TP / TICE 2


Intersection entre un cercle et une droite




MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
CALCULATRICE

Pour trouver le nombre de points d’intersection entre C\mathcal{C} et d,d, on peut trouver le nombre de solutions d’une équation à l’aide de la calculatrice et d’un paramètre.

1. Justifier que les ordonnées des points d’intersection du cercle C\mathcal{C} et de la droite dd vérifient y210y+k28k+16=0.y^2 - 10y + k^2 - 8k + 16 = 0.


2. Dans cette question, k=8.k = 8 .
a. Quelle équation obtient-on alors ?


b. À la calculatrice, tracer la courbe représentative de la fonction xx210x+16.x \mapsto x^{2}-10 x+16.

c. En déduire, en justifiant, le nombre de points d’intersection entre le cercle C\mathcal{C} et la droite d.d .


3. Dans cette question, kk est un réel quelconque.
a. Dans l’écran de calcul, affecter la valeur 88 à la variable k.k .

b. À la calculatrice, tracer la courbe représentative de la fonction f:xx210x+k28k+16.f : x \mapsto x^{2}-10 x+k^{2}-8 k+16.

c. Dans l’écran de calcul, affecter à la variable kk une nouvelle valeur puis retracer la courbe représentativede la fonction f.f .

d. Faire la même chose avec plusieurs valeurs et conjecturer alors le nombre de points d’intersection en fonction de k.k .

Objectif

Déterminer le nombre de points d’intersection du cercle avec la droite x=kx = k en fonction du paramètre kk en utilisant une des trois méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
GEOGEBRA
(formel)

1. Dans GeoGebra, ouvrir une fenêtre de calcul formel. Le principe est que le logiciel effectue lui-même les calculs.
On cherche à trouver les points du cercle qui intersectent la droite d’équation x=8.x = 8 .

Lancer le module Geogebra
a. Entrer l’équation du cercle sous la forme (xa)2+(yb)2=r2.(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.

b. Utiliser l’outil Substituer et remplacer xx par 8.8.

c. Utiliser l’outil Résoudre. Conclure.


2. On veut savoir pour quelles valeurs de kRk \in \mathcal{R} le cercle intersecte la droite d’équation x=k.x = k .

a. On reprend l’expression de départ et on substitue xx par k.k .
Que peut-on dire du nombre (yb)2(y - b)^2 ?


b. Trouver les valeurs de kk pour lesquelles il y a une intersection.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA
(graphique)

1. Construction :
a. Placer les points A\text{A} et B\text{B} et tracer le cercle de centre A\text{A} passant par B.\text{B.}

b. Créer un curseur kk variant de 2-2 à 1212 puis tracer la droite d’équation x=k.x = k .

c. En utilisant l’outil Intersection, faire apparaître les points M\text{M} et N,\text{N,} intersections de la droite d\text{d} et du cercle C.\mathcal{C}.

Lancer le module Geogebra
2. Quelles sont les coordonnées du point d’intersection de la droite d’équation x=8x = 8 avec C\mathcal{C} ?


3. En faisant varier le curseur k,k, conjecturer, en fonction de la valeur k,k , le nombre de points d’intersection de la droite avec C.\mathcal{C}.

Énoncé

On définit le cercle C\mathcal{C} de centre A(4;5)\text{A}(4 \:; 5) et passant par B(1;5).\text{B}(-1\: ; 5).
Pour tout réel kR,k \in \mathbb{R}, on définit la droite dd d’équation x=k.x = k.

Questions préliminaires :
1. Déterminer la longueur AB.\text{AB.}


2. En déduire que x2+y28x10y+16=0x^2 + y^2 - 8x - 10y + 16 = 0 est une équation du cercle C.\mathcal{C}.
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