Exercices d'applications directes

17

Dans un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}), on définit le cercle de centre \Omega(1\: ;-3) et de rayon r = 4 .
1. Donner une équation de ce cercle.

2. Dire si les points suivants appartiennent au cercle :
a. \mathrm{A}(1\: ; 1)

b. L'origine du repère.

18

Soit l'équation x^2 + y^2 = 4 . On considère l'ensemble des points \text{M}(x\: ; y) dont les coordonnées vérifient cette équation. Décrire cet ensemble et en donner ses éléments caractéristiques.

20

On suppose que le triangle \text{ABC} est isocèle en \text{A.} Justifier que la médiane et la hauteur issues de \text{A} sont confondues.

19

\text{ABCD} est un parallélogramme de centre \text{O} et \text{E} est le symétrique de \text{C} par rapport à \text{B.}
On note \text{F} le point d'intersection des droites \text{(EO)} et \text{(AB).} On se place dans le triangle \text{AEC.}


1. Que représentent les droites \text{(EO)} et \text{(AB)} dans ce triangle ?

2. Justifier pourquoi \text{(CF)} coupe \text{(AE)} en son milieu.

21

On donne le centre \Omega et le rayon r.
1. \Omega(2 \: ; 3) et r=4.

2. \Omega(-1 \: ; 1) et r=\sqrt{3}.

3. \Omega(-2 \: ; -\dfrac{3}{2}) et r=1.

22

On donne le diamètre \text{[AB].}
1. \text{A}(2 \: ; 3) et \text{B}(3\:;2).

2. \text{A}(-6 \: ; 1) et \text{B}(1\:; -3).

3. \text{A}(\dfrac{3}{2} \: ; -\dfrac{1}{4}) et \text{B}(\dfrac{5}{2}\:;\dfrac{3}{4}).

23

On donne le centre \Omega et un point \text{A.}
1. \Omega(0\: ; 0) et \text{A}(0 \: ; 2)

2. \Omega(1\: ; 2) et \text{A}(-1 \: ; 4)

3. \Omega(-1\: ; 4) et \text{A}(3 \: ; -2)

24

Dans chacun des cas suivants, déterminer les coordonnées du centre et le rayon du cercle défini par l'équation donnée.
1. (x-4)^{2}+\left(y+\dfrac{3}{4}\right)^{2}=2

2. x^{2}+y^{2}+2 x=0

3. x^{2}+y^{2}+x-4 y-\dfrac{3}{2}=0

4. (x-1)(x+1)+(y+2)(y+1)=0

5. \left(x-\dfrac{1}{2}\right)(x+1)+(y+1)\left(y+\dfrac{3}{2}\right)=0

25

Dans un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}), on considère le cercle \mathcal{C} d'équation x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0 .
Dans chacun des cas, déterminer l'intersection de la droite dont on donne une équation avec \mathcal{C}.
1. y=-2

2. x=1

3. y=0

4. x=0

5. y=-3

6. y=1

26

La figure ci-dessous est constituée de triangles équilatéraux.

1. Déterminer les médianes du triangle \text{ADF.}

2. On considère le quadrilatère \text{BCED.}
a. Quelle est la nature de ce quadrilatère ?

b. Que dire de ses diagonales ?

c. Qu'en déduit-on pour la droite \text{(CD)} dans le triangle \text{BCE} ?

3. Que peut-on en conclure pour les médianes du triangle \text{ADF} dans le triangle \text{BCE} ?

27

La figure ci-dessous est constituée de triangles équilatéraux.
On se place dans le triangle \text{AGJ.}


1. Déterminer \overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{EG}}+\overrightarrow{\mathrm{EJ}}.

2. Qu'en déduit-on pour le point \text{E} ?

3. Quelles sont donc les médianes du triangle \text{AGJ} ?

28

Soit \text{ABC} un triangle tel que \text{AB} = 6, \text{AC} = 8 et \text{BC} = 10.
Quelles sont les longueurs des médianes de ce triangle ?

29

On donne dans le triangle \text{ABC} les mesures suivantes : \mathrm{AB}=3, \mathrm{AC}=2 \sqrt{2} et (\overrightarrow{\mathrm{AB}} ; \overrightarrow{\mathrm{AC}})=\dfrac{\pi}{4}. On note \text{I} le milieu du côté \text{[BC].}
Quelles sont les longueurs des segments \text{[AI]} et \text{[BC]} ?