Entrainement 2


Théorème de la médiane




Sauf indication contraire, pour tous les exercices utilisant des coordonnées, le plan est muni d’un repère orthonormé (O;i,j)(\mathrm{O} ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})


54
DÉMO
[Communiquer.]
Dans le carré ABCD,\text{ABCD,} on note E\text{E} et F\text{F} les milieux respectifs des segments [AB]\text{[AB]} et [AD].\text{[AD].} On note I\text{I} le pied de la médiane issue de A\text{A} dans le triangle ADE.\text{ADE.}
On souhaite démontrer que les droites (AI)\text{(AI)} et (BF)\text{(BF)} sont perpendiculaires.
1. Exprimer AI\overrightarrow{\mathrm{AI}} en fonction de AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et AD.\overrightarrow{\mathrm{AD}}.

2. Calculer AIBF\overrightarrow{\mathrm{AI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BF}} puis conclure.

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 34 ; 47 ; 61 ; 64 et 73
◉◉ Parcours 2 : exercices 41 ; 50 ; 68 ; 72 et 75
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 44 ; 55 ; 71 ; 79 et 81

53
[Réprésenter.]
On se place dans un triangle ABC\text{ABC} quelconque et on note I\text{I} le pied de la médiane issue de A.\text{A.}
1. Construire une figure et y placer le point D\text{D} tel que ABDC\text{ABDC} soit un parallélogramme.

Couleurs
Formes
Dessinez ici


2. Que peut-on dire de I\text{I} pour le parallélogramme ABDC\text{ABDC} ?

3. Donner un vecteur égal à AC.\overrightarrow{\mathrm{AC}}.

4. Montrer que AB+AC=2AI.\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AI}}.

49
[Communiquer.]
Soit ABC\text{ABC} un triangle. On note I\text{I} le milieu de [BC].\text{[BC].}
Que dire de l’aire des triangles ABI\text{ABI} et AIC\text{AIC} ?
AIDE
On pourra utiliser la hauteur issue de A.\text{A.}

59
GEOGEBRA
[Calculer.]
On considère la figure suivante qui a été réalisée avec GeoGebra.

Théorème de la médiane

Retrouver, par le calcul, la valeur de l’angle α\alpha déterminée par le logiciel.

52
[Raisonner.]
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;I,J).(\mathrm{O} ; \mathrm{I}, \mathrm{J}).
Soit xx un réel. On considère le point P\text{P} de coordonnées (x;0)(x\: ; 0) et le point Q\text{Q} de coordonnées (0;x).(0 \:; x). Montrer, à l’aide d’égalités de vecteurs ou des coordonnées, que la médiane issue de O\text{O} dans le triangle IOQ\text{IOQ} est perpendiculaire à la droite (JP).\text{(JP).}

60
[Chercher.]
On considère les points R(3;5),\text{R}(3\: ; 5), S(1;10)\text{S}(1 \:; 10) et G(5;1).\text{G}(5\: ; 1). Trouver les coordonnées du point T\text{T} telles que le triangle TRS\text{TRS} admette le point G\text{G} comme centre de gravité.

57
DÉMO
[Communiquer.]
On se place dans un triangle ABC\text{ABC} rectangle en A.\text{A.} En utilisant deux méthodes différentes, démontrer que la médiane issue de A\text{A} mesure la moitié de la longueur du côté [BC].\text{[BC].}

51
[Représenter.]
ABC est un triangle tel que A,\text{A}', B\text{B}' et C\text{C}' sont les milieux respectifs de [BC],\text{[BC],} [AC]\text{[AC]} et [AB].\text{[AB].} On note G\text{G} le centre de gravité du triangle, puis I\text{I} et J\text{J} les milieux respectifs des segments [BG]\text{[BG]} et [CG].\text{[CG].}
Montrer que le quadrilatère CIJB\text{C}'\text{IJB}' est un parallélogramme.

55
[Calculer.] ◉◉◉
Dans le triangle ABC,\text{ABC,} on note A\text{A}' le milieu de [BC].\text{[BC].} On donne les mesures suivantes : AA=6,\text{AA}' = 6, AB=4\text{A}'\text{B} = 4 et (AA,AB)=π3.\left(\overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{A}}, \overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}\right)=\dfrac{\pi}{3}.
1. À l’aide d’une des formules du théorème de la médiane, calculer AB2+AC2.\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}.

2. a. Calculer AAAB.\overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{A}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}.

b. Écrire CB\overrightarrow{\mathrm{CB}} en fonction de AB.\overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}.

c. En déduire CBAA\overrightarrow{\mathrm{CB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}} et AB2AC2.\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2}.

3. Quelles sont alors les longueurs des côtés du triangle ABC\text{ABC} ?

56
[Calculer.]
On définit un triangle ABC\text{ABC} par les mesures de ses côtés : AB=7,\text{AB} = 7, AC=3\text{AC} = 3 et BC=8.\text{BC} = 8. On note I\text{I} le milieu de [BC].\text{[BC].} Quelle est la longueur AI\text{AI} ?

50
DÉMO
[Raisonner.] ◉◉
Soient A(xA;yA)\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}\: ; y_{\mathrm{A}}\right) B(xB;yB)\mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}}\: ; y_{\mathrm{B}}\right) et C(xC;yC)\mathrm{C}\left(x_{\mathrm{C}} \:; y_{\mathrm{C}}\right) trois points distincts du plan. On note G,\text{ G,} le centre de gravité du triangle ABC.\text{ABC.}
Démontrer que les coordonnées de G\text{G} sont (xA+xB+xC3;yA+yB+yC3).\left(\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}+x_{\mathrm{C}}}{3}\: ; \dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}+y_{\mathrm{C}}}{3}\right).

58
[Calculer.]
Soit ABCD\text{ABCD} un parallélogramme tel que AB=15,\text{AB} = 15, BC=13\text{BC} = 13 et AC=14.\text{AC} = 14.
1. Déterminer la longueur BD.\text{BD.}

2. En déduire une mesure de l’angle ABC^\widehat{\mathrm{ABC}} arrondie au degré près.
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