Exercices transversaux

On souhaite percer un nouveau tunnel de cinq kilomètres de long. Le premier jour, 300 mètres sont creusés. Chaque jour, la longueur de forage diminue de 5 mètres.
Au bout de combien de jours le tunnel sera‑t‑il percé ?

Partie A : La suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci est la suite définie par récurrence à partir des deux premiers termes par : ${\text{F}}_1=1,$ ${\text{F}}_2=1$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, ${\mathrm{F}}_{n+2}={\mathrm{F}}_{n+1}+{\mathrm{F}}_n.$

1. Calculer tous les termes de la suite $\text{F}(n)$ de ${\text{F}}_2$ à ${\text{F}}_6.$

2. La suite de Fibonacci viendrait de l'histoire suivante :

• le premier mois, on possède un couple de bébés lapins (des lapereaux) ;
• le mois suivant, ces lapereaux deviennent adultes et peuvent engendrer un nouveau couple de lapereaux le mois suivant ;
• le troisième mois, le couple de lapins donne donc naissance à un couple de lapereaux qui agira de la même façon ;
• le quatrième mois, le premier couple engendre à nouveau un couple de lapereaux (et le fera constamment chaque fois) et le deuxième couple de lapereaux devient adulte et pourra, le mois suivant, donner également naissance à un couple. Les lapins ne meurent jamais et continue de se reproduire de la même façon tous les mois.

À partir de ce texte, retrouver ${\text{F}}_3$ à ${\text{F}}_4$ puis déterminer ce qu'il se passe le cinquième mois.

3. Éléonore se retrouve face à un escalier.
Pour chaque marche, elle peut décider, soit de monter dessus, soit de l'éviter pour aller à la marche suivante. Elle continue comme ça jusqu'à arriver tout en haut. Soit ${\text{E}}_n$ le nombre de façons de monter un escalier de $n$ marches en utilisant cette méthode. On admet que ${\text{E}}_0=1$ (l'escalier n'a pas de marche).

a. Montrer que ${\mathrm{E}}_1=1,{\mathrm{E}}_2=2,{\mathrm{E}}_3=3$ et ${\mathrm{E}}_4=5$

b. Comment justifier que l'on retrouve les mêmes termes que ceux de la suite de Fibonacci ?

Partie B : Le nombre d'or

Le nombre d'or est le rapport entre deux réels strictement positifs $a$ et $b$ vérifiant la relation $\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}.$

1. Vérifier que les réels $a=161$ et $b=100$ respectent presque cette égalité.

2. a. Déterminer l'équation vérifiée par $a$ lorsque $b=1.$

b. Le nombre d'or, noté $\phi$, est la solution positive de cette équation. Déterminer la valeur exacte de $\phi$ puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près.

Partie C : Des lapins en or ?

Quel est le lien entre les lapins de Fibonacci et le nombre d'or ?

1. Calculer $\frac{{\text{F}}_2}{{\text{F}}_1}$ puis $\frac{{\text{F}}_3}{{\text{F}}_2}$ et enfin $\frac{{\text{F}}_4}{{\text{F}}_3}.$

2. Continuer de calculer les rapports successifs jusqu'à $\frac{{\text{F}}_8}{{\text{F}}_7}.$ Que peut-on conjecturer ?

3. À l'aide de la calculatrice ou d'un programme réalisé avec Python, calculer le rapport $\frac{{\text{F}}_{n+1}}{{\text{F}}_n}$ lorsque $n$ devient de plus en plus grand.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=\frac{n^2}{2^n}$ pour tout entier naturel $n.$

1. Calculer les cinq premiers termes de la suite. La suite semble-t-elle croissante ? décroissante ?

2. Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n.$

3. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-x^2+2x+1.$ Étudier le signe de $f(x)$ en fonction de $x.$

4. En déduire que la suite est décroissante à partir d'un certain rang que l'on déterminera.

$f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=a{x}^2+bx+c$ dont la représentation graphique dans un repère orthonormé est notée ${\text{C}}_f.$
On lance trois fois un dé équilibré à six faces.
Le premier lancer donne la valeur de $a,$ le deuxième celle de $b$ et le troisième celle de $c.$

On définit les événements :

• $\text{A}$ : « ${\text{C}}_f$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $4$ » ;
• $\text{B}$ : « $f$ admet $0$ pour extremum » ;
• $\text{C}$ : « $0$ a exactement deux antécédents par $f$ ».

1. Combien d'issues comporte cette expérience aléatoire ?

2. Déterminer la probabilité d'obtenir la fonction $f$ d'expression $f(x)=5x^2+6x+1.$

3. Déterminer la probabilité d'obtenir une fonction $f$ dont le coefficient $b$ est un entier pair.

4. Déterminer les probabilités des événements $\text{A}$ et $\text{B.}$

5. a. Déterminer une inégalité partant sur $a,$ $b$ et $c$ pour que l'événement $\text{C}$ se réalise.

b. Déterminer alors toutes les issues réalisant $\text{C}$ et en déduire $\text{P(C).}$

6. Déterminer la probabilité des événements $\mathrm{A}\cap \mathrm{B}$ et $\mathrm{B}\cap \mathrm{C}.$

7. Calculer et interpréter ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})$ et ${\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{C}).$

On dispose de deux dés cubiques équilibrés :

• un dé bleu dont les faces sont numérotées $-2;$ $-1;$ $2;$ $4;$ $5$ et $6;$
• un dé rouge dont les faces sont numérotées $-4;$ $-3;$ $0;$ $1;$ $3$ et $7.$

On lance simultanément ces deux dés et on obtient alors deux nombres : $b$ est égal au nombre apparaissant sur la face supérieure du dé bleu et $c$ est égal au nombre apparaissant sur la face supérieure du dé rouge.
On s'intéresse à l'équation $x^2+bx+c=0.$

1. On considère les événements :

• $\text{A}$ : « l'équation n'admet aucune solution » ;
• $\text{B}$ : « l'équation admet une unique solution » ;
• $\text{C}$ : « l'équation admet deux solutions ».

Déterminer la probabilité de ces événements.

2. Sachant que l'équation admet au moins une solution, quelle est la probabilité d'obtenir une solution positive ?

On munit le plan d'un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).$
On considère un cercle $\mathcal{C}$ de centre $\text{I}(-1;2)$ et de rayon $r=5.$
$\text{M}$ est le point de coordonnées $\text{M}(x;3)$ où $x$ est un réel.
On appelle puissance du point $\text{M}$ pour le cercle $\mathcal{C}$ le réel défini par $\text{P(M)}={\text{IM}}^2-r^2.$

1. Exprimer $\text{P(M)}$ en fonction de $x.$

2. On définit la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+2x-23.$

a. Justifier que, pour tout réel $x,$ $f(x)=(x+1{)}^2-24.$

b. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}.$

c. Étudier le signe de $f$ sur $\mathbb{R}.$

d. Déterminer les coordonnées des points $\text{M}$ vérifiant $\text{P(M)}=1.$

3. On considère une tangente $d$ au cercle $\mathcal{C}$ passant par $\text{M.}$ On note $\text{T}$ le point d'intersection de $d$ et $\mathcal{C}.$


Démontrer que $\text{P(M)}={\text{MT}}^2.$

4. Dans cette question, on pose $x=-6.$

a. Déterminer $\text{P(M).}$

b. On admet qu'il existe deux tangentes à $\mathcal{C}$ passant par $\text{M}$ et que ${\mathrm{T}}_1(-6;2)$ et ${\mathrm{T}}_2\left(-\frac{73}{13};\frac{51}{13}\right)$ sont les deux points d'intersection entre les tangentes et le cercle.
Justifier que ${\mathrm{MT}}_1^2={\mathrm{MT}}_2^2=1$.

Une entreprise familiale de jouets fabrique un jeu de société « Mathong ».
L'entreprise familiale ne peut pas produire plus de 50 boîtes par jour.
Le coût journalier de production de $q$ boîtes de ce jeu, exprimé en euro, se modélise par la fonction suivante : $\mathrm{C}(q)=2q^2-26,5q+100$ avec $q\in [0;50].$ Le prix de vente est fixé à 15,90 euros la boîte.

1. Le 5 septembre 2018, l'entreprise a été dans l'incapacité de produire. Quel a été son coût de production ?

2. Démontrer que, pour tout réel $q,$ on a : $\mathrm{C}(q)=2(q-6,625{)}^2+12,21875.$

3. Pour quelle quantité de boîtes $q,$ le coût de production est minimal ? Quelle est la valeur de ce coût minimal ?

4. On note $\text{R}(q)$ la recette pour la vente de $q$ boîtes du jeu « Mathong ».

a. Exprimer $\text{R}(q)$ en fonction de $q.$

b. Tracer sur une calculatrice la représentation graphique des fonctions $\text{C}$ et $\text{R.}$

c. Par lecture graphique, pour quelles quantités $q$ la recette est-elle supérieure au coût de production ?

5. On note $\text{B}(q)$ le bénéfice de l'entreprise pour $q$ boîtes vendues.

a. Justifier que, pour tout réel $q:$ $\mathrm{B}(q)=-2(q-10,6{)}^2+124,72.$

b. En déduire le bénéfice maximal pour cette entreprise.

c. Déterminer graphiquement puis algébriquement les quantités $q$ pour lesquelles l'entreprise est bénéficiaire. Quelle conclusion peut-on en tirer ?

Un vacancier loue un canot à moteur pour faire une promenade de 35 km en longeant le bord de mer. Le prix de la location, proportionnel à la durée de la location, est de 20 euros par heure.
Pour une vitesse $\text{V}$ (exprimée en km·h^–1) constante, la consommation de carburant, par heure, en litre, est donnée par : $\mathrm{E}(\mathrm{V})=0,25+0,04{\mathrm{V}}^2.$
Pour la suite, on suppose que $\text{V}>0.$

1. Quelle est, en fonction de $\text{V,}$ la durée $\text{T}$ de la promenade si elle s'effectue à une vitesse constante de $\text{V ?}$

2. Quelle est la quantité de carburant consommé en une heure à une vitesse constante $\text{V}=20$ km·h^–1 ?

3. Montrer que la quantité de carburant $\text{Q(V)}$ consommée si la promenade de 35 km est effectuée à la vitesse constante $\text{V,}$ en litre, est $\mathrm{Q}(\mathrm{V})=\frac{8,75}{\mathrm{V}}+1,4\mathrm{V}.$

4. Le prix du litre de carburant est 1 euro. Exprimer, en fonction de $\text{V,}$ le coût du carburant pour cette sortie. Le coût du carburant est noté $\text{C(V).}$

5. Montrer que la somme à payer pour la location (sans le carburant) est donnée en fonction de $\text{V}$ par $\mathrm{S}(\mathrm{V})=\frac{700}{\mathrm{V}}.$

6. Montrer que la somme totale à payer (location + carburant) est ${\mathrm{S}}_t(\mathrm{V})=\frac{708,75}{\mathrm{V}}+1,4\mathrm{V}.$

7. ${\text{S}}_t^{\prime }$ est la fonction dérivée de ${\text{S}}_t.$ Montrer que ${\text{S}}_t^{\prime }(\mathrm{V})=\frac{1,4(\mathrm{V}+22,5)(\mathrm{V}-22,5)}{{\mathrm{V}}^2}.$

8. Étudier le signe de ${\text{S}}_t^{\prime }(\mathrm{V}),$ dresser le tableau de variations de ${\text{S}}_t,$ puis déduire la vitesse ${\text{V}}_0$ pour laquelle la somme totale à payer est minimale.

Soit $f$ la fonction définie sur ${\mathcal{D}}_f=\mathbb{R}\backslash \{1\}$ par $f(x)=\frac{-2x^2+3x-2}{x-1}.$
On appelle ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormé.

1. Déterminer la fonction dérivée de $f$ sur ${\mathcal{D}}_f.$

2. En déduire le sens de variation de $f$ sur chaque intervalle de ${\mathcal{D}}_f,$ puis dresser le tableau de variations de $f$ sur ${\mathcal{D}}_f.$

3. Montrer que, pour tout $x\in {\mathcal{D}}_f,$ $f(x)=-2x+1-\frac{1}{x-1}.$

4. Soit $d$ la droite d'équation $y=-2x+1.$ Étudier la position relative de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $d.$

5. Déterminer l'équation réduite de la tangente $\text{T}$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0.$

6. ${\mathcal{C}}_f$ admet-elle des tangentes parallèles à $\text{T ?}$ Si oui, donner l'équation réduite de chacune d'elles.

7. Tracer sur le même repère ${\mathcal{C}}_f,$ $d,$ $\text{T}$ et les éventuelles tangentes trouvées à la question précédente.

Le circuit électrique schématisé ci-après comprend :

• un générateur de f.é.m (force électromotrice) fixe ${\mathrm{U}}_0=12$ volts ;
• une résistance fixe ${\mathrm{R}}_0=6$ ohms ;
• une résistance variable $\text{R}$ en ohm.

On admet que la puissance (en watt) dissipée dans la résistance $\text{R,}$ en fonction de ${\mathrm{U}}_0$ et de ${\mathrm{R}}_0,$ est donnée par la fonction $\text{P}$ définie sur $\mathrm{K}=[0;+\infty [$ par $\text{P(R)}=\frac{{\text{U}}_0^2\text{R}}{{\left({\text{R+R}}_0\right)}^2}.$

1. Avec les valeurs données dans l'énoncé, écrire l'expression de la fonction $\text{P}$ et déterminer sa dérivée.

2. Étudier les variations de la fonction $\text{P}$ sur $\text{K}.$

3. Déterminer la valeur à donner à la résistance $\text{R}$ pour que la puissance dissipée soit maximale.

4. a. À la calculatrice, tracer la représentation graphique de la fonction $\text{P.}$

b. À l'aide du graphique, conjecturer pour quelles valeurs de $\text{R}$ la puissance est supérieure à 4,5 watts.

c. Vérifier, par le calcul, les résultats précédents.

Soit $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ un repère orthonormé du plan dans lequel on considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac{x^2+12x+24}{2x+4}$ et sa représentation graphique notée ${\mathcal{C}}_f.$

1. Déterminer l'ensemble de définition ${\mathcal{D}}_f$ de $f$ et son ensemble de dérivabilité.

2. Montrer que, pour tout $x\in {\mathcal{D}}_f,$ $f^{\prime }(x)=\frac{2x^2+8x}{(2x+4{)}^2}.$

3. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations sur ${\mathcal{D}}_f.$

4. a. Déterminer les coordonnées des points de ${\mathcal{C}}_f$ où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.

b. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de ${\mathcal{C}}_f$ avec les axes du repère.

5. Déterminer l'équation réduite de la tangente $\Delta$ à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $-1.$

6. La courbe ${\mathcal{C}}_f$ admet-elle une tangente perpendiculaire à la droite $d$ d'équation cartésienne $2x-0,5y-1=0?$ Si oui, préciser en quel point ?

$f$ est une fonction du troisième degré définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d,$ où $a,$ $b,$ $c$ et $d$ sont des réels donnés avec $a\ne 0.$ $f^{\prime }$ est la fonction dérivée de $f.$

1. Exprimer $f^{\prime }(x)$ en fonction de $a,$ $b,$ $c$ et $x.$

2. Démontrer que $f$ admet deux extremums locaux sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $4b^2-12ac>0.$

3. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous.

$\boxed{\begin{array}{l}\text{D}\leftarrow 4\times b^2-12\times a\times c\\ \text{Si D > 0 :}\\ \text{afficher }...\\ \text{Sinon :}\\ \text{Si a > 0 :}\\ \text{afficher }...\\ \text{Sinon :}\\ \text{afficher }...\\ \text{Fin Si}\\ \text{Fin Si}\end{array}}$

D'après Bac S – France métropolitaine – 2016

Lors d'un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point $\text{E}$ (voir figure ci-dessous) situé à l'extérieur du segment $\text{[AB].}$ La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point $\text{T}$ que le joueur a le droit de choisir n'importe où sur le segment $\text{[EM]}$ perpendiculaire à la droite $\text{(AB)}$ sauf en $\text{E.}$ La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points $\text{A}$ et $\text{B}$ sur la figure.

Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point $\text{T}$ qui rend l'angle $\widehat{\mathrm{ATB}}$ le plus grand possible.
Le but de cet exercice est donc de rechercher s'il existe une position du point $\text{T}$ sur le segment $\text{[EM]}$ pour laquelle l'angle $\widehat{\mathrm{ATB}}$ est maximum et, si c'est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.
Dans toute la suite, on note $x$ la longueur $\text{ET.}$
Les dimensions sur le terrain sont les suivantes : $\text{EM}=50$ m, $\text{EA}=25$ m et $\text{AB}=5,6$ m.
On note $\alpha$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\mathrm{ETA}},$ $\beta$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\mathrm{ETB}}$ et $\theta$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\mathrm{ATB}}.$

1. En utilisant les triangles rectangles $\text{ETA}$ et $\text{ETB}$ ainsi que les longueurs fournies, exprimer $\tan (\alpha )$ et $\tan (\beta )$ en fonction de $x.$

2. L'angle $\widehat{\mathrm{ATB}}$ admet une mesure $\theta$ appartenant à l'intervalle $\left]0;\frac{\pi }{2}\right[$ que l'on peut observer sur la figure.
On admet que, pour tous réels $a$ et $b$ de $\left]0;\frac{\pi }{2}\right[,$ $\tan (a-b)=\frac{\tan (a)-\tan (b)}{1+\tan (a)\tan (b)}.$
Montrer que $\tan (\theta )=\frac{5,6x}{x^2+765}.$

3. On admet que la fonction $\text{tan}$ est croissante sur l'intervalle $\left]0;\frac{\pi }{2}\right[.$
L'angle $\widehat{\mathrm{ATB}}$ est maximum lorsque sa mesure $\theta$ est maximale.
Montrer que cela correspond à un maximum sur l'intervalle $\left]0;50\right]$ de la fonction $f$ définie par : $f(x)=\frac{5,6x}{x^2+765}.$

4. Montrer qu'il existe une unique valeur de $x$ pour laquelle l'angle $\widehat{\mathrm{ATB}}$ est maximum et déterminer alors cette valeur de $x$ au mètre près, ainsi qu'une mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{ATB}}$ à $0,01$ radian près.

Partie A :

$g$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^3+3x-4.$

1. Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ puis dresser son tableau de variations sur $\mathbb{R}.$

2. Justifer que $1$ est une solution de l'équation $g(x)=0.$ On admet que c'est la seule solution de cette équation.

3. En déduire le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}.$

Partie B :

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{-2x^3+4x^2}{x^2+1}.$
${\mathcal{C}}_f$ est la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

1. $f^{\prime }$ est la fonction dérivée de $f.$ Montrer que, pour tout réel $x,$ $f^{\prime }(x)=\frac{-2x\times g(x)}{{\left(x^2+1\right)}^2}.$

2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x),$ puis dresser le tableau de variations de $f.$

3. Peut-on trouver des points de ${\mathcal{C}}_f$ en lesquels la tangente est parallèle à la droite $\Delta$ d'équation $y=-2x?$ Si oui, préciser leur abscisse.

Partie C :

La fonction tangente est définie pour tous les réels où la fonction cosinus ne s'annule pas par :
$\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$
On considère l'équation $\text{(E)}:{\tan }^3(x)+3\tan (x)-4=0.$
Le but de cette partie est de résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\text{(E)}.$ On pose $\mathrm{X}=\tan (x).$

1. Vérifier que résoudre l'équation $\text{(E)}$ revient à résoudre $g(\text{X})=0.$

2. Quelle est la valeur de $\text{X}$ solution de cette équation ? Que vaut alors $\tan (x)?$

3. Montrer que $\tan (x)=1$ équivaut à : $\cos (x)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right).$

4. En déduire les solutions de l'équation $\text{(E)}.$