Activités

Dans ce repère orthonormé, on considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega$ et qui passe par $\text{R.}$
On se propose de déterminer si un point appartient à ce cercle ou non.

À l’aide d’un logiciel de géométrie ou à la main, reproduire la représentation ci-contre et placer les points au fur et à mesure de l’activité. Les points notés ont des coordonnées entières.

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Déterminer la valeur exacte du rayon du cercle $\mathcal{C}.$

a) Quelles sont les coordonnées des points $\text{S}$ et $\text{T}$ ?


b) Ces points appartiennent-ils à $\mathcal{C}$ ?


c) Le point $\text{E}(12\: ; - 2)$ appartient-il à $\mathcal{C}$ ?


On note $\text{M}$ le point de coordonnées $(x \:; y)$ dans ce même repère orthonormé.

a) Donner une condition pour que le point $\text{M}$ appartienne au cercle $\mathcal{C}.$


b) Calculer la longueur $\text{OM}$ en fonction des coordonnées de $\text{M.}$


c) En déduire une expression en fonction de $x$ et $y$ qui détermine l’ensemble des points du cercle.

On se place dans un triangle $\text{ABC}$ quelconque et on note $\text{M}$ le pied de la médiane issue de $\text{A}$ et $\text{H}$ celui de la hauteur issue de $\text{A.}$ On pose $\text{HM} = x .$

On souhaite démontrer la formule suivante, appelée formule de la médiane : $\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=2 \mathrm{AM}^{2}+\dfrac{1}{2} \mathrm{BC}^{2}.$

a) À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique ou à la main, représenter la figure ci-contre.

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b) Lire graphiquement, ou en mesurant, les longueurs $\text{AB,}$ $\text{AC,}$ $\text{BC}$ et $\text{AM}$ et constater que la relation ci-dessus est vérifiée.


Dans cette question, on pose $\text{AH} = 2$ et $\text{BM} = \text{MC} = 3 .$
a) Exprimer $\text{AB}^2,$ $\text{AC}^2$ et $\text{AM}^2$ en fonction de $x .$


b) Calculer $\text{BC}^2.$


c) Vérifier que $\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=2 \mathrm{AM}^{2}+\dfrac{1}{2} \mathrm{BC}^{2}.$

Dans cette question, on pose $\text{AH} = h$ et $\text{BM} = \text{MC} = a$ où $h$ et $a$ sont deux réels strictement positifs.

a) Montrer que $\mathrm{AB}^{2}=(a-x)^{2}+h^{2}$ et que $\mathrm{AC}^{2}=(a+x)^{2}+h^{2}.$


b) Exprimer $\text{AM}^2$ en fonction de $x$ et de $h.$


c) Calculer $\text{BC}^2.$

On appelle lieu géométrique un ensemble de points vérifiant tous la même propriété géométrique. Par exemple, la médiatrice d’un segment est l’ensemble des points situés à égale distance des extrémités de ce segment : il s’agit bien d’un lieu géométrique.

Un métallurgiste possède une plaque de cuivre de forme triangulaire. Il veut la découper de façon à avoir six plaques triangulaires de même surface.

Dans un triangle, on rappelle que la médiane issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé.

a) Tracer un triangle $\text{ABC}$ non plat et non isocèle en $\text{A}$ ainsi que la hauteur et la médiane issues de $\text{A.}$ On note $\text{H}$ le pied de la hauteur et $\text{A'}$ le milieu de $\text{[BC].}$


b) Donner une formule de l’aire du triangle $\text{ABC}$ ainsi que celle des triangles $\text{ABA}'$ et $\text{AA}'\text{C.}$


c) Quelle relation existe-t-il entre ces aires ? Justifier.


a) Placer maintenant un point $\text{M}$ à l’intérieur du triangle $\text{ABC}$ et tracer les droites $\text{(AM),}$ $\text{(BM)}$ et $\text{(CM).}$


b) En combien de triangles de sommet $\text{M}$ la figure a-t-elle été divisée ?


c) Justifier que les triangles $\text{AA}'\text{B}$ et $\text{AA}'\text{C}$ ont la même aire.


d) Si $\text{M}$ se situe sur la médiane issue de $\text{A,}$ que dire des triangles $\text{MA}'\text{B}$ et $\text{MA}'\text{C}$ ? Et des triangles $\text{MAB}$ et $\text{MAC}$ ?

a) À l’aide de GeoGebra, faire la figure et afficher les aires des six triangles constitués de sommet $\text{M.}$

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b) Déplacer le point $\text{M}$ et observer comment varient les aires.