Chapitre 10
Entraînement 1
Équation de cercle
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Sauf indication contraire, pour tous les exercices utilisant des coordonnées, le plan est muni d'un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})
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[Calculer.] On s'intéresse à \text{(E),} l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient l'équation x^2 - 6x + y^2 + 2y + 5 = 0 . On veut déterminer la nature de \text{(E).}
1. Montrer que, pour tout x \in \mathbb{R}, x^{2}-6 x=(x-3)^{2}-9.
2. Montrer que, pour tout y \in \mathbb{R}, y^{2}+2 y=(y+1)^{2}-1.
2. Montrer que, pour tout y \in \mathbb{R}, y^{2}+2 y=(y+1)^{2}-1.
3. En déduire que l'équation x^2 - 6x + y^2 + 2y + 5 = 0 est équivalente à l'équation (x-3)^{2}+(y+1)^{2}-5=0.
4. En déduire la nature de \text{(E).}
4. En déduire la nature de \text{(E).}
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[Raisonner.]
Dans chacun des cas suivants, vérifier si l'équation donnée est celle d'un cercle. Lorsque c'est le cas, préciser les coordonnées du centre et le rayon.
1. x^{2}+y^{2}-\dfrac{11}{2} x-2 y+\dfrac{73}{16}=0
2. x^{2}+y^{2}-2 x-2 y+7=0
3. x^{2}+y^{2}-8 x-6 y+16=0
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[Raisonner.]
Dans chacun des cas suivants, vérifier si l'équation donnée est celle d'un cercle. Lorsque c'est le cas, préciser les coordonnées du centre et le rayon.
1. x^{2}+2 x+y^{2}-4 y=-1
2. x^{2}+y^{2}-6 y=-10
3. 2 x^{2}+6 x+y^{2}-4 y=3
2. x^{2}+y^{2}-6 y=-10
3. 2 x^{2}+6 x+y^{2}-4 y=3
4. x^{2}+y^{2}+x-y=0
5. x^{2}-5 x-y^{2}+3 y-12=0
5. x^{2}-5 x-y^{2}+3 y-12=0
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[Chercher.]
On considère les points \text{A}(2 \:; - 1), \text{B}(0\: ; 6) et \mathrm{C}\left(\dfrac{5}{3} ; 3\right). Déterminer une équation du cercle :
1. de rayon \text{[BC]} et de centre \text{B.}
2. passant par \text{A} et de centre \text{C.}
3. de diamètre \text{[AB]} : le point \text{C} appartient-il à ce cercle ?
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Python
[Modéliser.]
On définit le cercle \mathcal{C} par l'équation (x+1)^{2}+(y-4)^{2}=4.
1. Calculer les points d'intersection entre le cercle \mathcal{C} et les droites suivantes dont on donne une équation :
a. x=-1
b. x=-4
2. On donne le programme ci-dessous. Exécuter le programme pour les valeurs de la question 1.. Que peut-on conclure pour ce programme ?
a. x=-1
b. x=-4
2. On donne le programme ci-dessous. Exécuter le programme pour les valeurs de la question 1.. Que peut-on conclure pour ce programme ?
from math import*
def Intersection(x):
if x < -3:
Solution = False
return(Solution)
elif x <= 1:
Solution = True
n = 4 - (x + 1)**2
y1 = 4 - sqrt(n)
y2 = 4 + sqrt(n)
return(Solution, y1, y2)
else:
Solution = False
return(Solution)
3. Exécuter le programme pour x = 1. Que remarque-t-on ?
4. Proposer une amélioration pour le programme.
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[Représenter.]
Soit \mathcal{C}, le cercle d'équation x^2 + y^2 - 4x - 2y - 5 = 0 .
1. Tracer le cercle \mathcal{C} sur une feuille ou avec un logiciel de géométrie.
GeoGebra
2. On considère les points \text{A}(1\: ; 4), \text{D}(5\: ; 0) , \text{E}(3\: ; - 2) et \text{H}(-1\: ; 2). Justifier que ces points appartiennent au cercle \mathcal{C}.
3. Quelle est la nature du quadrilatère \text{ADEH} ?
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[Représenter.]
On considère le cercle \mathcal{C} d'équation \left(x-\dfrac{17}{4}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{17}{4}\right)^{2}=\dfrac{125}{8}.
1. Montrer que \text{D}(1\: ; 2) appartient à \mathcal{C} et représenter \mathcal{C}.
GeoGebra
2. a. À partir de la figure, conjecturer les coordonnées entières de trois points \text{A,} \text{B} et \text{C} tels que le triangle \text{ABC} soit inscrit dans le cercle \mathcal{C} et isocèle.
b. Démontrer cette conjecture.
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[Raisonner.] Le but de cet exercice est de trouver une équation d'un cercle passant par trois points \text{K,} \text{L} et \text{M} donnés. Soient \text{K}(2\: ; 1), \text{L}(1\: ; 4) et \text{M}(5\: ; 4) trois points du plan. On appelle \text{K}', \text{L}' et \text{M}' les milieux respectifs des côtés \text{[LM],} \text{[KM]} et \text{[KL].}
1. Calculer les coordonnées de \text{K}', \text{L}' et \text{M}'.
2. On définit la droite \mathcal{D} par l'équation x - 3y + 6 = 0 . Démontrer que \mathcal{D} est la médiatrice de \text{[KL].}
3. Déterminer une équation de la médiatrice \mathcal{D}' de \text{[KM].}
2. On définit la droite \mathcal{D} par l'équation x - 3y + 6 = 0 . Démontrer que \mathcal{D} est la médiatrice de \text{[KL].}
3. Déterminer une équation de la médiatrice \mathcal{D}' de \text{[KM].}
4. Calculer les coordonnées du point d'intersection des droites \mathcal{D} et \mathcal{D}'.
5. En déduire les éléments caractéristiques et une équation du cercle cherché.
5. En déduire les éléments caractéristiques et une équation du cercle cherché.
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42
[Chercher.]
On considère les points de coordonnées \text{A}(-1\: ; 3), \text{B}(2\: ; - 1) et \text{C}(-1\: ; - 1).
1. Démontrer que \text{ABC} est un triangle rectangle.
2. En déduire, de deux façons différentes, une équation du cercle circonscrit au triangle \text{ABC.}
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43
[Chercher.]
On considère les points \text{A}(6\: ; 5), \text{B}(-3\: ; 8) et \text{C}(2\: ; 1).
Déterminer une équation du cercle circonscrit à \text{ABC.}
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Démo
[Raisonner.] Soient \mathcal{C} un cercle et \text{A} un point de ce cercle. On appelle tangente à \mathcal{C} en \text{A} l'unique droite qui coupe le cercle uniquement au point \text{A.}
Le but est de prouver que cette tangente est perpendiculaire au rayon d'extrémité \text{A.}
On note \Omega le centre du cercle, \text{T} la tangente passant par \text{A} et \text{M} un point de \text{T} distinct de \text{A.}
1. Comparer les longueurs \Omega\text{M} et \Omega\text{A}.
Aide
On pourra penser à une démonstration par l'absurde.
2. Justifier que \text{A} est le projeté orthogonal de \Omega sur \text{T.}
3. Conclure.
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[Chercher.]
On considère le cercle \mathcal{C} de centre \Omega(-2\: ; 3) et de rayon 3.
1. Justifier que le point \text{A}(1\: ; 3) appartient au cercle \mathcal{C}.
2. Déterminer une équation de la tangente au cercle \mathcal{C} passant par le point \text{A.}
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[Chercher.]
Répondre aux mêmes questions que l'exercice précédent dans les cas suivants :
1. Le cercle \mathcal{C} a pour équation (x-1)^{2}+(y+5)^{2}=17 et le point \text{A} a pour coordonnées (2 \:; - 1).
2. Le cercle \mathcal{C} a pour diamètre \text{[BC]} avec \text{B}(3 \:; 5) et \text{C}(3\: ; 1). Le point \text{A} a pour coordonnées (3+\sqrt{2}\: ; 3+\sqrt{2})
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[Raisonner.] \mathcal{C} est un cercle de centre \text{O.} \text{M} est un point extérieur au cercle.
1. Faire une figure.
2. Construire le cercle \mathcal{C}' de diamètre \text{[OM].}
2. Construire le cercle \mathcal{C}' de diamètre \text{[OM].}
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3. On appelle \text{A} et \text{B} les points d'intersection des deux cercles. Que dire des triangles \text{OAM} et \text{OBM} ?
4. Que peut-on dire alors des droites \text{(AM)} et \text{(BM)} pour le cercle \mathcal{C} ?
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[Communiquer.]
Sur sa copie, Elanzize a écrit les affirmations suivantes.
Déterminer, en justifiant, si elles sont vraies ou fausses. Les trois affirmations sont indépendantes.
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
j'ai une idée !
Oups, une coquille
