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TRAVAILLER ENSEMBLE


Triangle dont on connaît les milieux des côtés





Le but de cette activité est de trouver les sommets d’un triangle ABC\text{ABC} en connaissant les milieux de ses côtés. On notera R\text{R} le milieu du segment [BC],\text{[BC],} S\text{S} celui de [AC]\text{[AC]} et T\text{T} celui de [AB].\text{[AB].}
Les points R,\text{R,} S\text{S} et T\text{T} sont donc connus : on cherche à construire les points A,\text{A,} B\text{B} et C.\text{C.}
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;i,j).(\text{O} ; \vec{i} , \vec{j} ) .
On considère les points suivants : R(1;1),\text{R}(1\: ; 1), S(1;3)\text{S}(-1\: ; 3) et T(3;5).\text{T}(3\: ; 5).

Triangle dont on connaît les milieux des côtés

Triangle dont on connaît les milieux des côtés

Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

PARTIE 1 ★★

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On définit le point G\text{G} par la relation GR+GS+GT=0.\overrightarrow{\mathrm{GR}}+\overrightarrow{\mathrm{GS}}+\overrightarrow{\mathrm{GT}}=\overrightarrow{0}.
1. Que représente le point G\text{G} pour le triangle RST\text{RST} ?


2. Montrer que OG=13(OR+OS+OT).\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{\mathrm{OR}}+\overrightarrow{\mathrm{OS}}+\overrightarrow{\mathrm{OT}}).


3. Calculer les coordonnées du point G.\text{G.}

PARTIE 2 ★★

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On considère le point G\text{G} de coordonnées (1;3).(1 \: ; 3).
On définit les points A,\text{A,} B\text{B} et C\text{C} par les relations suivantes : GA=2GR,GB=2GS\overrightarrow{\mathrm{GA}}=-2 \overrightarrow{\mathrm{GR}}, \overrightarrow{\mathrm{GB}}=-2 \overrightarrow{\mathrm{GS}} et GC=2GT.\overrightarrow{\mathrm{GC}}=-2 \overrightarrow{\mathrm{GT}}.
1. Le but de la question est de trouver les coordonnées de A(xA;yA).\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}\: ; y_{\mathrm{A}}\right).
a. Quelles sont les coordonnées des vecteurs GA\overrightarrow{\mathrm{GA}} et GR\overrightarrow{\mathrm{GR}} ?

b. En utilisant la relation vectorielle donnée, déterminer et résoudre un système pour trouver les coordonnées de A.\text{A.}


2. Faire de même pour B\text{B} et C.\text{C.}

PARTIE 3 ☆☆

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On donne D(5;3),\text{D}(5\: ; 3), E(1;7)\text{E}(1\: ; 7) et F(3;1).\text{F}(-3\: ; - 1).
1. Déterminer les milieux des segments [DE],\text{[DE],} [EF]\text{[EF]} et [FD].\text{[FD].}


2. Que peut-on en conclure pour les points D,\text{D,} E\text{E} et F\text{F} ?

PARTIE 4 ☆☆

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On note G\text{G} le centre de gravité du triangle ABC.\text{ABC.}
1. a. Justifier que GA=(GB+GC).\overrightarrow{\mathrm{GA}}=-(\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}).

b. Exprimer alors GA\overrightarrow{\mathrm{GA}} en fonction de GR.\overrightarrow{\mathrm{GR}}.


2. Trouver de même les relations entre :
a. GB\overrightarrow{\mathrm{GB}} et GS;\overrightarrow{\mathrm{GS}}\: ;

b. GS\overrightarrow{\mathrm{GS}} et GT.\overrightarrow{\mathrm{GT}}.

Mise en commun

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Après avoir mis les résultats en commun, déterminer une méthode pour trouver les coordonnées des sommets du triangle ABC\text{ABC} telles que les points R,\text{R,} S\text{S} et T\text{T} soient les milieux des côtés du triangle.
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