Exercices de Synthèse - Objectif BAC

Partie A :
1. Montrer que $\mathrm{M}\in \mathcal{L}$ si et seulement si $(\overrightarrow{\mathrm{MA}}-3\overrightarrow{\mathrm{MB}})\cdot (\overrightarrow{\mathrm{MA}}+3\overrightarrow{\mathrm{MB}})=0.$

2. Trouvons deux points particuliers.
a. Quelles sont les coordonnées du point $\text{I}$ défini par $\overrightarrow{\mathrm{IA}}-3\overrightarrow{\mathrm{IB}}=\overrightarrow{0}$ ?

b. Même question pour le point $\text{J}$ défini par $\overrightarrow{\mathrm{JA}}+3\overrightarrow{\mathrm{JB}}=\overrightarrow{0}.$

3. En déduire que $\mathrm{M}\in \mathcal{L}$ si et seulement si $\overrightarrow{\mathrm{MI}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MJ}}=0.$

4. Déterminer $\mathcal{L}$ et le construire.

Partie B :
Dans cette partie, on note $(x;y)$ les coordonnées du point $\text{M.}$

1. Écrire les longueurs $\text{MA}$ et $\text{MB}$ en fonction de $x$ et de $y.$

2. Justifier que $\mathrm{M}\in \mathcal{L}$ si et seulement si $x^2+y^2-5x-11y+32=0.$

3. En déduire la nature du lieu $\mathcal{L}$ et ses éléments caractéristiques.

Puissance d'un point par rapport à un cercle.
On donne un cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega$ et de rayon $\text{R.}$
On appelle puissance du point $\text{M}$ par rapport à $\mathcal{C}$ le nombre réel $\Omega {\text{M}}^2-{\text{R}}^2.$

Partie A :


Tous les points marqués dans la figure sont à coordonnées entières.

1. Montrer que les points $\text{A,}$ $\text{B,}$ $\text{C}$ et $\text{D}$ appartiennent à un même cercle de centre $\Omega .$

2. Calculer les produits scalaires suivants.
a. $\overrightarrow{\mathrm{MA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}$

b. $\overrightarrow{\mathrm{MC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MD}}$

3. Calculer $\Omega {\text{M}}^2-{\text{R}}^2.$

4. Que remarque-t-on ?

Partie B :
Le but de cette partie est de généraliser le résultat obtenu précédemment.
Prenons un point $\text{A}$ sur le cercle et $\text{B}$ le deuxième point d'intersection de $\text{(AM)}$ avec le cercle.
1. On construit le point ${\text{A}}^{\prime }$ diamétralement opposé à $\text{A}.$
a. Que peut-on dire du triangle ${\text{MBA}}^{\prime }$ ?

b. Exprimer $\overrightarrow{\Omega \text{A}}$ en fonction de $\overrightarrow{\Omega {\text{A}}^{\prime }}.$

2. Justifier pourquoi $\overrightarrow{\mathrm{MA}}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{MA}}^{\prime }}=\overrightarrow{\mathrm{MA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}.$

3. En utilisant le point $\Omega$ dans l'expression obtenue précédemment, démontrer que $\overrightarrow{\mathrm{MA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=\mathrm{M}{\Omega }^2-{\mathrm{R}}^2.$

Partie C : Soit $\text{T}$ un point tel que $\text{(MT)}$ soit tangente au cercle.
Prouver que ${\text{MT}}^2$ est égal à la puissance de $\text{M}$ par rapport au cercle.

1. Réaliser une figure.

2. Montrer que les droites $\text{(AE),}$ $\text{(BD)}$ et $\text{(CF)}$ sont concourantes et que leur point d'intersection est le centre de gravité du triangle $\text{ABC.}$

Les points de Lagrange.
Quand deux astres tournent l'un autour de l'autre, il existe des points spéciaux pour lesquels les forces exercées en ces points se compensent. Un objet situé sur un de ces points reste immobile par rapport aux deux astres. Ces points font partie des points de Lagrange.
On appelle $\text{A}$ et $\text{B}$ les positions des deux planètes dans un repère orthonormé et on suppose que la planète $\text{A}$ est cinq fois plus lourde que la planète $\text{B.}$ On note $\text{O}$ le point défini par $5\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{0}$ ainsi que $r_1$ et $r_2$ les distances $\text{AM}$ et $\text{BM.}$
On cherche le lieu des points $\text{M}$ qui vérifie :
$\frac{5}{r_1^3}\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\frac{1}{r_2^3}\overrightarrow{\mathrm{BM}}=\frac{6}{{\mathrm{AB}}^3}\overrightarrow{\mathrm{OM}}.$
Cette relation exprime l'équilibre entre l'attraction par la planète $\text{A,}$ l'attraction par la planète $\text{B}$ et la force centrifuge ressentie par l'objet à cause de la rotation autour du point $\text{O.}$


On suppose que $\text{M}$ n'est pas sur la droite $\text{(AB),}$ ni sur sa perpendiculaire passant par $\text{O}$ que l'on notera $d.$

1. En utilisant le point $\text{O}$ dans la relation vectorielle précédente, montrer que l'on a :
$5\left(\frac{1}{r_1^3}-\frac{1}{r_2^3}\right)\overrightarrow{\mathrm{AO}}=\left(\frac{6}{{\mathrm{AB}}^3}-\frac{5}{r_1^3}-\frac{1}{r_2^3}\right)\overrightarrow{\mathrm{OM}}$

2. On appelle ${\text{M}}^{\prime }$ un point tel que ${\text{OMM}}^{\prime }$ soit un triangle rectangle isocèle en $\text{O}.$ En calculant le produit scalaire de la relation trouvée dans la question précédente avec $\overrightarrow{{\text{OM}}^{\prime }},$ montrer que $\frac{1}{r_1^3}-\frac{1}{r_2^3}=0.$

3. On appelle $\text{H}$ le projeté orthogonal de $\text{M}$ sur $d.$
En calculant le produit scalaire de la relation trouvée en 1. avec $\overrightarrow{\text{OH}},$ montrer que $\frac{6}{{\mathrm{AB}}^3}-\frac{5}{r_1^3}-\frac{1}{r_2^3}=0.$

4. En déduire alors que $\frac{1}{{\mathrm{AB}}^3}=\frac{1}{r_1^3}.$

5. Quelles sont finalement les positions possibles pour $\text{M}$ ?

1. a. Démontrer que pour tout point $\text{M}$ du plan :
${\mathrm{MA}}^2={\mathrm{MG}}^2+{\mathrm{GA}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{MG}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GA}}.$

b. Retrouver des relations analogues pour ${\mathrm{MB}}^2$ et ${\mathrm{MC}}^2.$

2. Prouver alors que :
${\mathrm{MA}}^2+{\mathrm{MB}}^2+{\mathrm{MC}}^2=3{\mathrm{MG}}^2+{\mathrm{GA}}^2+{\mathrm{GB}}^2+{\mathrm{GC}}^2.$

3. a. Justifier que ${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2=4{\mathrm{GA}}^2+{\mathrm{GB}}^2+{\mathrm{GC}}^2.$

b. Déterminer de même ${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2$ et ${\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{BC}}^2.$

c. Justifier que ${\mathrm{GA}}^2+{\mathrm{GB}}^2+{\mathrm{GC}}^2=3\left(r^2-\Omega {\mathrm{G}}^2\right).$

4. À quelle condition le nombre ${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AC}}^2$ est-il maximal ?

On se place dans un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).$ On donne le programme suivant.

def Bary(x1, y1, x2, y2):
  x = x1/2 + x2/2
  y = (y1 + y2)/2
  return(x, y)

1. Exécuter le programme pour les points $\text{A}(2;3)$ et $\text{B}(4;-1).$ Quel résultat obtient-on ?

2. À quoi correspondent les valeurs $x$ et $y$ retournées par le programme ?

3. Transformer le programme pour qu'il retourne les coordonnées du centre de gravité d'un triangle.

4. Le centre de gravité $\text{G}$ d'un quadrilatère $\text{ABCD}$ est défini par $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}+\overrightarrow{\mathrm{GD}}=\overrightarrow{0}.$
a. Démontrer que $\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}).$

b. Déterminer les coordonnées de $\text{G}$ en fonction de celles des points $\text{A,}$ $\text{B,}$ $\text{C}$ et $\text{D.}$

c. Transformer à nouveau le programme pour qu'il retourne les coordonnées du centre de gravité d'un quadrilatère.

1. Faire une figure et émettre une conjecture sur le nombre de solutions en fonction du paramètre $k.$

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2. Nous allons démontrer ce résultat.
a. Dans l'équation donnée de $\mathcal{C},$ remplacer $y$ par $2x+k.$

b. Montrer alors que l'équation peut s'écrire :
$5{\left(x+\frac{2}{5}k-2\right)}^2+\frac{1}{5}{k}^2-2k=0$

c. Quelle condition doit-on avoir sur $k$ pour que cette équation ait au moins une solution dans $\mathbb{R}$ ?

1. Une conjecture :
a. Faire une figure sur papier ou avec un logiciel de géométrie.

b. Quelle conjecture peut-on faire sur les points $\text{O,}$ $\text{G}$ et $\text{H}$ ?

2. Un résultat intermédiaire :
Appelons $\text{K}$ le point du plan tel que $\overrightarrow{\mathrm{OK}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}.$
a. Justifier que $\overrightarrow{\mathrm{OK}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{{\mathrm{OA}}^{\prime }}.$

b. En déduire que $\overrightarrow{\mathrm{AK}}=2\overrightarrow{{\mathrm{OA}}^{\prime }}.$

c. Conclure que $\text{K}$ est un point de la hauteur issue de $\text{A}$ et que $\text{K}=\text{H}.$

3. En utilisant le point $\text{G}$ dans la relation de la question 2., en déduire que $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=3\overrightarrow{\mathrm{OG}}.$

4. Conclure.
La droite $\text{(OH)}$ est appelée droite d'Euler.