Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

1. Équation de cercle
P.269

Entrainement 1


Équation de cercle




Sauf indication contraire, pour tous les exercices utilisant des coordonnées, le plan est muni d’un repère orthonormé (O;i,j)(\mathrm{O} ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})


DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 34 ; 47 ; 61 ; 64 et 73
◉◉ Parcours 2 : exercices 41 ; 50 ; 68 ; 72 et 75
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 44 ; 55 ; 71 ; 79 et 81

34
[Calculer.] ◉◉
On s’intéresse à (E),\text{(E),} l’ensemble des points dont les coordonnées vérifient l’équation x26x+y2+2y+5=0.x^2 - 6x + y^2 + 2y + 5 = 0 . On veut déterminer la nature de (E).\text{(E).}
1. Montrer que, pour tout xR,x26x=(x3)29.x \in \mathbb{R}, x^{2}-6 x=(x-3)^{2}-9.

2. Montrer que, pour tout yR,y2+2y=(y+1)21.y \in \mathbb{R}, y^{2}+2 y=(y+1)^{2}-1.

3. En déduire que l’équation x26x+y2+2y+5=0x^2 - 6x + y^2 + 2y + 5 = 0 est équivalente à l'équation (x3)2+(y+1)25=0.(x-3)^{2}+(y+1)^{2}-5=0.

4. En déduire la nature de (E).\text{(E).}

35
[Raisonner.]
Dans chacun des cas suivants, vérifier si l’équation donnée est celle d’un cercle. Lorsque c’est le cas, préciser les coordonnées du centre et le rayon.
1. x2+y2112x2y+7316=0x^{2}+y^{2}-\dfrac{11}{2} x-2 y+\dfrac{73}{16}=0

2. x2+y22x2y+7=0x^{2}+y^{2}-2 x-2 y+7=0

3. x2+y28x6y+16=0x^{2}+y^{2}-8 x-6 y+16=0

36
[Raisonner.]
Dans chacun des cas suivants, vérifier si l’équation donnée est celle d’un cercle. Lorsque c’est le cas, préciser les coordonnées du centre et le rayon.
1. x2+2x+y24y=1x^{2}+2 x+y^{2}-4 y=-1

2. x2+y26y=10x^{2}+y^{2}-6 y=-10

3. 2x2+6x+y24y=32 x^{2}+6 x+y^{2}-4 y=3

4. x2+y2+xy=0x^{2}+y^{2}+x-y=0

5. x25xy2+3y12=0x^{2}-5 x-y^{2}+3 y-12=0

37
[Chercher.]
On considère les points A(2;1),\text{A}(2 \:; - 1), B(0;6)\text{B}(0\: ; 6) et C(53;3).\mathrm{C}\left(\dfrac{5}{3} ; 3\right). Déterminer une équation du cercle :
1. de rayon [BC]\text{[BC]} et de centre B.\text{B.}

2. passant par A\text{A} et de centre C.\text{C.}

3. de diamètre [AB]\text{[AB]} : le point C\text{C} appartient-il à ce cercle ?

38
PYTHON
[Modéliser.]
On définit le cercle C\mathcal{C} par l’équation (x+1)2+(y4)2=4.(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=4.
1. Calculer les points d’intersection entre le cercle C\mathcal{C} et les droites suivantes dont on donne une équation :
a. x=1x=-1

b. x=4x=-4

2. On donne le programme ci-dessous. Exécuter le programme pour les valeurs de la question 1.. Que peut-on conclure pour ce programme ?
from math import* 

def Intersection(x):
  if x < -3:
    Solution = False
    return(Solution)
  elif x <= 1:
    Solution = True
    n = 4 - (x + 1)**2
    y1 = 4 - sqrt(n)
    y2 = 4 + sqrt(n)
    return(Solution, y1, y2)
  else:
    Solution = False
    return(Solution)

3. Exécuter le programme pour x=1.x = 1. Que remarque-t-on ?

4. Proposer une amélioration pour le programme.

39
[Représenter.]
Soit C,\mathcal{C}, le cercle d’équation x2+y24x2y5=0.x^2 + y^2 - 4x - 2y - 5 = 0 .
1. Tracer le cercle C\mathcal{C} sur une feuille ou avec un logiciel de géométrie.

Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
2. On considère les points A(1;4),\text{A}(1\: ; 4), D(5;0),\text{D}(5\: ; 0) , E(3;2)\text{E}(3\: ; - 2) et H(1;2).\text{H}(-1\: ; 2). Justifier que ces points appartiennent au cercle C.\mathcal{C}.

3. Quelle est la nature du quadrilatère ADEH\text{ADEH} ?

40
[Représenter.]
On considère le cercle C\mathcal{C} d’équation (x174)2+(y174)2=1258.\left(x-\dfrac{17}{4}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{17}{4}\right)^{2}=\dfrac{125}{8}.
1. Montrer que D(1;2)\text{D}(1\: ; 2) appartient à C\mathcal{C} et représenter C.\mathcal{C}.
Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
2. a. À partir de la figure, conjecturer les coordonnées entières de trois points A,\text{A,} B\text{B} et C\text{C} tels que le triangle ABC\text{ABC} soit inscrit dans le cercle C\mathcal{C} et isocèle.

b. Démontrer cette conjecture.

41
[Raisonner.] ◉◉
Le but de cet exercice est de trouver une équation d’un cercle passant par trois points K,\text{K,} L\text{L} et M\text{M} donnés. Soient K(2;1),\text{K}(2\: ; 1), L(1;4)\text{L}(1\: ; 4) et M(5;4)\text{M}(5\: ; 4) trois points du plan. On appelle K,\text{K}', L\text{L}' et M\text{M}' les milieux respectifs des côtés [LM],\text{[LM],} [KM]\text{[KM]} et [KL].\text{[KL].}
1. Calculer les coordonnées de K,\text{K}', L\text{L}' et M.\text{M}'.

2. On définit la droite D\mathcal{D} par l’équation x3y+6=0.x - 3y + 6 = 0 . Démontrer que D\mathcal{D} est la médiatrice de [KL].\text{[KL].}

3. Déterminer une équation de la médiatrice D\mathcal{D}' de [KM].\text{[KM].}

4. Calculer les coordonnées du point d’intersection des droites D\mathcal{D} et D.\mathcal{D}'.

5. En déduire les éléments caractéristiques et une équation du cercle cherché.

42
[Chercher.]
On considère les points de coordonnées A(1;3),\text{A}(-1\: ; 3), B(2;1)\text{B}(2\: ; - 1) et C(1;1).\text{C}(-1\: ; - 1).
1. Démontrer que ABC\text{ABC} est un triangle rectangle.

2. En déduire, de deux façons différentes, une équation du cercle circonscrit au triangle ABC.\text{ABC.}

43
[Chercher.]
On considère les points A(6;5),\text{A}(6\: ; 5), B(3;8)\text{B}(-3\: ; 8) et C(2;1).\text{C}(2\: ; 1).
Déterminer une équation du cercle circonscrit à ABC.\text{ABC.}

44
DÉMO
[Raisonner.] ◉◉◉
Soient C\mathcal{C} un cercle et A\text{A} un point de ce cercle. On appelle tangente à C\mathcal{C} en A\text{A} l’unique droite qui coupe le cercle uniquement au point A.\text{A.}
Le but est de prouver que cette tangente est perpendiculaire au rayon d’extrémité A.\text{A.}
On note Ω\Omega le centre du cercle, T\text{T} la tangente passant par A\text{A} et M\text{M} un point de T\text{T} distinct de A.\text{A.}
1. Comparer les longueurs ΩM\Omega\text{M} et ΩA.\Omega\text{A}.

AIDE
On pourra penser à une démonstration par l’absurde.
2. Justifier que A\text{A} est le projeté orthogonal de Ω\Omega sur T.\text{T.}

3. Conclure.

45
[Chercher.]
On considère le cercle C\mathcal{C} de centre Ω(2;3)\Omega(-2\: ; 3) et de rayon 3.3.
1. Justifier que le point A(1;3)\text{A}(1\: ; 3) appartient au cercle C.\mathcal{C}.

2. Déterminer une équation de la tangente au cercle C\mathcal{C} passant par le point A.\text{A.}

46
[Chercher.]
Répondre aux mêmes questions que l’exercice précédent dans les cas suivants :
1. Le cercle C\mathcal{C} a pour équation (x1)2+(y+5)2=17(x-1)^{2}+(y+5)^{2}=17 et le point A\text{A} a pour coordonnées (2;1).(2 \:; - 1).

2. Le cercle C\mathcal{C} a pour diamètre [BC]\text{[BC]} avec B(3;5)\text{B}(3 \:; 5) et C(3;1).\text{C}(3\: ; 1). Le point A\text{A} a pour coordonnées (3+2;3+2)(3+\sqrt{2}\: ; 3+\sqrt{2})

47
[Raisonner.] ◉◉
C\mathcal{C} est un cercle de centre O.\text{O.} M\text{M} est un point extérieur au cercle.
1. Faire une figure.
2. Construire le cercle C\mathcal{C}' de diamètre [OM].\text{[OM].}

Couleurs
Formes
Dessinez ici


3. On appelle A\text{A} et B\text{B} les points d’intersection des deux cercles. Que dire des triangles OAM\text{OAM} et OBM\text{OBM} ?

4. Que peut-on dire alors des droites (AM)\text{(AM)} et (BM)\text{(BM)} pour le cercle C\mathcal{C} ?

48
[Communiquer.]
Sur sa copie, Elanzize a écrit les affirmations suivantes.
Déterminer, en justifiant, si elles sont vraies ou fausses. Les trois affirmations sont indépendantes.

Équation de cercle

Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.