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COURS 2


2
Théorème de la médiane




A
Médiane et centre de gravité


Définition

Dans un triangle, la médiane issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé.

Définition

On appelle centre de gravité d’un triangle ABC\text{ABC} l’unique point G\text{G} tel que GA+GB+GC=0.\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}.

Médiane et centre de gravité

Remarque

Par abus de langage, on appellera longueur d’une médiane issue d’un sommet, la longueur du segment reliant ce sommet et le milieu du côté opposé.

Théorème

  • Les médianes d’un triangle sont concourantes (elles se coupent en un même point).
  • Leur point d’intersection est le centre de gravité.
  • Le centre de gravité est situé aux deux tiers d’une médiane en partant du sommet dont elle est issue.

Remarque

On a donc l’égalité vectorielle AG=23AA.\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}}.

DÉMONSTRATION

On note A,\text{A}', B\text{B}' et C\text{C}' les milieux respectifs des segments [BC],\text{[BC],} [AC]\text{[AC]} et [AB].\text{[AB].} G\text{G} est le centre de gravité de ABC\text{ABC} donc GA+GB+GC=0.\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}.
On a alors GA+GA+AB+GA+AC=0,\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}, et donc 3GA=AB+AC.-3 \overrightarrow{\mathrm{GA}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}.
Comme A\text{A}' est le milieu de [BC],\text{[BC]}, alors 3AG=2AA,3 \overrightarrow{\mathrm{AG}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}}, et donc AG=23AA.\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}}.
De même BG=23BB\overrightarrow{\mathrm{BG}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}et CG=23CC:G \overrightarrow{\mathrm{CG}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{CC}^{\prime}} : \mathrm{G} appartient donc à chacune des médianes du triangle, elles sont donc concourantes et leur point d’intersection est le centre de gravité de ABC.\text{ABC.}
De plus, on a bien : AG=23AA\mathrm{AG}=\dfrac{2}{3} \mathrm{AA}^{\prime} ; BG=23BB\mathrm{BG}=\dfrac{2}{3} \mathrm{BB}^{\prime} et CG=23CC.\mathrm{CG}=\dfrac{2}{3} \mathrm{CC}^{\prime}.

Remarque

Dire que A\text{A}' est le milieu de [BC]\text{[BC]} se traduit vectoriellement par AB+AC=0.\overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}+\overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}}=\overrightarrow{0}.
En introduisant un point M,\text{M,} on obtient : 2MA=MB+MC.2 \overrightarrow{\mathrm{MA}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}.

Application et méthode

Énoncé

Soit ABC\text{ABC} un triangle et A,\text{A}', B\text{B}' et C\text{C}' les milieux des côtés [BC],\text{[BC],} [AC]\text{[AC]} et [AB].\text{[AB].} On note G\text{G} le centre de gravité de ABC.\text{ABC.} Montrer que G\text{G} est le centre de gravité de ABC.\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}.

Méthode

Dans un exercice de géométrie vectorielle :
  • on traduit les données de l’énoncé en relations vectorielles ;
  • on transforme ces données pour arriver au résultat donné.

Il est souvent utile de penser à la relation de Chasles en introduisant un point (milieu ou centre de gravité par exemple).

SOLUTION

On sait que G\text{G} est le centre de gravité de ABC,\text{ABC,} donc GA+GB+GC=0,\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}, d'où GA+AA+GB+BB+GC+CC=0\overrightarrow{\mathrm{GA}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{B}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{C}}=\overrightarrow{0} soit GA+GB+GC=AABBCC=AA+BB+CC.\overrightarrow{\mathrm{GA}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}^{\prime}}=-\overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{C}}=\overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{CC}^{\prime}}.
Or, on sait que AG=23AA,\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}}, donc AA=32AG.\overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}}=\dfrac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AG}}.
Ainsi : GA+GB+GC=32(AG+BG+CG)=32(GA+GB+GC)=0.\overrightarrow{\mathrm{GA}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}^{\prime}}=\dfrac{3}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AG}}+\overrightarrow{\mathrm{BG}}+\overrightarrow{\mathrm{CG}})=\dfrac{-3}{2}(\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}})=\overrightarrow{0}.
G\text{G} est bien le centre de gravité du triangle ABC.\text{A}'\text{B}'\text{C}'.

Pour s'entraîner : exercices 26 et 27 p. 267

B
Théorème de la médiane


Théorème

Soit ABC\text{ABC} un triangle. On note I\text{I} le milieu du segment [BC].\text{[BC].} Alors :
1. ABAC=AI2BC24\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AI}^{2}-\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{4}
2. AB2AC2=2AICB\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2}=2 \overrightarrow{\mathrm{AI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}
3. AB2+AC2=2AI2+BC22\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=2 \mathrm{AI}^{2}+\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{2}

DÉMONSTRATION

1. ABAC=(AI+IB)(Al+IC)\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(\overrightarrow{\mathrm{AI}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}}) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{Al}}+\overrightarrow{\mathrm{IC}})
=AIAl+IBAl+AlIC+IBIC=\overrightarrow{\mathrm{AI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{Al}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{Al}}+\overrightarrow{\mathrm{Al}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{IC}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{IC}}
=AI2+Al(IB+IC)+(12BC)(12BC)=\mathrm{AI}^{2}+\overrightarrow{\mathrm{Al}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{IB}}+\overrightarrow{\mathrm{IC}})+\left(-\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}}\right) \cdot\left(\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}}\right)
Comme IB+IC=0,\overrightarrow{\mathrm{IB}}+\overrightarrow{\mathrm{IC}}=\overrightarrow{0}, alors ABAC=AI2BC24.\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AI}^{2}-\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{4}.
2. AB2AC2=(AI+IB)2(AI+IC)2=AI2+IB2+2AIIB(AI2+IC2+2AIIC).\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2}=(\overrightarrow{\mathrm{AI}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}})^{2}-(\overrightarrow{\mathrm{AI}}+\overrightarrow{\mathrm{IC}})^{2}=\mathrm{AI}^{2}+\mathrm{IB}^{2}+2 \overrightarrow{\mathrm{AI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{IB}}-\left(\mathrm{AI}^{2}+\mathrm{IC}^{2}+2\overrightarrow{\mathrm{AI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{IC}}\right).
Comme IB=IC,\text{IB} = \text{IC}, on obtient AB2AC2=2AI(IBIC)=2AICB.\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2}=2 \overrightarrow{\mathrm{AI}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{IB}}-\overrightarrow{\mathrm{IC}})=2 \overrightarrow{\mathrm{AI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}.
3. Voir activité
B
p. 254.

Exemple

Dans un triangle OCB\text{OCB}M\text{M} est le milieu de [CB]\text{[CB]} et OB=12,\text{OB} = 12, OC=16\text{OC} = 16 et OM=10,\text{OM} = 10 , on a : OB2+OC22OM2=BC22,\mathrm{OB}^{2}+\mathrm{OC}^{2}-2 \mathrm{OM}^{2}=\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{2}, d'où BC2=400,\mathrm{BC}^{2}=400, soit BC=20.\mathrm{BC}=20.

Application et méthode

Énoncé

ABC\text{ABC} est un triangle avec AB=4,AC=6\mathrm{AB}=4, \mathrm{AC}=6 et (AB,AC)=π3.(\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}})=\dfrac{\pi}{3}. On note I\text{I} le milieu de [BC].\text{[BC]}. Déterminer AI\text{AI} et BC.\text{BC.}

Méthode

Pour trouver un angle ou des longueurs à l’aide du théorème de la médiane :
  • on remplace les données dans une ou plusieurs des égalités du théorème ;
  • on résout l’équation ou le système formé par les égalités.

SOLUTION

Nous allons utiliser deux des égalités du théorème de la médiane :
ABAC=AI2BC24\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AI}^{2}-\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{4} et AB2+AC2=2AI2+BC22 \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=2 \mathrm{AI}^{2}+\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{2}
D’une part, ABAC=4×6×cos(π3)=12\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=4 \times 6 \times \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)=12 et, d'autre part, AB2+AC2=42+62=52.\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=4^{2}+6^{2}=52.
On obtient donc le système suivant : {AI2BC24=122AI2+BC22=52\begin{cases}{\mathrm{AI}^{2}-\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{4}=12} \\ {2 \mathrm{AI}^{2}+\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{2}=52}\end{cases} d'où {2AI2BC22=242AI2+BC22=52\begin{cases}{2 \mathrm{AI}^{2}-\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{2}=24} \\ {2 \mathrm{AI}^{2}+\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{2}=52}\end{cases} et {4AI2=76BC2=28.\begin{cases}{4 \mathrm{AI}^{2}=76} \\ {\mathrm{BC}^{2}=28}\end{cases}.
On a donc AI=19\mathrm{AI}=\sqrt{19} et BC=28=27.\mathrm{BC}=\sqrt{28}=2 \sqrt{7}.

Pour s'entraîner : exercices 28 et 29 p. 267
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