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COURS 3


3
Résolution de problèmes géométriques




C
Formule d'Al-Kashi


Propriété

Pour tout triangle ABC\text{ABC}, on a : BC2=AB2+AC22×AB×AC×cos(BAC^)\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2 - 2 \times \text{AB} \times \text{AC} \times \cos\left(\widehat{\text{BAC}}\right).

DÉMONSTRATION

Voir exercice 72 p. 260.

Remarque

Si ABC\text{ABC} est rectangle en A\text{A}, on retrouve le théorème de Pythagore.

Application et méthode


SOLUTION

On appelle I\text{I} le milieu de [AB].\text{[AB].}
On a donc MA2+MB2=(MI+IA)2+(MI+IB)2,\mathrm{MA}^{2}+\mathrm{MB}^{2}=(\overrightarrow{\mathrm{MI}}+\overrightarrow{\mathrm{IA}})^{2}+(\overrightarrow{\mathrm{MI}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}})^{2},
puis MA2+MB2=2MI2+2MI(IA+IB)+12AB2.\mathrm{MA}^{2}+\mathrm{MB}^{2}=2 \mathrm{MI}^{2}+2 \overrightarrow{\mathrm{MI}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{IA}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}})+\dfrac{1}{2} \mathrm{AB}^{2}.
IA+IB=0,\overrightarrow{\mathrm{IA}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}}=\overrightarrow{0}, donc on doit minimiser 2MI2+12AB2.2 \mathrm{MI}^{2}+\dfrac{1}{2} \mathrm{AB}^{2}. Pour MI,2MI2>0,\mathrm{M} \neq \mathrm{I}, 2 \mathrm{MI}^{2}>0, donc c’est pour M=I\text{M} = \text{I} que la valeur atteint son minimum.

Pour s'entraîner : exercices 71 p. 271

Énoncé

On cherche le point M\text{M} qui minimise la quantité MA2+MB2\text{MA}^2 +\text{MB}^2A\text{A} et B\text{B} sont deux points fixés du plan.

Méthode

  • On transforme l’expression de façon à retrouver une ou des constantes ainsi qu’une valeur à minimiser facilement.
  • Il est encore une fois souvent utile de penser à la relation de Chasles pour insérer un point remarquable (milieu, centre de gravité, autre point de la figure).

B
Problème d’optimisation géométrique


Définitions

Optimiser une quantité, c’est trouver un point ou un lieu qui la maximise ou qui la minimise.

Problème d’optimisation géométrique

Exemple

Soient les points A(4;0)\text{A}(4\: ; 0) et B(0;11).\text{B}(0\: ; 11). On place un point M\text{M} sur le segment [AB]\text{[AB]} et on place N\text{N} et P\text{P} sur les axes de façon à ce que MNOP\text{MNOP} soit un rectangle.
On veut savoir où placer le point M\text{M} de façon à ce que l’aire du rectangle soit maximale.
Dans GeoGebra, on a tracé la figure et on a fait afficher un point C\text{C} qui a pour abscisse celle du point M\text{M} et pour ordonnée l’aire du rectangle.
Le point qui maximise cette aire est donc le point de coordonnées (2;5,5).(2 \:; 5{,}5).

A
Problème de lieux géométriques


Définition

Un lieu géométrique est un ensemble de points qui satisfont une même condition.

Exemples

L’ensemble des points M\text{M} qui vérifient :
  • MA=MB\text{MA} = \text{MB} est la médiatrice du segment [AB].\text{[AB].}
  • AM=kAB\overrightarrow{\mathrm{AM}}=k \overrightarrow{\mathrm{AB}} est la droite [AB]\text{[AB]} ou une partie de celle-ci, suivant les valeurs de k.k.
  • ΩM=r\Omega \text{M}=r (avec r>0r>0) est le cercle de centre Ω\Omega et de rayon r.r .

Application et méthode


SOLUTION

D’après le théorème de la médiane on a : MAMB=MI214AB2.\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=\mathrm{MI}^{2}-\dfrac{1}{4} \mathrm{AB}^{2}.
Donc MAMB=kMI214AB2=kMI2=k+14AB2.\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=k \Leftrightarrow \mathrm{MI}^{2}-\dfrac{1}{4} \mathrm{AB}^{2}=k \Leftrightarrow \mathrm{MI}^{2}=k+\dfrac{1}{4} \mathrm{AB}^{2}.
  • Si k+14AB2<0k+\dfrac{1}{4} \mathrm{AB}^{2}\lt0 alors il n'y a pas de solution : S=.\mathcal{S}=\emptyset.
  • Si k+14AB2=0k+\dfrac{1}{4} \mathrm{AB}^{2} = 0 alors seul le point I\text{I} vérifie MI2=0:S={I}.\mathrm{MI}^{2}=0 : \mathcal{S}=\{\mathrm{I}\}.
  • Si k+14AB2>0k+\dfrac{1}{4} \mathrm{AB}^{2}\gt0 alors S\mathcal{S} est le cercle de centre I\text{I} et de rayon k+14AB2.\sqrt{k+\dfrac{1}{4} \mathrm{AB}^{2}}.


Pour s'entraîner : exercices 61 et 62 p. 271

Méthode

  • On transforme la relation donnée de façon à faire apparaître une relation connue.
  • On nomme le lieu géométrique obtenu et on précise ses éléments caractéristiques.

Énoncé

Suivant les valeurs de k,k, déterminer le lieu géométrique des points M\text{M} du plan vérifiant : MAMB=k.\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=k. On note I\text{I} le milieu de [AB].\text{[AB].}
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