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Entrainement 1


Équation de cercle




Sauf indication contraire, pour tous les exercices utilisant des coordonnées, le plan est muni d’un repère orthonormé (O;i,j)(\mathrm{O} ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})


42
[Chercher.]
On considère les points de coordonnées A(1;3),\text{A}(-1\: ; 3), B(2;1)\text{B}(2\: ; - 1) et C(1;1).\text{C}(-1\: ; - 1).
1. Démontrer que ABC\text{ABC} est un triangle rectangle.

2. En déduire, de deux façons différentes, une équation du cercle circonscrit au triangle ABC.\text{ABC.}

34
[Calculer.] ◉◉
On s’intéresse à (E),\text{(E),} l’ensemble des points dont les coordonnées vérifient l’équation x26x+y2+2y+5=0.x^2 - 6x + y^2 + 2y + 5 = 0 . On veut déterminer la nature de (E).\text{(E).}
1. Montrer que, pour tout xR,x26x=(x3)29.x \in \mathbb{R}, x^{2}-6 x=(x-3)^{2}-9.

2. Montrer que, pour tout yR,y2+2y=(y+1)21.y \in \mathbb{R}, y^{2}+2 y=(y+1)^{2}-1.

3. En déduire que l’équation x26x+y2+2y+5=0x^2 - 6x + y^2 + 2y + 5 = 0 est équivalente à l'équation (x3)2+(y+1)25=0.(x-3)^{2}+(y+1)^{2}-5=0.

4. En déduire la nature de (E).\text{(E).}

41
[Raisonner.] ◉◉
Le but de cet exercice est de trouver une équation d’un cercle passant par trois points K,\text{K,} L\text{L} et M\text{M} donnés. Soient K(2;1),\text{K}(2\: ; 1), L(1;4)\text{L}(1\: ; 4) et M(5;4)\text{M}(5\: ; 4) trois points du plan. On appelle K,\text{K}', L\text{L}' et M\text{M}' les milieux respectifs des côtés [LM],\text{[LM],} [KM]\text{[KM]} et [KL].\text{[KL].}
1. Calculer les coordonnées de K,\text{K}', L\text{L}' et M.\text{M}'.

2. On définit la droite D\mathcal{D} par l’équation x3y+6=0.x - 3y + 6 = 0 . Démontrer que D\mathcal{D} est la médiatrice de [KL].\text{[KL].}

3. Déterminer une équation de la médiatrice D\mathcal{D}' de [KM].\text{[KM].}

4. Calculer les coordonnées du point d’intersection des droites D\mathcal{D} et D.\mathcal{D}'.

5. En déduire les éléments caractéristiques et une équation du cercle cherché.

48
[Communiquer.]
Sur sa copie, Elanzize a écrit les affirmations suivantes.
Déterminer, en justifiant, si elles sont vraies ou fausses. Les trois affirmations sont indépendantes.

Équation de cercle


38
PYTHON
[Modéliser.]
On définit le cercle C\mathcal{C} par l’équation (x+1)2+(y4)2=4.(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=4.
1. Calculer les points d’intersection entre le cercle C\mathcal{C} et les droites suivantes dont on donne une équation :
a. x=1x=-1

b. x=4x=-4

2. On donne le programme ci-dessous. Exécuter le programme pour les valeurs de la question 1.. Que peut-on conclure pour ce programme ?
from math import* 

def Intersection(x):
  if x < -3:
    Solution = False
    return(Solution)
  elif x <= 1:
    Solution = True
    n = 4 - (x + 1)**2
    y1 = 4 - sqrt(n)
    y2 = 4 + sqrt(n)
    return(Solution, y1, y2)
  else:
    Solution = False
    return(Solution)

3. Exécuter le programme pour x=1.x = 1. Que remarque-t-on ?

4. Proposer une amélioration pour le programme.

43
[Chercher.]
On considère les points A(6;5),\text{A}(6\: ; 5), B(3;8)\text{B}(-3\: ; 8) et C(2;1).\text{C}(2\: ; 1).
Déterminer une équation du cercle circonscrit à ABC.\text{ABC.}

46
[Chercher.]
Répondre aux mêmes questions que l’exercice précédent dans les cas suivants :
1. Le cercle C\mathcal{C} a pour équation (x1)2+(y+5)2=17(x-1)^{2}+(y+5)^{2}=17 et le point A\text{A} a pour coordonnées (2;1).(2 \:; - 1).

2. Le cercle C\mathcal{C} a pour diamètre [BC]\text{[BC]} avec B(3;5)\text{B}(3 \:; 5) et C(3;1).\text{C}(3\: ; 1). Le point A\text{A} a pour coordonnées (3+2;3+2)(3+\sqrt{2}\: ; 3+\sqrt{2})

39
[Représenter.]
Soit C,\mathcal{C}, le cercle d’équation x2+y24x2y5=0.x^2 + y^2 - 4x - 2y - 5 = 0 .
1. Tracer le cercle C\mathcal{C} sur une feuille ou avec un logiciel de géométrie.

Lancer le module Geogebra
2. On considère les points A(1;4),\text{A}(1\: ; 4), D(5;0),\text{D}(5\: ; 0) , E(3;2)\text{E}(3\: ; - 2) et H(1;2).\text{H}(-1\: ; 2). Justifier que ces points appartiennent au cercle C.\mathcal{C}.

3. Quelle est la nature du quadrilatère ADEH\text{ADEH} ?

36
[Raisonner.]
Dans chacun des cas suivants, vérifier si l’équation donnée est celle d’un cercle. Lorsque c’est le cas, préciser les coordonnées du centre et le rayon.
1. x2+2x+y24y=1x^{2}+2 x+y^{2}-4 y=-1

2. x2+y26y=10x^{2}+y^{2}-6 y=-10

3. 2x2+6x+y24y=32 x^{2}+6 x+y^{2}-4 y=3

4. x2+y2+xy=0x^{2}+y^{2}+x-y=0

5. x25xy2+3y12=0x^{2}-5 x-y^{2}+3 y-12=0

47
[Raisonner.] ◉◉
C\mathcal{C} est un cercle de centre O.\text{O.} M\text{M} est un point extérieur au cercle.
1. Faire une figure.
2. Construire le cercle C\mathcal{C}' de diamètre [OM].\text{[OM].}

Couleurs
Formes
Dessinez ici


3. On appelle A\text{A} et B\text{B} les points d’intersection des deux cercles. Que dire des triangles OAM\text{OAM} et OBM\text{OBM} ?

4. Que peut-on dire alors des droites (AM)\text{(AM)} et (BM)\text{(BM)} pour le cercle C\mathcal{C} ?

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 34 ; 47 ; 61 ; 64 et 73
◉◉ Parcours 2 : exercices 41 ; 50 ; 68 ; 72 et 75
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 44 ; 55 ; 71 ; 79 et 81

35
[Raisonner.]
Dans chacun des cas suivants, vérifier si l’équation donnée est celle d’un cercle. Lorsque c’est le cas, préciser les coordonnées du centre et le rayon.
1. x2+y2112x2y+7316=0x^{2}+y^{2}-\dfrac{11}{2} x-2 y+\dfrac{73}{16}=0

2. x2+y22x2y+7=0x^{2}+y^{2}-2 x-2 y+7=0

3. x2+y28x6y+16=0x^{2}+y^{2}-8 x-6 y+16=0

37
[Chercher.]
On considère les points A(2;1),\text{A}(2 \:; - 1), B(0;6)\text{B}(0\: ; 6) et C(53;3).\mathrm{C}\left(\dfrac{5}{3} ; 3\right). Déterminer une équation du cercle :
1. de rayon [BC]\text{[BC]} et de centre B.\text{B.}

2. passant par A\text{A} et de centre C.\text{C.}

3. de diamètre [AB]\text{[AB]} : le point C\text{C} appartient-il à ce cercle ?

44
DÉMO
[Raisonner.] ◉◉◉
Soient C\mathcal{C} un cercle et A\text{A} un point de ce cercle. On appelle tangente à C\mathcal{C} en A\text{A} l’unique droite qui coupe le cercle uniquement au point A.\text{A.}
Le but est de prouver que cette tangente est perpendiculaire au rayon d’extrémité A.\text{A.}
On note Ω\Omega le centre du cercle, T\text{T} la tangente passant par A\text{A} et M\text{M} un point de T\text{T} distinct de A.\text{A.}
1. Comparer les longueurs ΩM\Omega\text{M} et ΩA.\Omega\text{A}.

AIDE
On pourra penser à une démonstration par l’absurde.
2. Justifier que A\text{A} est le projeté orthogonal de Ω\Omega sur T.\text{T.}

3. Conclure.

45
[Chercher.]
On considère le cercle C\mathcal{C} de centre Ω(2;3)\Omega(-2\: ; 3) et de rayon 3.3.
1. Justifier que le point A(1;3)\text{A}(1\: ; 3) appartient au cercle C.\mathcal{C}.

2. Déterminer une équation de la tangente au cercle C\mathcal{C} passant par le point A.\text{A.}

40
[Représenter.]
On considère le cercle C\mathcal{C} d’équation (x174)2+(y174)2=1258.\left(x-\dfrac{17}{4}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{17}{4}\right)^{2}=\dfrac{125}{8}.
1. Montrer que D(1;2)\text{D}(1\: ; 2) appartient à C\mathcal{C} et représenter C.\mathcal{C}.
Lancer le module Geogebra
2. a. À partir de la figure, conjecturer les coordonnées entières de trois points A,\text{A,} B\text{B} et C\text{C} tels que le triangle ABC\text{ABC} soit inscrit dans le cercle C\mathcal{C} et isocèle.

b. Démontrer cette conjecture.
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