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Activités
P.254-255

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A
Une nouvelle équation : celle du cercle



Objectif
Déterminer une équation d’un cercle dans un repère orthonormé.


Une nouvelle équation : celle du cercle

Dans ce repère orthonormé, on considère le cercle de centre et qui passe par
On se propose de déterminer si un point appartient à ce cercle ou non.

1
À l’aide d’un logiciel de géométrie ou à la main, reproduire la représentation ci-contre et placer les points au fur et à mesure de l’activité. Les points notés ont des coordonnées entières.

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2
Déterminer la valeur exacte du rayon du cercle
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3
a) Quelles sont les coordonnées des points et ?


b) Ces points appartiennent-ils à ?


c) Le point appartient-il à ?


4
On note le point de coordonnées dans ce même repère orthonormé.

a) Donner une condition pour que le point appartienne au cercle


b) Calculer la longueur en fonction des coordonnées de


c) En déduire une expression en fonction de et qui détermine l’ensemble des points du cercle.
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LOGIQUE

4
Si deux longueurs sont égales alors leur carré l’est aussi.
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Bilan
Donner une équation d’un cercle de centre et de rayon dans un repère orthonormé.

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B
À la découverte d’une nouvelle formule



Objectif
Démontrer une formule en lien avec les médianes dans un triangle.


On se place dans un triangle quelconque et on note le pied de la médiane issue de et celui de la hauteur issue de On pose

On souhaite démontrer la formule suivante, appelée formule de la médiane :

À la découverte d’une nouvelle formule - triangle

1
a) À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique ou à la main, représenter la figure ci-contre.

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b) Lire graphiquement, ou en mesurant, les longueurs et et constater que la relation ci-dessus est vérifiée.


2
Dans cette question, on pose et
a) Exprimer et en fonction de


b) Calculer


c) Vérifier que
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3
Dans cette question, on pose et et sont deux réels strictement positifs.

a) Montrer que et que


b) Exprimer en fonction de et de


c) Calculer
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Bilan
Dans le cas général, vérifier alors que

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C
Lieu de points



Objectif
Trouver le lieu géométrique de points vérifiant une propriété géométrique donnée.

Remarque

On appelle lieu géométrique un ensemble de points vérifiant tous la même propriété géométrique. Par exemple, la médiatrice d’un segment est l’ensemble des points situés à égale distance des extrémités de ce segment : il s’agit bien d’un lieu géométrique.

Lieu de points - fonderie

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Un métallurgiste possède une plaque de cuivre de forme triangulaire. Il veut la découper de façon à avoir six plaques triangulaires de même surface.

1
Dans un triangle, on rappelle que la médiane issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé.

a) Tracer un triangle non plat et non isocèle en ainsi que la hauteur et la médiane issues de On note le pied de la hauteur et le milieu de
Couleurs
Formes
Dessinez ici


b) Donner une formule de l’aire du triangle ainsi que celle des triangles et


c) Quelle relation existe-t-il entre ces aires ? Justifier.


2
a) Placer maintenant un point à l’intérieur du triangle et tracer les droites et
Couleurs
Formes
Dessinez ici


b) En combien de triangles de sommet la figure a-t-elle été divisée ?


c) Justifier que les triangles et ont la même aire.


d) Si se situe sur la médiane issue de que dire des triangles et ? Et des triangles et ?
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Lieu de points

3
a) À l’aide de GeoGebra, faire la figure et afficher les aires des six triangles constitués de sommet

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b) Déplacer le point et observer comment varient les aires.
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Bilan
Où placer le point pour que les six triangles aient la même aire ?

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