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À L'ORAL

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17
Dans un repère orthonormé (O;i,j),(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}), on définit le cercle de centre Ω(1;3)\Omega(1\: ;-3) et de rayon r=4.r = 4 .
1. Donner une équation de ce cercle.

2. Dire si les points suivants appartiennent au cercle :
a. A(1;1)\mathrm{A}(1\: ; 1)

b. L’origine du repère.

18
Soit l’équation x2+y2=4.x^2 + y^2 = 4 . On considère l’ensemble des points M(x;y)\text{M}(x\: ; y) dont les coordonnées vérifient cette équation. Décrire cet ensemble et en donner ses éléments caractéristiques.

19
ABCD\text{ABCD} est un parallélogramme de centre O\text{O} et E\text{E} est le symétrique de C\text{C} par rapport à B.\text{B.}
On note F\text{F} le point d’intersection des droites (EO)\text{(EO)} et (AB).\text{(AB).} On se place dans le triangle AEC.\text{AEC.}

Configurations géométriques

1. Que représentent les droites (EO)\text{(EO)} et (AB)\text{(AB)} dans ce triangle ?

2. Justifier pourquoi (CF)\text{(CF)} coupe (AE)\text{(AE)} en son milieu.

20
On suppose que le triangle ABC\text{ABC} est isocèle en A.\text{A.} Justifier que la médiane et la hauteur issues de A\text{A} sont confondues.

Pour les exercices
21
à
23


Dans chacun des cas, déterminer une équation du cercle dont on donne les informations.

21
On donne le centre Ω\Omega et le rayon r.r.
1. Ω(2;3)\Omega(2 \: ; 3) et r=4.r=4.

2. Ω(1;1)\Omega(-1 \: ; 1) et r=3.r=\sqrt{3}.

3. Ω(2;32)\Omega(-2 \: ; -\dfrac{3}{2}) et r=1.r=1.

22
On donne le diamètre [AB].\text{[AB].}
1. A(2;3)\text{A}(2 \: ; 3) et B(3;2).\text{B}(3\:;2).

2. A(6;1)\text{A}(-6 \: ; 1) et B(1;3).\text{B}(1\:; -3).

3. A(32;14)\text{A}(\dfrac{3}{2} \: ; -\dfrac{1}{4}) et B(52;34).\text{B}(\dfrac{5}{2}\:;\dfrac{3}{4}).

23
On donne le centre Ω\Omega et un point A.\text{A.}
1. Ω(0;0)\Omega(0\: ; 0) et A(0;2)\text{A}(0 \: ; 2)

2. Ω(1;2)\Omega(1\: ; 2) et A(1;4)\text{A}(-1 \: ; 4)

3. Ω(1;4)\Omega(-1\: ; 4) et A(3;2)\text{A}(3 \: ; -2)

24
Dans chacun des cas suivants, déterminer les coordonnées du centre et le rayon du cercle défini par l’équation donnée.
1. (x4)2+(y+34)2=2(x-4)^{2}+\left(y+\dfrac{3}{4}\right)^{2}=2

2. x2+y2+2x=0x^{2}+y^{2}+2 x=0

3. x2+y2+x4y32=0x^{2}+y^{2}+x-4 y-\dfrac{3}{2}=0

4. (x1)(x+1)+(y+2)(y+1)=0(x-1)(x+1)+(y+2)(y+1)=0

5. (x12)(x+1)+(y+1)(y+32)=0\left(x-\dfrac{1}{2}\right)(x+1)+(y+1)\left(y+\dfrac{3}{2}\right)=0

25
Dans un repère orthonormé (O;i,j),(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}), on considère le cercle C\mathcal{C} d’équation x2+y22x+4y+1=0.x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0 .
Dans chacun des cas, déterminer l’intersection de la droite dont on donne une équation avec C.\mathcal{C}.
1. y=2y=-2

2. x=1x=1

3. y=0y=0

4. x=0x=0

5. y=3y=-3

6. y=1y=1

26
La figure ci-dessous est constituée de triangles équilatéraux.
Configurations géométriques

1. Déterminer les médianes du triangle ADF.\text{ADF.}

2. On considère le quadrilatère BCED.\text{BCED.}
a. Quelle est la nature de ce quadrilatère ?

b. Que dire de ses diagonales ?

c. Qu’en déduit-on pour la droite (CD)\text{(CD)} dans le triangle BCE\text{BCE} ?

3. Que peut-on en conclure pour les médianes du triangle ADF\text{ADF} dans le triangle BCE\text{BCE} ?

27
La figure ci-dessous est constituée de triangles équilatéraux.
On se place dans le triangle AGJ.\text{AGJ.}
Configurations géométriques


1. Déterminer EA+EG+EJ.\overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{EG}}+\overrightarrow{\mathrm{EJ}}.

2. Qu’en déduit-on pour le point E\text{E} ?

3. Quelles sont donc les médianes du triangle AGJ\text{AGJ} ?

28
Soit ABC\text{ABC} un triangle tel que AB=6,\text{AB} = 6, AC=8\text{AC} = 8 et BC=10.\text{BC} = 10.
Quelles sont les longueurs des médianes de ce triangle ?

29
On donne dans le triangle ABC\text{ABC} les mesures suivantes : AB=3,AC=22\mathrm{AB}=3, \mathrm{AC}=2 \sqrt{2} et (AB;AC)=π4.(\overrightarrow{\mathrm{AB}} ; \overrightarrow{\mathrm{AC}})=\dfrac{\pi}{4}. On note I\text{I} le milieu du côté [BC].\text{[BC].}
Quelles sont les longueurs des segments [AI]\text{[AI]} et [BC]\text{[BC]} ?
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