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Activités




A
Une nouvelle équation : celle du cercle


3
a) Quelles sont les coordonnées des points S\text{S} et T\text{T} ?


b) Ces points appartiennent-ils à C\mathcal{C} ?


c) Le point E(12;2)\text{E}(12\: ; - 2) appartient-il à C\mathcal{C} ?


4
On note M\text{M} le point de coordonnées (x;y)(x \:; y) dans ce même repère orthonormé.

a) Donner une condition pour que le point M\text{M} appartienne au cercle C.\mathcal{C}.


b) Calculer la longueur OM\text{OM} en fonction des coordonnées de M.\text{M.}


c) En déduire une expression en fonction de xx et yy qui détermine l’ensemble des points du cercle.

LOGIQUE

4
Si deux longueurs sont égales alors leur carré l’est aussi.


Objectif
Déterminer une équation d’un cercle dans un repère orthonormé.


Dans ce repère orthonormé, on considère le cercle C\mathcal{C} de centre Ω\Omega et qui passe par R.\text{R.}
On se propose de déterminer si un point appartient à ce cercle ou non.

1
À l’aide d’un logiciel de géométrie ou à la main, reproduire la représentation ci-contre et placer les points au fur et à mesure de l’activité. Les points notés ont des coordonnées entières.

Lancer le module Geogebra
2
Déterminer la valeur exacte du rayon du cercle C.\mathcal{C}.
Voir les réponses


Bilan
Donner une équation d’un cercle de centre Ω(a;b)\Omega(a \: ; b) et de rayon rr dans un repère orthonormé.


Une nouvelle équation : celle du cercle

B
À la découverte d’une nouvelle formule


3
Dans cette question, on pose AH=h\text{AH} = h et BM=MC=a\text{BM} = \text{MC} = ahh et aa sont deux réels strictement positifs.

a) Montrer que AB2=(ax)2+h2\mathrm{AB}^{2}=(a-x)^{2}+h^{2} et que AC2=(a+x)2+h2.\mathrm{AC}^{2}=(a+x)^{2}+h^{2}.


b) Exprimer AM2\text{AM}^2 en fonction de xx et de h.h.


c) Calculer BC2.\text{BC}^2.
Voir les réponses


Bilan
Dans le cas général, vérifier alors que AB2+AC2=2AM2+12BC2.\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=2 \mathrm{AM}^{2}+\dfrac{1}{2} \mathrm{BC}^{2}.


1
a) À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique ou à la main, représenter la figure ci-contre.

Lancer le module Geogebra
b) Lire graphiquement, ou en mesurant, les longueurs AB,\text{AB,} AC,\text{AC,} BC\text{BC} et AM\text{AM} et constater que la relation ci-dessus est vérifiée.


2
Dans cette question, on pose AH=2\text{AH} = 2 et BM=MC=3.\text{BM} = \text{MC} = 3 .
a) Exprimer AB2,\text{AB}^2, AC2\text{AC}^2 et AM2\text{AM}^2 en fonction de x.x .


b) Calculer BC2.\text{BC}^2.


c) Vérifier que AB2+AC2=2AM2+12BC2.\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=2 \mathrm{AM}^{2}+\dfrac{1}{2} \mathrm{BC}^{2}.

À la découverte d’une nouvelle formule - triangle

On se place dans un triangle ABC\text{ABC} quelconque et on note M\text{M} le pied de la médiane issue de A\text{A} et H\text{H} celui de la hauteur issue de A.\text{A.} On pose HM=x.\text{HM} = x .

On souhaite démontrer la formule suivante, appelée formule de la médiane : AB2+AC2=2AM2+12BC2.\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=2 \mathrm{AM}^{2}+\dfrac{1}{2} \mathrm{BC}^{2}.


Objectif
Démontrer une formule en lien avec les médianes dans un triangle.

C
Lieu de points

Lieu de points


Objectif
Trouver le lieu géométrique de points vérifiant une propriété géométrique donnée.


Lieu de points - fonderie

3
a) À l’aide de GeoGebra, faire la figure et afficher les aires des six triangles constitués de sommet M.\text{M.}

Lancer le module Geogebra
b) Déplacer le point M\text{M} et observer comment varient les aires.

Voir les réponses
Un métallurgiste possède une plaque de cuivre de forme triangulaire. Il veut la découper de façon à avoir six plaques triangulaires de même surface.

1
Dans un triangle, on rappelle que la médiane issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé.

a) Tracer un triangle ABC\text{ABC} non plat et non isocèle en A\text{A} ainsi que la hauteur et la médiane issues de A.\text{A.} On note H\text{H} le pied de la hauteur et A’\text{A'} le milieu de [BC].\text{[BC].}
Couleurs
Formes
Dessinez ici


b) Donner une formule de l’aire du triangle ABC\text{ABC} ainsi que celle des triangles ABA\text{ABA}' et AAC.\text{AA}'\text{C.}


c) Quelle relation existe-t-il entre ces aires ? Justifier.


2
a) Placer maintenant un point M\text{M} à l’intérieur du triangle ABC\text{ABC} et tracer les droites (AM),\text{(AM),} (BM)\text{(BM)} et (CM).\text{(CM).}
Couleurs
Formes
Dessinez ici


b) En combien de triangles de sommet M\text{M} la figure a-t-elle été divisée ?


c) Justifier que les triangles AAB\text{AA}'\text{B} et AAC\text{AA}'\text{C} ont la même aire.


d) Si M\text{M} se situe sur la médiane issue de A,\text{A,} que dire des triangles MAB\text{MA}'\text{B} et MAC\text{MA}'\text{C} ? Et des triangles MAB\text{MAB} et MAC\text{MAC} ?
Voir les réponses


Bilan
Où placer le point M\text{M} pour que les six triangles aient la même aire ?

Remarque

On appelle lieu géométrique un ensemble de points vérifiant tous la même propriété géométrique. Par exemple, la médiatrice d’un segment est l’ensemble des points situés à égale distance des extrémités de ce segment : il s’agit bien d’un lieu géométrique.
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