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COURS 1


1
Équation de cercle




Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;i,j).(\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}).

B
Connaissant un diamètre


DÉMONSTRATION

MAMB=0(xxA)(xxB)+(yyA)(yyB)=0\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=0 \Leftrightarrow\left(x-x_{\mathrm{A}}\right)\left(x-x_{\mathrm{B}}\right)+\left(y-y_{\mathrm{A}}\right)\left(y-y_{\mathrm{B}}\right)=0
soit, en développant, x2xAxxBx+xAxB+y2yAyyBy+yAyB=0.x^{2}-x_{\mathrm{A}} x-x_{\mathrm{B}} x+x_{\mathrm{A}} x_{\mathrm{B}}+y^{2}-y_{\mathrm{A}} y-y_{\mathrm{B}} y+y_{\mathrm{A}} y_{\mathrm{B}}=0.
Ainsi, x22×xA+xB2×x+y22×yA+yB2×y+xAxB+yAyB=0,x^{2}-2 \times \dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}}{2} \times x+y^{2}-2 \times \dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}}{2} \times y+x_{\mathrm{A}} x_{\mathrm{B}}+y_{\mathrm{A}} y_{\mathrm{B}}=0,
On obtient (xxA+xB2)2+(yyA+yB2)2=(xAxB)2+(yAyB)24\left(x-\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}}{2}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}}{2}\right)^{2}=\dfrac{\left(x_{\mathrm{A}}-x_{\mathrm{B}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{A}}-y_{\mathrm{B}}\right)^{2}}{4}
soit (xxA+xB2)2+(yyA+yB2)2=(AB2)2\left(x-\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}}{2}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}}{2}\right)^{2}=\left(\dfrac{\mathrm{AB}}{2}\right)^{2} qui est bien une équation de cercle de diamètre [AB].\text{[AB].}

Propriété

Soient A\text{A} et B\text{B} deux points fixés. L’ensemble des points M(x;y)\text{M}(x\: ; y) du plan tel que MAMB=0\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=0 est le cercle de diamètre [AB].\text{[AB].}

Connaissant un diamètre

Remarque

x22axx^{2}-2 a x est le début de l’identité remarquable (xa)2=x22ax+a2,(x-a)^2=x^{2}-2 a x+a^{2}, donc x22ax=(xa)2a2.x^2 - 2ax = (x-a)^2 -a^2.

Démonstration au programme

Remarque

Autrement dit : un triangle MAB\text{MAB} est rectangle en M\text{M} si et seulement si il est inscrit dans le cercle de diamètre [AB].\text{[AB].}

Exemple

Soient A(1;3)\text{A}(1 \:; 3) et B(3;1).\text{B}(-3 \:; 1). Le cercle C\mathcal{C} de diamètre [AB]\text{[AB]} est l’ensemble des points M(x;y)\text{M}(x\: ; y) tel que MAMB=0.\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=0. On a MA(x1y3)\overrightarrow{\mathrm{MA}}\begin{pmatrix}{x-1} \\ {y-3}\end{pmatrix} et MB(x+3y1)\overrightarrow{\mathrm{MB}}\begin{pmatrix}{x+3} \\ {y-1}\end{pmatrix} donc MAMB=(x1)(x+3)+(y3)(y1).\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=(x-1)(x+3)+(y-3)(y-1).
On obtient alors x2+2x3+y24x+3=0,x^{2}+2 x-3+y^{2}-4 x+3=0, et ainsi (x+1)21+(y2)24=0.(x+1)^{2}-1+(y-2)^{2}-4=0.
C\mathcal{C} est donc le cercle de centre Ω(1;2)\Omega(-1 \: ; 2) et de rayon 5.\sqrt{5}.

Application et méthode


SOLUTION

On démontre que x2+3x=(x+32)294x^{2}+3 x=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\dfrac{9}{4} et y2+y=(y+12)214.y^{2}+y=\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{4}.
On a alors (x+32)294+(y+12)214932=0\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\dfrac{9}{4}+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{93}{2}=0 d’où (x+32)2+(y+12)249=0.\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^{2}+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^{2}-49=0.
Le cercle a donc pour centre Ω(32;12)\Omega\left(-\dfrac{3}{2}\: ;-\dfrac{1}{2}\right) et pour rayon r=49=7.r=\sqrt{49}=7.

Pour s'entraîner : exercices 24 p. 267 et 34 p. 268

Énoncé

▶▶ Déterminer un cercle à partir d’une équation
L’ensemble des points M(x;y)\text{M}(x\: ; y) vérifiant l’équation x2+y2+3x+y932=0x^{2}+y^{2}+3 x+y-\dfrac{93}{2}=0 est un cercle. Déterminer son centre ainsi que son rayon.

Méthode

Pour obtenir les coordonnées du centre et le rayon du cercle donné par une équation développée, il faut :
  • écrire l’équation sous la forme x22ax+y22by+c=0x^{2}-2 a x+y^{2}-2 b y+c=0 ;
  • considérer x22ax et y22byx^{2}-2 a x \text { et } y^{2}-2 b y comme le début de (xa)2(x-a)^2 et (yb)2(y-b)^2 ;
  • remplacer dans l’équation ces termes en pensant à enlever le terme constant ;
  • ajouter les constantes entre elles.

Application et méthode


Équation de cercle

SOLUTION

Il faut déterminer les coordonnées du centre du cercle : il se trouve au milieu du segment [OB].\text{[OB].}
Comme O(0;0)\mathrm{O}(0\: ; 0) et B(4;4)\mathrm{B}(4 \:; 4), le centre Ω\Omega a pour coordonnées (0+42;0+42)\left(\dfrac{0+4}{2} \:; \dfrac{0+4}{2}\right) donc Ω(2;2).\Omega(2\: ; 2).
Le cercle passe par le point de coordonnées (2;4)(2\: ; 4) donc le rayon est : (22)2+(24)2=2.\sqrt{(2-2)^{2}+(2-4)^{2}}=2.
Le cercle a pour équation : (x2)2+(y2)2=4.(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=4.


Pour s'entraîner : exercices 21 à 23 p. 267

Énoncé

Dans un repère orthonormé (O;i,j),(\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}), on donne les points A,\text{A,} B\text{B} et C\text{C} comme sur le repère ci-contre.
Déterminer une équation du cercle inscrit dans le carré OABC.\text{OABC.}

Méthode

Il faut déterminer les éléments caractéristiques du cercle :
  • les coordonnées du centre du cercle ;
  • la longueur du rayon.

Application et méthode

Énoncé

Soit le cercle d’équation x2+y24x+2y4=0x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0 et la droite d’équation x=1.x = -1 .
Déterminer leurs éventuels points d’intersection.

SOLUTION

Si x=1,x = -1 , on a alors (1)2+y2+4+2y4=0,(-1)^2 + y^2 + 4 + 2y - 4 = 0 , ce qui revient à y2+2y+1=0,y^2 + 2y + 1 = 0 , soit encore (y+1)2=0,(y + 1)^2 = 0 , ce qui donne pour unique solution y=1.y = -1 . Le point d’intersection a pour coordonnées (1;1).(-1 \: ; - 1).

Pour s'entraîner : exercices 25 p. 267

Méthode

On remplace la valeur donnée par l’équation de la droite dans l’équation du cercle et on résout l’équation du second degré obtenue.

C
Intersection d’un cercle avec une droite parallèle à un axe


DÉMONSTRATION

Voir exercice transversal
33
p. 344.

Exemple

Le cercle de centre O\text{O} et de rayon 11 coupe chacun des axes du repère en deux points.

Remarque

Une droite parallèle à l’axe des abscisses a pour équation y=by = b et une droite parallèle à l’axe des ordonnées a pour équation x=a.x = a .

Propriété

Un cercle et une droite parallèle à un axe du repère ont 0 ; 1 ou 2 points d’intersection.

A
Connaissant le centre et le rayon


DÉMONSTRATION

M(x;y)C(Ω;r)ΩM2=r2\mathrm{M}(x\: ; y) \in \mathcal{C}_{(\Omega ; r)} \Leftrightarrow \Omega \mathrm{M}^{2}=r^{2} Or, ΩM=(xa)2+(yb)2\Omega \text{M}=\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}} car le repère est orthonormé, d’où ΩM2=r2=(xa)2+(yb)2.\Omega \text{M}^{2}=r^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}.
Il suffit de développer pour obtenir la deuxième formule.

Remarque

Si α,β\alpha, \beta et γ\gamma sont des réels, alors x2+y22αx2βy+γ=0x^2 + y^2 - 2\alpha x -2\beta y + \gamma = 0 est une équation d’un cercle à condition que α2+β2γ>0.\alpha^2 + \beta^2 - \gamma > 0 .

Définition

On appelle cercle de centre Ω\Omega et de rayon r>0r > 0 l’ensemble des points M\text{M} du plan qui sont à la distance rr du centre. On le note C(Ω,r).\mathcal{C}_{(\Omega, r)}.

Exemple

Une équation du cercle de centre A(1;3)\text{A}(-1 \:; 3) et de rayon 22 est (x+1)2+(y3)2=22.(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=2^{2}.
En développant cette expression, on obtient x2+2x+y26y+6=0.x^{2}+2 x+y^{2}-6 y+6=0.

Théorème

Soient aa et bb deux réels. Une équation du cercle de centre Ω(a;b)\Omega(a\: ; b) et de rayon rr est (xa)2+(yb)2=r2.(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.
On peut également écrire x2+y22ax2by+c=0x^{2}+y^{2}-2 a x-2 b y+c=0 avec c=a2+b2r2.c=a^{2}+b^{2}-r^{2}.

Remarque

Autrement dit, l’ensemble des points M(x;y)\text{M}(x \:; y) tel que ΩM=r\Omega \text{M} = r est le cercle C(Ω,r).\mathcal{C}_{(\Omega, r)}.
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