déterminer la valeur exacte de φ\varphi puis une valeur approchée à 10310^{-3} près.


Partie C : Des lapins en or ?
Quel est le lien entre les lapins de Fibonacci et le nombre d’or ?

1. Calculer F2F1\dfrac{\text{F}_{2}}{\text{F}_{1}} puis F3F2\dfrac{\text{F}_{3}}{\text{F}_{2}} et enfin F3F2.\dfrac{\text{F}_{3}}{\text{F}_{2}}.

2. Continuer de calculer les rapports successifs jusqu’à F8F7.\dfrac{\text{F}_{8}}{\text{F}_{7}}. Que peut-on conjecturer ?

3. À l’aide de la calculatrice ou d’un programme réalisé avec Python, calculer le rapport Fn+1Fn\dfrac{\text{F}_{n+1}}{\text{F}_{n}} lorsque nn devient de plus en plus grand.





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Fonctions de référence Équations et inéquations du second degré

Une entreprise familiale de jouets fabrique un jeu de société « Mathong ».
L’entreprise familiale ne peut pas produire plus de 50 boîtes par jour.
Le coût journalier de production de qq boîtes de ce jeu, exprimé en euro, se modélise par la fonction suivante : C(q)=2q226,5q+100\mathrm{C}(q)=2 q^{2}-26{,}5 q+100 avec q[0;50].q \in[0\: ; 50]. Le prix de vente est fixé à 15,90 euros la boîte.

1. Le 5 septembre 2018, l’entreprise a été dans l’incapacité de produire. Quel a été son coût de production ?

2. Démontrer que, pour tout réel q,q, on a : C(q)=2(q6,625)2+12,21875.\mathrm{C}(q)=2(q-6{,}625)^{2}+12{,}21875.

3. Pour quelle quantité de boîtes q,q , le coût de production est minimal ? Quelle est la valeur de ce coût minimal ?

4. On note R(q)\text{R}(q) la recette pour la vente de qq boîtes du jeu « Mathong ».
a. Exprimer R(q)\text{R}(q) en fonction de q.q .

b. Tracer sur une calculatrice la représentation graphique des fonctions C\text{C} et R.\text{R.}
c. Par lecture graphique, pour quelles quantités qq la recette est-elle supérieure au coût de production ?

5. On note B(q)\text{B}(q) le bénéfice de l’entreprise pour qq boîtes vendues.
a. Justifier que, pour tout réel q:q \: : B(q)=2(q10,6)2+124,72.\mathrm{B}(q)=-2(q-10{,}6)^{2}+124{,}72.

b. En déduire le bénéfice maximal pour cette entreprise.

c. Déterminer graphiquement puis algébriquement les quantités qq pour lesquelles l’entreprise est bénéficiaire. Quelle conclusion peut-on en tirer ?

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Équations et inéquations du second degré Applications de la dérivation

ff est une fonction du troisième degré définie et dérivable sur R\R par f(x)=ax3+bx2+cx+d,f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d ,a,a, b,b, cc et dd sont des réels donnés avec a0.a \neq 0. ff^{\prime} est la fonction dérivée de f.f.

1. Exprimer f(x)f^{\prime}(x) en fonction de a,a, b,b, cc et x.x.

2. Démontrer que ff admet deux extremums locaux sur R\R si et seulement si 4b212ac>0.4b^2 - 12ac \gt 0 .

3. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous.

D4×b212×a×cSi D > 0 :afficher ...Sinon :Si a > 0 :afficher ...Sinon :afficher ...Fin SiFin Si \boxed{ \begin{array} { l } { \text {D} \leftarrow 4 \times b^{2}-12 \times a \times c } \\ \text {Si D > 0 :} \\ \quad \text {afficher } ... \\ \text {Sinon :}\\ \quad \text {Si a > 0 :} \\ \quad \quad \text {afficher } ... \\ \quad \text {Sinon :} \\ \quad \quad \text {afficher } ... \\ \quad \text {Fin Si} \\ \text {Fin Si} \\ \end{array} }


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Dérivation Applications de la dérivation Fonctions trigonométriques

Partie A :
gg est la fonction définie sur R\R par g(x)=x3+3x4.g(x) = x^3 + 3x - 4 .

1. Montrer que la fonction gg est strictement croissante sur R\R puis dresser son tableau de variations sur R.\R.


Couleurs
Formes
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2. Justifer que 11 est une solution de l’équation g(x)=0.g(x) = 0 . On admet que c’est la seule solution de cette équation.

3. En déduire le signe de g(x)g(x) sur R.\R.


Partie B :
ff est la fonction définie sur R\R par f(x)=2x3+4x2x2+1.f(x)=\dfrac{-2 x^{3}+4 x^{2}}{x^{2}+1}.
Cf\mathcal{C}_f est la courbe représentative de ff dans un repère orthonormé.

1. ff^{\prime} est la fonction dérivée de f.f . Montrer que, pour tout réel x,x , f(x)=2x×g(x)(x2+1)2.f^{\prime}(x)=\dfrac{-2 x \times g(x)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.

2. Étudier le signe de f(x),f^{\prime}(x), puis dresser le tableau de variations de f.f.

Couleurs
Formes
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3. Peut-on trouver des points de Cf\mathcal{C}_f en lesquels la tangente est parallèle à la droite Δ\Delta d’équation y=2x?y = -2x \: ? Si oui, préciser leur abscisse.


Partie C :
La fonction tangente est définie pour tous les réels où la fonction cosinus ne s’annule pas par :
tan(x)=sin(x)cos(x)\tan (x)=\dfrac{\sin (x)}{\cos (x)}
On considère l’équation (E):tan3(x)+3tan(x)4=0.\text{(E)} : \tan ^{3}(x)+3 \tan (x)-4=0.
Le but de cette partie est de résoudre dans R\R l’équation (E).\text{(E)}. On pose X=tan(x).\mathrm{X}=\tan (x).

1. Vérifier que résoudre l’équation (E)\text{(E)} revient à résoudre g(X)=0.g(\text{X}) = 0 .

2. Quelle est la valeur de X\text{X} solution de cette équation ? Que vaut alors tan(x)?\tan(x) ?

3. Montrer que tan(x)=1\tan(x) = 1 équivaut à : cos(x)=cos(π2x).\cos (x)=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right).

4. En déduire les solutions de l’équation (E).\text{(E)}.

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Suites numériques Équations et inéquations du second degré

On souhaite percer un nouveau tunnel de cinq kilomètres de long. Le premier jour, 300 mètres sont creusés. Chaque jour, la longueur de forage diminue de 5 mètres.
Au bout de combien de jours le tunnel sera-t-il percé ?

EXERCICES TRANSVERSAUX - tunnel

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Équations et inéquations du second degré Probabilités conditionnelles

On dispose de deux dés cubiques équilibrés :
  • un dé bleu dont les faces sont numérotées 2;-2\: ; 1;-1\: ; 2;2\: ; 4;4\: ; 55 et 6;6\: ;
  • un dé rouge dont les faces sont numérotées 4 ;-4\ ; 3 ;-3\ ; 0 ;0\ ; 1 ;1\ ; 33 et 7.7.

On lance simultanément ces deux dés et on obtient alors deux nombres : bb est égal au nombre apparaissant sur la face supérieure du dé bleu et cc est égal au nombre apparaissant sur la face supérieure du dé rouge.
On s’intéresse à l’équation x2+bx+c=0.x^2 + bx + c = 0 .

1. On considère les événements :
  • A\text{A} : « l’équation n’admet aucune solution » ;
  • B\text{B} : « l’équation admet une unique solution » ;
  • C\text{C} : « l’équation admet deux solutions ».

Déterminer la probabilité de ces événements.

2. Sachant que l’équation admet au moins une solution, quelle est la probabilité d’obtenir une solution positive ?

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Équations et inéquations du second degré Applications de la dérivation

ff est la fonction définie sur R\R par f(x)=x3+ax2+axf(x) = x^3 + ax^2 + axaa est un réel fixé.
Démontrer que ff est strictement croissante sur R\R si et seulement si a]0;3[.a \in] 0 \:; 3[.

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Fonctions de référence Probabilités conditionnelles

ff est une fonction définie sur R\R par f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c dont la représentation graphique dans un repère orthonormé est notée Cf.\text{C}_f.
On lance trois fois un dé équilibré à six faces.
Le premier lancer donne la valeur de a,a , le deuxième celle de bb et le troisième celle de c.c .

On définit les événements :
  • A\text{A} : « Cf\text{C}_f coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée 44 » ;
  • B\text{B} : « ff admet 00 pour extremum » ;
  • C\text{C} : « 00 a exactement deux antécédents par ff ».

1. Combien d’issues comporte cette expérience aléatoire ?

2. Déterminer la probabilité d’obtenir la fonction ff d’expression f(x)=5x2+6x+1.f(x) = 5x^2 + 6x + 1 .

3. Déterminer la probabilité d’obtenir une fonction ff dont le coefficient bb est un entier pair.

4. Déterminer les probabilités des événements A\text{A} et B.\text{B.}

5. a. Déterminer une inégalité partant sur a,a , bb et cc pour que l’événement C\text{C} se réalise.

b. Déterminer alors toutes les issues réalisant C\text{C} et en déduire P(C).\text{P(C).}

6. Déterminer la probabilité des événements AB\mathrm{A} \cap \mathrm{B} et BC.\mathrm{B} \cap \mathrm{C}.

7. Calculer et interpréter PA(B)\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}) et PB(C).\mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{C}).

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Équations et inéquations du second degré Dérivation
Applications de la dérivation Produit scalaire

Soit (O;i,j)(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}) un repère orthonormé du plan dans lequel on considère la fonction ff définie par f(x)