Équation de cercle

Soient $a$ et $b$ deux réels. Une équation du cercle de centre $\Omega (a;b)$ et de rayon $r$ est $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2.$
On peut également écrire $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ avec $c=a^2+b^2-r^2.$

$\mathrm{M}(x;y)\in {\mathcal{C}}_{(\Omega ;r)}\iff \Omega {\mathrm{M}}^2=r^2$ Or, $\Omega \text{M}=\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}$ car le repère est orthonormé, d'où $\Omega {\text{M}}^2=r^2=(x-a{)}^2+(y-b{)}^2.$
Il suffit de développer pour obtenir la deuxième formule.

Il faut déterminer les éléments caractéristiques du cercle :

• les coordonnées du centre du cercle ;
• la longueur du rayon.

Il faut déterminer les coordonnées du centre du cercle : il se trouve au milieu du segment $\text{[OB].}$
Comme $\mathrm{O}(0;0)$ et $\mathrm{B}(4;4)$, le centre $\Omega$ a pour coordonnées $\left(\frac{0+4}{2};\frac{0+4}{2}\right)$ donc $\Omega (2;2).$
Le cercle passe par le point de coordonnées $(2;4)$ donc le rayon est : $\sqrt{(2-2{)}^2+(2-4{)}^2}=2.$
Le cercle a pour équation : $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=4.$


exercices

21 à 23 p. 267

Autrement dit : un triangle $\text{MAB}$ est rectangle en $\text{M}$ si et seulement si il est inscrit dans le cercle de diamètre $\text{[AB].}$

$x^2-2ax$ est le début de l'identité remarquable $(x-a{)}^2=x^2-2ax+a^2,$ donc $x^2-2ax=(x-a{)}^2-a^2.$

Soient $\text{A}(1;3)$ et $\text{B}(-3;1).$ Le cercle $\mathcal{C}$ de diamètre $\text{[AB]}$ est l'ensemble des points $\text{M}(x;y)$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{MA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=0.$ On a $\overrightarrow{\mathrm{MA}}\left(\begin{array}{c}x-1\\ y-3\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\mathrm{MB}}\left(\begin{array}{c}x+3\\ y-1\end{array}\right)$ donc $\overrightarrow{\mathrm{MA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=(x-1)(x+3)+(y-3)(y-1).$
On obtient alors $x^2+2x-3+y^2-4x+3=0,$ et ainsi $(x+1{)}^2-1+(y-2{)}^2-4=0.$
$\mathcal{C}$ est donc le cercle de centre $\Omega (-1;2)$ et de rayon $\sqrt{5}.$

On démontre que $x^2+3x={\left(x+\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{9}{4}$ et $y^2+y={\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}.$
On a alors ${\left(x+\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{9}{4}+{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}-\frac{93}{2}=0$ d'où ${\left(x+\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2-49=0.$
Le cercle a donc pour centre $\Omega \left(-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$ et pour rayon $r=\sqrt{49}=7.$

exercices

24 p. 267

et

34 p. 268

Voir

exercice transversal

33

p. 344.

Le cercle de centre $\text{O}$ et de rayon $1$ coupe chacun des axes du repère en deux points.

Si $x=-1,$ on a alors $(-1{)}^2+y^2+4+2y-4=0,$ ce qui revient à $y^2+2y+1=0,$ soit encore $(y+1{)}^2=0,$ ce qui donne pour unique solution $y=-1.$ Le point d'intersection a pour coordonnées $(-1;-1).$

exercices

25 p. 267