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Ch. 2
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Ch. 3
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Ch. 4
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Ch. 5
Applications de la dérivation
Ch. 6
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Ch. 7
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Ch. 8
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Ch. 9
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Ch. 10
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Probabilités et statistiques
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Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 10
Cours 1
Équation de cercle
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Le plan est muni d'un repère orthonormé (\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}).
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AConnaissant le centre et le rayon
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Définition
On appelle cercle de centre \Omega et de rayon r > 0 l'ensemble des points \text{M} du plan qui sont à la distance r du centre. On le note \mathcal{C}_{(\Omega, r)}.
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Autrement dit, l'ensemble des points \text{M}(x \:; y) tel que \Omega \text{M} = r est le cercle \mathcal{C}_{(\Omega, r)}.
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Théorème
Soient a et b deux réels. Une équation du cercle de centre \Omega(a\: ; b) et de rayon r est (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.
On peut également écrire x^{2}+y^{2}-2 a x-2 b y+c=0 avec c=a^{2}+b^{2}-r^{2}.
On peut également écrire x^{2}+y^{2}-2 a x-2 b y+c=0 avec c=a^{2}+b^{2}-r^{2}.
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Démonstration
\mathrm{M}(x\: ; y) \in \mathcal{C}_{(\Omega ; r)} \Leftrightarrow \Omega \mathrm{M}^{2}=r^{2} Or, \Omega \text{M}=\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}} car le repère est orthonormé, d'où \Omega \text{M}^{2}=r^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}.
Il suffit de développer pour obtenir la deuxième formule.
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Exemple
Une équation du cercle de centre \text{A}(-1 \:; 3) et de rayon 2 est (x+1)^{2}+(y-3)^{2}=2^{2}.
En développant cette expression, on obtient x^{2}+2 x+y^{2}-6 y+6=0.
En développant cette expression, on obtient x^{2}+2 x+y^{2}-6 y+6=0.
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Si \alpha, \beta et \gamma sont des réels, alors x^2 + y^2 - 2\alpha x -2\beta y + \gamma = 0 est une équation d'un cercle à condition que \alpha^2 + \beta^2 - \gamma > 0 .
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Application et méthode
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Énoncé
Dans un repère orthonormé (\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}), on donne les points \text{A,} \text{B} et \text{C} comme sur le repère ci-contre.
Déterminer une équation du cercle inscrit dans le carré \text{OABC.}
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Il faut déterminer les éléments caractéristiques du cercle :
- les coordonnées du centre du cercle ;
- la longueur du rayon.
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Solution
Il faut déterminer les coordonnées du centre du cercle : il se trouve au milieu du segment \text{[OB].}
Comme \mathrm{O}(0\: ; 0) et \mathrm{B}(4 \:; 4), le centre \Omega a pour coordonnées \left(\dfrac{0+4}{2} \:; \dfrac{0+4}{2}\right) donc \Omega(2\: ; 2).
Le cercle passe par le point de coordonnées (2\: ; 4) donc le rayon est : \sqrt{(2-2)^{2}+(2-4)^{2}}=2.
Le cercle a pour équation : (x-2)^{2}+(y-2)^{2}=4.
Comme \mathrm{O}(0\: ; 0) et \mathrm{B}(4 \:; 4), le centre \Omega a pour coordonnées \left(\dfrac{0+4}{2} \:; \dfrac{0+4}{2}\right) donc \Omega(2\: ; 2).
Le cercle passe par le point de coordonnées (2\: ; 4) donc le rayon est : \sqrt{(2-2)^{2}+(2-4)^{2}}=2.
Le cercle a pour équation : (x-2)^{2}+(y-2)^{2}=4.
Pour s'entraîner
exercices
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BConnaissant un diamètre
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Propriété
Soient \text{A} et \text{B} deux points fixés. L'ensemble des points \text{M}(x\: ; y) du plan tel que \overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=0 est le cercle de diamètre \text{[AB].}
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Autrement dit : un triangle \text{MAB} est rectangle en \text{M} si et seulement si il est inscrit dans le cercle de diamètre \text{[AB].}
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Démonstration
\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=0 \Leftrightarrow\left(x-x_{\mathrm{A}}\right)\left(x-x_{\mathrm{B}}\right)+\left(y-y_{\mathrm{A}}\right)\left(y-y_{\mathrm{B}}\right)=0
soit, en développant, x^{2}-x_{\mathrm{A}} x-x_{\mathrm{B}} x+x_{\mathrm{A}} x_{\mathrm{B}}+y^{2}-y_{\mathrm{A}} y-y_{\mathrm{B}} y+y_{\mathrm{A}} y_{\mathrm{B}}=0.
Ainsi, x^{2}-2 \times \dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}}{2} \times x+y^{2}-2 \times \dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}}{2} \times y+x_{\mathrm{A}} x_{\mathrm{B}}+y_{\mathrm{A}} y_{\mathrm{B}}=0,
On obtient \left(x-\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}}{2}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}}{2}\right)^{2}=\dfrac{\left(x_{\mathrm{A}}-x_{\mathrm{B}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{A}}-y_{\mathrm{B}}\right)^{2}}{4}
soit \left(x-\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}}{2}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}}{2}\right)^{2}=\left(\dfrac{\mathrm{AB}}{2}\right)^{2} qui est bien une équation de cercle de diamètre \text{[AB].}
soit, en développant, x^{2}-x_{\mathrm{A}} x-x_{\mathrm{B}} x+x_{\mathrm{A}} x_{\mathrm{B}}+y^{2}-y_{\mathrm{A}} y-y_{\mathrm{B}} y+y_{\mathrm{A}} y_{\mathrm{B}}=0.
Ainsi, x^{2}-2 \times \dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}}{2} \times x+y^{2}-2 \times \dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}}{2} \times y+x_{\mathrm{A}} x_{\mathrm{B}}+y_{\mathrm{A}} y_{\mathrm{B}}=0,
On obtient \left(x-\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}}{2}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}}{2}\right)^{2}=\dfrac{\left(x_{\mathrm{A}}-x_{\mathrm{B}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{A}}-y_{\mathrm{B}}\right)^{2}}{4}
soit \left(x-\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}}{2}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}}{2}\right)^{2}=\left(\dfrac{\mathrm{AB}}{2}\right)^{2} qui est bien une équation de cercle de diamètre \text{[AB].}
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x^{2}-2 a x est le début de l'identité remarquable (x-a)^2=x^{2}-2 a x+a^{2}, donc x^2 - 2ax = (x-a)^2 -a^2.
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Exemple
Soient \text{A}(1 \:; 3) et \text{B}(-3 \:; 1). Le cercle \mathcal{C} de diamètre \text{[AB]} est l'ensemble des points \text{M}(x\: ; y) tel que \overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=0. On a \overrightarrow{\mathrm{MA}}\begin{pmatrix}{x-1} \\ {y-3}\end{pmatrix} et \overrightarrow{\mathrm{MB}}\begin{pmatrix}{x+3} \\ {y-1}\end{pmatrix} donc \overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=(x-1)(x+3)+(y-3)(y-1).
On obtient alors x^{2}+2 x-3+y^{2}-4 x+3=0, et ainsi (x+1)^{2}-1+(y-2)^{2}-4=0.
\mathcal{C} est donc le cercle de centre \Omega(-1 \: ; 2) et de rayon \sqrt{5}.
On obtient alors x^{2}+2 x-3+y^{2}-4 x+3=0, et ainsi (x+1)^{2}-1+(y-2)^{2}-4=0.
\mathcal{C} est donc le cercle de centre \Omega(-1 \: ; 2) et de rayon \sqrt{5}.
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Application et méthode
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Énoncé Déterminer un cercle à partir d'une équation
L'ensemble des points \text{M}(x\: ; y) vérifiant l'équation x^{2}+y^{2}+3 x+y-\dfrac{93}{2}=0 est un cercle.
Déterminer son centre ainsi que son rayon.
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Pour obtenir les coordonnées du centre et le rayon du cercle donné par une équation développée, il faut :
- écrire l'équation sous la forme x^{2}-2 a x+y^{2}-2 b y+c=0 ;
- considérer x^{2}-2 a x \text { et } y^{2}-2 b y comme le début de (x-a)^2 et (y-b)^2 ;
- remplacer dans l'équation ces termes en pensant à enlever le terme constant ;
- ajouter les constantes entre elles.
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Solution
On démontre que x^{2}+3 x=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\dfrac{9}{4} et y^{2}+y=\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{4}.
On a alors \left(x+\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\dfrac{9}{4}+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{93}{2}=0 d'où \left(x+\dfrac{3}{2}\right)^{2}+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^{2}-49=0.
Le cercle a donc pour centre \Omega\left(-\dfrac{3}{2}\: ;-\dfrac{1}{2}\right) et pour rayon r=\sqrt{49}=7.
On a alors \left(x+\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\dfrac{9}{4}+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{93}{2}=0 d'où \left(x+\dfrac{3}{2}\right)^{2}+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^{2}-49=0.
Le cercle a donc pour centre \Omega\left(-\dfrac{3}{2}\: ;-\dfrac{1}{2}\right) et pour rayon r=\sqrt{49}=7.
Pour s'entraîner
exercices et
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CIntersection d'un cercle avec une droite parallèle à un axe
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Propriété
Un cercle et une droite parallèle à un axe du repère ont 0 ; 1 ou 2 points d'intersection.
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Une droite parallèle à l'axe des abscisses a pour équation y = b et une droite parallèle à l'axe des ordonnées a pour équation x = a .
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Démonstration
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Exemple
Le cercle de centre \text{O} et de rayon 1 coupe chacun des axes du repère en deux points.
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Application et méthode
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Énoncé
Soit le cercle d'équation x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0 et la droite d'équation x = -1 .
Déterminer leurs éventuels points d'intersection.
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On remplace la valeur donnée par l'équation de la droite dans l'équation du cercle et on résout l'équation du second degré obtenue.
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Solution
Si x = -1 , on a alors (-1)^2 + y^2 + 4 + 2y - 4 = 0 , ce qui revient à y^2 + 2y + 1 = 0 , soit encore (y + 1)^2 = 0 , ce qui donne pour unique solution y = -1 . Le point d'intersection a pour coordonnées (-1 \: ; - 1).
Pour s'entraîner
exercices
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Oups, une coquille
j'ai une idée !
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YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah