Théorème de la médiane

Dans un triangle, la médiane issue d'un sommet est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé.

On appelle centre de gravité d'un triangle $\text{ABC}$ l'unique point $\text{G}$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}.$

Par abus de langage, on appellera longueur d'une médiane issue d'un sommet, la longueur du segment reliant ce sommet et le milieu du côté opposé.

• Les médianes d'un triangle sont concourantes (elles se coupent en un même point).
• Leur point d'intersection est le centre de gravité.
• Le centre de gravité est situé aux deux tiers d'une médiane en partant du sommet dont elle est issue.

On a donc l'égalité vectorielle $\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\prime }}.$

On note ${\text{A}}^{\prime },$ ${\text{B}}^{\prime }$ et ${\text{C}}^{\prime }$ les milieux respectifs des segments $\text{[BC],}$ $\text{[AC]}$ et $\text{[AB].}$ $\text{G}$ est le centre de gravité de $\text{ABC}$ donc $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}.$
On a alors $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0},$ et donc $-3\overrightarrow{\mathrm{GA}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}.$
Comme ${\text{A}}^{\prime }$ est le milieu de $\text{[BC]},$ alors $3\overrightarrow{\mathrm{AG}}=2\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\prime }},$ et donc $\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\prime }}.$
De même $\overrightarrow{\mathrm{BG}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{{\mathrm{BB}}^{\prime }}$et $\overrightarrow{\mathrm{CG}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{{\mathrm{CC}}^{\prime }}:\mathrm{G}$ appartient donc à chacune des médianes du triangle, elles sont donc concourantes et leur point d'intersection est le centre de gravité de $\text{ABC.}$
De plus, on a bien : $\mathrm{AG}=\frac{2}{3}{\mathrm{AA}}^{\prime }$ ; $\mathrm{BG}=\frac{2}{3}{\mathrm{BB}}^{\prime }$ et $\mathrm{CG}=\frac{2}{3}{\mathrm{CC}}^{\prime }.$

Dire que ${\text{A}}^{\prime }$ est le milieu de $\text{[BC]}$ se traduit vectoriellement par $\overrightarrow{{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{B}}+\overrightarrow{{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{C}}=\overrightarrow{0}.$ En introduisant un point $\text{M,}$ on obtient : $2\overrightarrow{{\mathrm{MA}}^{\prime }}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}.$

Soit $\text{ABC}$ un triangle et ${\text{A}}^{\prime },$ ${\text{B}}^{\prime }$ et ${\text{C}}^{\prime }$ les milieux des côtés $\text{[BC],}$ $\text{[AC]}$ et $\text{[AB].}$ On note $\text{G}$ le centre de gravité de $\text{ABC.}$ Montrer que $\text{G}$ est le centre de gravité de ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }.$

Dans un exercice de géométrie vectorielle :

• on traduit les données de l'énoncé en relations vectorielles ;
• on transforme ces données pour arriver au résultat donné.

Il est souvent utile de penser à la relation de Chasles en introduisant un point (milieu ou centre de gravité par exemple).

On sait que $\text{G}$ est le centre de gravité de $\text{ABC,}$ donc $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0},$
d'où $\overrightarrow{{\mathrm{GA}}^{\prime }}+\overrightarrow{{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{A}}+\overrightarrow{{\mathrm{GB}}^{\prime }}+\overrightarrow{{\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{B}}+\overrightarrow{{\mathrm{GC}}^{\prime }}+\overrightarrow{{\mathrm{C}}^{\prime }\mathrm{C}}=\overrightarrow{0}$
soit $\overrightarrow{{\mathrm{GA}}^{\prime }}+\overrightarrow{{\mathrm{GB}}^{\prime }}+\overrightarrow{{\mathrm{GC}}^{\prime }}$$=-\overrightarrow{{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{A}}-\overrightarrow{{\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{B}}-\overrightarrow{{\mathrm{C}}^{\prime }\mathrm{C}}$$=\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\prime }}+\overrightarrow{{\mathrm{BB}}^{\prime }}+\overrightarrow{{\mathrm{CC}}^{\prime }}.$
Or, on sait que $\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\prime }},$ donc $\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\prime }}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AG}}.$
Ainsi : $\overrightarrow{{\mathrm{GA}}^{\prime }}+\overrightarrow{{\mathrm{GB}}^{\prime }}+\overrightarrow{{\mathrm{GC}}^{\prime }}=\frac{3}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AG}}+\overrightarrow{\mathrm{BG}}+\overrightarrow{\mathrm{CG}})=\frac{-3}{2}(\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}})=\overrightarrow{0}.$
$\text{G}$ est bien le centre de gravité du triangle ${\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }{\text{C}}^{\prime }.$

Pour s'entraîner : exercices

26 et 27 p. 267

Soit $\text{ABC}$ un triangle. On note $\text{I}$ le milieu du segment $\text{[BC].}$ Alors :
1. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}={\mathrm{AI}}^2-\frac{{\mathrm{BC}}^2}{4}$
2. ${\mathrm{AB}}^2-{\mathrm{AC}}^2=2\overrightarrow{\mathrm{AI}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$
3. ${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2=2{\mathrm{AI}}^2+\frac{{\mathrm{BC}}^2}{2}$

1. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(\overrightarrow{\mathrm{AI}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}})\cdot (\overrightarrow{\mathrm{Al}}+\overrightarrow{\mathrm{IC}})$
$=\overrightarrow{\mathrm{AI}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{Al}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{Al}}+\overrightarrow{\mathrm{Al}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{IC}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{IC}}$
$={\mathrm{AI}}^2+\overrightarrow{\mathrm{Al}}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{IB}}+\overrightarrow{\mathrm{IC}})+\left(-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right)$
Comme $\overrightarrow{\mathrm{IB}}+\overrightarrow{\mathrm{IC}}=\overrightarrow{0},$ alors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}={\mathrm{AI}}^2-\frac{{\mathrm{BC}}^2}{4}.$
2. ${\mathrm{AB}}^2-{\mathrm{AC}}^2=(\overrightarrow{\mathrm{AI}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}}{)}^2-(\overrightarrow{\mathrm{AI}}+\overrightarrow{\mathrm{IC}}{)}^2={\mathrm{AI}}^2+{\mathrm{IB}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{AI}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{IB}}-\left({\mathrm{AI}}^2+{\mathrm{IC}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{AI}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{IC}}\right).$
Comme $\text{IB}=\text{IC},$ on obtient ${\mathrm{AB}}^2-{\mathrm{AC}}^2=2\overrightarrow{\mathrm{AI}}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{IB}}-\overrightarrow{\mathrm{IC}})=2\overrightarrow{\mathrm{AI}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}.$
3. Voir activité

B p. 254.

$\text{ABC}$ est un triangle avec $\mathrm{AB}=4,\mathrm{AC}=6$ et $(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}})=\frac{\pi }{3}.$ On note $\text{I}$ le milieu de $\text{[BC]}.$ Déterminer $\text{AI}$ et $\text{BC.}$

Pour trouver un angle ou des longueurs à l'aide du théorème de la médiane :

• on remplace les données dans une ou plusieurs des égalités du théorème ;
• on résout l'équation ou le système formé par les égalités.