49
[Communiquer.]
Soit \text{ABC} un triangle. On note \text{I} le milieu de \text{[BC].}
Que dire de l'aire des triangles \text{ABI} et \text{AIC} ?

Aide

On pourra utiliser la hauteur issue de \text{A.}

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50
Démo
[Raisonner.]

Soient \mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}\: ; y_{\mathrm{A}}\right) \mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}}\: ; y_{\mathrm{B}}\right) et \mathrm{C}\left(x_{\mathrm{C}} \:; y_{\mathrm{C}}\right) trois points distincts du plan. On note\text{ G,} le centre de gravité du triangle \text{ABC.}
Démontrer que les coordonnées de \text{G} sont \left(\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}+x_{\mathrm{C}}}{3}\: ; \dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}+y_{\mathrm{C}}}{3}\right).

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51
[Représenter.]
ABC est un triangle tel que \text{A}', \text{B}' et \text{C}' sont les milieux respectifs de \text{[BC],} \text{[AC]} et \text{[AB].} On note \text{G} le centre de gravité du triangle, puis \text{I} et \text{J} les milieux respectifs des segments \text{[BG]} et \text{[CG].}
Montrer que le quadrilatère \text{C}'\text{IJB}' est un parallélogramme.

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52
[Raisonner.]
Le plan est muni d'un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \mathrm{I}, \mathrm{J}).
Soit x un réel. On considère le point \text{P} de coordonnées (x\: ; 0) et le point \text{Q} de coordonnées (0 \:; x). Montrer, à l'aide d'égalités de vecteurs ou des coordonnées, que la médiane issue de \text{O} dans le triangle \text{IOQ} est perpendiculaire à la droite \text{(JP).}

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53
[Réprésenter.]
On se place dans un triangle \text{ABC} quelconque et on note \text{I} le pied de la médiane issue de \text{A.}

1. Construire une figure et y placer le point \text{D} tel que \text{ABDC} soit un parallélogramme.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.

2. Que peut-on dire de \text{I} pour le parallélogramme \text{ABDC} ?

3. Donner un vecteur égal à \overrightarrow{\mathrm{AC}}.

4. Montrer que \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AI}}.

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54
Démo
[Communiquer.]
Dans le carré \text{ABCD,} on note \text{E} et \text{F} les milieux respectifs des segments \text{[AB]} et \text{[AD].} On note \text{I} le pied de la médiane issue de \text{A} dans le triangle \text{ADE.}
On souhaite démontrer que les droites \text{(AI)} et \text{(BF)} sont perpendiculaires.

1. Exprimer \overrightarrow{\mathrm{AI}} en fonction de \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AD}}.

2. Calculer \overrightarrow{\mathrm{AI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BF}} puis conclure.

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55
[Calculer.]

Dans le triangle \text{ABC,} on note \text{A}' le milieu de \text{[BC].} On donne les mesures suivantes : \text{AA}' = 6, \text{A}'\text{B} = 4 et \left(\overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{A}}, \overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}\right)=\dfrac{\pi}{3}.

1. À l'aide d'une des formules du théorème de la médiane, calculer \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}.

2. a. Calculer \overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{A}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}.

b. Écrire \overrightarrow{\mathrm{CB}} en fonction de \overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}.

c. En déduire \overrightarrow{\mathrm{CB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}} et \mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2}.

3. Quelles sont alors les longueurs des côtés du triangle \text{ABC} ?

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56
[Calculer.]
On définit un triangle \text{ABC} par les mesures de ses côtés : \text{AB} = 7, \text{AC} = 3 et \text{BC} = 8. On note \text{I} le milieu de \text{[BC].} Quelle est la longueur \text{AI} ?

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57
Démo
[Communiquer.]
On se place dans un triangle \text{ABC} rectangle en \text{A.} En utilisant deux méthodes différentes, démontrer que la médiane issue de \text{A} mesure la moitié de la longueur du côté \text{[BC].}

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58
[Calculer.]
Soit \text{ABCD} un parallélogramme tel que \text{AB} = 15, \text{BC} = 13 et \text{AC} = 14.

1. Déterminer la longueur \text{BD.}

2. En déduire une mesure de l'angle \widehat{\mathrm{ABC}} arrondie au degré près.

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59
GeoGebra
[Calculer.]
On considère la figure suivante qui a été réalisée avec GeoGebra.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Retrouver, par le calcul, la valeur de l'angle \alpha déterminée par le logiciel.

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60
[Chercher.]
On considère les points \text{R}(3\: ; 5), \text{S}(1 \:; 10) et \text{G}(5\: ; 1). Trouver les coordonnées du point \text{T} telles que le triangle \text{TRS} admette le point \text{G} comme centre de gravité.

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