Intersection entre un cercle et une droite

1. Construction :
a. Placer les points $\text{A}$ et $\text{B}$ et tracer le cercle de centre $\text{A}$ passant par $\text{B.}$
b. Créer un curseur $k$ variant de $-2$ à $12$ puis tracer la droite d'équation $x=k.$
c. En utilisant l'outil Intersection, faire apparaître les points $\text{M}$ et $\text{N,}$ intersections de la droite $\text{d}$ et du cercle $\mathcal{C}.$

2. Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de la droite d'équation $x=8$ avec $\mathcal{C}$ ?

3. En faisant varier le curseur $k,$ conjecturer, en fonction de la valeur $k,$ le nombre de points d'intersection de la droite avec $\mathcal{C}.$

1. Dans GeoGebra, ouvrir une fenêtre de calcul formel. Le principe est que le logiciel effectue lui-même les calculs.
On cherche à trouver les points du cercle qui intersectent la droite d'équation $x=8.$

a. Entrer l'équation du cercle sous la forme $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2.$
b. Utiliser l'outil Substituer et remplacer $x$ par $8.$
c. Utiliser l'outil Résoudre. Conclure.

2. On veut savoir pour quelles valeurs de $k\in \mathcal{R}$ le cercle intersecte la droite d'équation $x=k.$
a. On reprend l'expression de départ et on substitue $x$ par $k.$
Que peut-on dire du nombre $(y-b{)}^2$ ?

b. Trouver les valeurs de $k$ pour lesquelles il y a une intersection.

Pour trouver le nombre de points d'intersection entre $\mathcal{C}$ et $d,$ on peut trouver le nombre de solutions d'une équation à l'aide de la calculatrice et d'un paramètre. 1. Justifier que les ordonnées des points d'intersection du cercle $\mathcal{C}$ et de la droite $d$ vérifient $y^2-10y+k^2-8k+16=0.$

2. Dans cette question, $k=8.$
a. Quelle équation obtient-on alors ?

b. À la calculatrice, tracer la courbe représentative de la fonction $x\mapsto x^2-10x+16.$

c. En déduire, en justifiant, le nombre de points d'intersection entre le cercle $\mathcal{C}$ et la droite $d.$

3. Dans cette question, $k$ est un réel quelconque.
a. Dans l'écran de calcul, affecter la valeur $8$ à la variable $k.$
b. À la calculatrice, tracer la courbe représentative de la fonction $f:x\mapsto x^2-10x+k^2-8k+16.$
c. Dans l'écran de calcul, affecter à la variable $k$ une nouvelle valeur puis retracer la courbe représentativede la fonction $f.$
d. Faire la même chose avec plusieurs valeurs et conjecturer alors le nombre de points d'intersection en fonction de $k.$