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Nouvelle épreuve Bac

Algèbre

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Ch. 1
Suites numériques

Ch. 2
Fonctions de référence

Ch. 3
Équations et inéquations du second degré

Analyse

Ch. 4
Dérivation

Ch. 5
Applications de la dérivation

Ch. 6
Fonction exponentielle

Ch. 7
Trigonométrie

Ch. 8
Fonctions trigonométriques

Géométrie

Ch. 9
Produit scalaire

Ch. 10
Configurations géométriques

Probabilités et statistiques

Ch. 11
Probabilités conditionnelles

Ch. 12
Variables aléatoires réelles

Annexes

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

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Chapitre 10

Entraînement 1

Équation de cercle

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Différenciation

Parcours 1 : exercices

;

Parcours 2 : exercices

;

Parcours 3 : exercices

;

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Sauf indication contraire, pour tous les exercices utilisant des coordonnées, le plan est muni d'un repère orthonormé $(O; i, j)$

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[Calculer.]

On s'intéresse à

(E),

l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient l'équation

x^{2} - 6 x + y^{2} + 2 y + 5 = 0.

On veut déterminer la nature de

(E).

1. Montrer que, pour tout

x \in R, x^{2} - 6 x = (x - 3)^{2} - 9.

2. Montrer que, pour tout

y \in R, y^{2} + 2 y = (y + 1)^{2} - 1.

3. En déduire que l'équation

x^{2} - 6 x + y^{2} + 2 y + 5 = 0

est équivalente à l'équation

(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} - 5 = 0.

4. En déduire la nature de

(E).

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35
[Raisonner.]
Dans chacun des cas suivants, vérifier si l'équation donnée est celle d'un cercle. Lorsque c'est le cas, préciser les coordonnées du centre et le rayon.

x^{2} + y^{2} - \frac{11}{2} x - 2 y + \frac{73}{16} = 0

x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 7 = 0

x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + 16 = 0

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[Raisonner.]
Dans chacun des cas suivants, vérifier si l'équation donnée est celle d'un cercle. Lorsque c'est le cas, préciser les coordonnées du centre et le rayon.

x^{2} + 2 x + y^{2} - 4 y = - 1

x^{2} + y^{2} - 6 y = - 10

2 x^{2} + 6 x + y^{2} - 4 y = 3

x^{2} + y^{2} + x - y = 0

x^{2} - 5 x - y^{2} + 3 y - 12 = 0

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[Chercher.]
On considère les points

A (2; - 1),

B (0; 6)

C (\frac{5}{3}; 3) .

Déterminer une équation du cercle :

1. de rayon

[BC]

et de centre

B.

2. passant par

A

et de centre

C.

3. de diamètre

[AB]

: le point

C

appartient-il à ce cercle ?

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38
Python
[Modéliser.]
On définit le cercle

C

par l'équation

(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 4.

1. Calculer les points d'intersection entre le cercle

C

et les droites suivantes dont on donne une équation :
a.

x = - 1

x = - 4

2. On donne le programme ci-dessous. Exécuter le programme pour les valeurs de la question 1.. Que peut-on conclure pour ce programme ?

from math import* 

def Intersection(x):
  if x < -3:
    Solution = False
    return(Solution)
  elif x <= 1:
    Solution = True
    n = 4 - (x + 1)**2
    y1 = 4 - sqrt(n)
    y2 = 4 + sqrt(n)
    return(Solution, y1, y2)
  else:
    Solution = False
    return(Solution)

3. Exécuter le programme pour

x = 1.

Que remarque-t-on ?

4. Proposer une amélioration pour le programme.

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39
[Représenter.]
Soit

C,

le cercle d'équation

x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 5 = 0.

1. Tracer le cercle

C

sur une feuille ou avec un logiciel de géométrie.

GeoGebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

2. On considère les points

A (1; 4),

D (5; 0),

E (3; - 2)

H (- 1; 2) .

Justifier que ces points appartiennent au cercle

C .

3. Quelle est la nature du quadrilatère

ADEH

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40
[Représenter.]
On considère le cercle

C

d'équation

(x - \frac{17}{4})^{2} + (y - \frac{17}{4})^{2} = \frac{125}{8} .

1. Montrer que

D (1; 2)

appartient à

C

et représenter

C .

GeoGebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

2. a. À partir de la figure, conjecturer les coordonnées entières de trois points

A,

B

C

tels que le triangle

ABC

soit inscrit dans le cercle

C

et isocèle.

b. Démontrer cette conjecture.

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41
[Raisonner.]

Le but de cet exercice est de trouver une équation d'un cercle passant par trois points

K,

L

M

donnés. Soient

K (2; 1),

L (1; 4)

M (5; 4)

trois points du plan. On appelle

K^{'},

L^{'}

M^{'}

les milieux respectifs des côtés

[LM],

[KM]

[KL].

1. Calculer les coordonnées de

K^{'},

L^{'}

M^{'} .

2. On définit la droite

D

par l'équation

x - 3 y + 6 = 0.

Démontrer que

D

est la médiatrice de

[KL].

3. Déterminer une équation de la médiatrice

D^{'}

[KM].

4. Calculer les coordonnées du point d'intersection des droites

D

D^{'} .

5. En déduire les éléments caractéristiques et une équation du cercle cherché.

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42
[Chercher.]
On considère les points de coordonnées

A (- 1; 3),

B (2; - 1)

C (- 1; - 1) .

1. Démontrer que

ABC

est un triangle rectangle.

2. En déduire, de deux façons différentes, une équation du cercle circonscrit au triangle

ABC.

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43
[Chercher.]
On considère les points

A (6; 5),

B (- 3; 8)

C (2; 1) .

Déterminer une équation du cercle circonscrit à

ABC.

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44
Démo
[Raisonner.]

Soient

C

un cercle et

A

un point de ce cercle. On appelle tangente à

C

A

l'unique droite qui coupe le cercle uniquement au point

A.

Le but est de prouver que cette tangente est perpendiculaire au rayon d'extrémité

A.

On note

Ω

le centre du cercle,

T

la tangente passant par

A

M

un point de

T

distinct de

A.

1. Comparer les longueurs

Ω M

Ω A .

Aide

On pourra penser à une démonstration par l'absurde.

2. Justifier que

A

est le projeté orthogonal de

Ω

sur

T.

3. Conclure.

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45
[Chercher.]
On considère le cercle

C

de centre

Ω (- 2; 3)

et de rayon

3.

1. Justifier que le point

A (1; 3)

appartient au cercle

C .

2. Déterminer une équation de la tangente au cercle

C

passant par le point

A.

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46
[Chercher.]
Répondre aux mêmes questions que l'exercice précédent dans les cas suivants :

1. Le cercle

C

a pour équation

(x - 1)^{2} + (y + 5)^{2} = 17

et le point

A

a pour coordonnées

(2; - 1) .

2. Le cercle

C

a pour diamètre

[BC]

avec

B (3; 5)

C (3; 1) .

Le point

A

a pour coordonnées

(3 + 2; 3 + 2)

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47
[Raisonner.]

C

est un cercle de centre

O.

M

est un point extérieur au cercle.

1. Faire une figure.
2. Construire le cercle

C^{'}

de diamètre

[OM].

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

3. On appelle

A

B

les points d'intersection des deux cercles. Que dire des triangles

OAM

OBM

4. Que peut-on dire alors des droites

(AM)

(BM)

pour le cercle

C

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48
[Communiquer.]
Sur sa copie, Elanzize a écrit les affirmations suivantes.
Déterminer, en justifiant, si elles sont vraies ou fausses. Les trois affirmations sont indépendantes.

Photographie de notes manuscrites avec trois équations mathématiques de cercles.

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