Chapitre 10


Configurations géométriques




Avant de commencer

Prérequis

1. Connaître les propriétés des triangles et des parallélogrammes.
2. Savoir utiliser le cercle circonscrit à un triangle.
3. Utiliser le calcul vectoriel.
4. Calculer et utiliser un produit scalaire.
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7
Problème

La figure ci-dessous est un hexagone régulier. Les six triangles qui le constituent sont donc équilatéraux.

Configurations géométriques

1. Justifier que FO=OQ\overrightarrow{\mathrm{FO}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}} puis donner les autres vecteurs égaux à FO.\overrightarrow{\mathrm{FO}}.


2. Donner deux autres égalités vectorielles.


3. Montrer que FD=AC.\overrightarrow{\mathrm{FD}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}.
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2
Utiliser les propriétés des triangles

On considère un triangle ABC\text{ABC} isocèle en A.\text{A.}
Montrer que la hauteur issue de A\text{A} et la médiatrice du segment (BC)\text{(BC)} sont confondues.
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3
Déterminer le cercle circonscrit à un triangle

Soit ABCD\text{ABCD} un rectangle. Montrer que le cercle circonscrit au triangle ABC\text{ABC} passe par le point D.\text{D.}

Anecdote

Le mot « scalaire » vient de l’anglais scalar, provenant lui-même du mot latin scala qui désigne une échelle.
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4
Utiliser des coordonnées de vecteurs

Dans un repère orthonormé, on considère les points suivants : A(3;2),\text{A}(3 \:; 2), B(7;4)\text{B}(7\: ; 4) et C(6;3,5).\text{C}(6\: ; 3{,}5).

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et AC.\overrightarrow{\mathrm{AC}}.


2. Les points A,\text{A,} B\text{B} et C\text{C} sont-ils alignés ? Justifier.
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5
Calculer et utiliser un produit scalaire

Dans un repère orthonormé, on considère les points D(3;4),\mathrm{D}(-3\: ; 4), E(2;2),\mathrm{E}(2\: ; 2), F(0;1)\mathrm{F}(0\: ; 1) et G(4;32).\mathrm{G}(-4\: ; \dfrac{3}{2}).

1. Calculer les produits scalaires suivants. DEEF\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EF}} et DEGD.\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{GD}}.


2. Laquelle de ces deux droites est perpendiculaire à (DE)\text{(DE)} : (EF)\text{(EF)} ou (GD)\text{(GD)} ?
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1
Utiliser les propriétés du parallélogramme

Dans la figure ci-dessous, ABCD\text{ABCD} et BFEC\text{BFEC} sont des parallélogrammes.
MAT1_CH10_p252_EX1
Montrer que les droites (AF)\text{(AF)} et (DE)\text{(DE)} sont parallèles.
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6
Calculer un produit scalaire avec les normes

On se place dans un parallélogramme ABCD.\text{ABCD.}
Configurations géométriques
1. Utiliser une formule des normes pour simplifier le produit scalaire ABBC.\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}.


2. Le calculer lorsque AC=7\text{AC} = 7 et BD=5.\text{BD} = 5.


3. a. À quelle condition ABBC\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} s’annule-t-il ?

b. Quelle sera alors la nature du quadrilatère ABCD\text{ABCD} ?


La géométrie nous donne la possibilité de calculer des choses qui ne nous sont pas forcément accessibles comme la trajectoire d’un satellite. C’est, en effet, une recherche de lieu géométrique. Les lois physiques donnent les équations qui permettent de calculer les trajectoires.

Configurations géométriques

Capacités attendues - chapitre 10

1. Savoir retrouver une équation d’un cercle dans différentes situations.
2. Connaître la définition des médianes et du centre de gravité d’un triangle et leurs propriétés.
3. Déterminer le lieu géométrique de certains points à partir d’une égalité.
4. Optimiser certaines relations.
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