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Synthèse - Objectif BAC





75
[Chercher.] ◉◉
Cercle d’Apollonius.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les points A(2;1)\mathrm{A}(-2\: ; 1) et B(2;5).\mathrm{B}(2\: ; 5).
On cherche à déterminer le lieu L\mathcal{L} des points M\text{M} distincts de B\text{B} tels que MAMB=3.\dfrac{\mathrm{MA}}{\mathrm{MB}}=3.
Partie A :
1. Montrer que ML\mathrm{M} \in \mathcal{L} si et seulement si (MA3MB)(MA+3MB)=0.(\overrightarrow{\mathrm{MA}}-3 \overrightarrow{\mathrm{MB}}) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{MA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{MB}})=0.

2. Trouvons deux points particuliers.
a. Quelles sont les coordonnées du point I\text{I} défini par IA3IB=0\overrightarrow{\mathrm{IA}}-3 \overrightarrow{\mathrm{IB}}=\overrightarrow{0} ?

b. Même question pour le point J\text{J} défini par JA+3JB=0.\overrightarrow{\mathrm{JA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{JB}}=\overrightarrow{0}.

3. En déduire que ML\mathrm{M} \in \mathcal{L} si et seulement si MIMJ=0.\overrightarrow{\mathrm{MI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MJ}}=0.

4. Déterminer L\mathcal{L} et le construire.


Partie B :
Dans cette partie, on note (x;y)(x\: ; y) les coordonnées du point M.\text{M.}
1. Écrire les longueurs MA\text{MA} et MB\text{MB} en fonction de xx et de y.y .

2. Justifier que ML\mathrm{M} \in \mathcal{L} si et seulement si x2+y25x11y+32=0.x^{2}+y^{2}-5 x-11 y+32=0.

3. En déduire la nature du lieu L\mathcal{L} et ses éléments caractéristiques.

Histoire des maths

Apollonius de Pergé

Apollonius de Pergé était un mathématicien, physicien et astronome en 190 avant J.‑C.. Il a étudié puis a enseigné à Alexandrie (Égypte).
Il s’est intéressé à de nombreux pans de la géométrie, comme les coniques, et a aussi étudié les cercles et les droites.
Pappus d’Alexandrie rapporte qu’on lui doit plusieurs résultats, comme le traité des contacts (aujourd’hui perdu) et en particulier le théorème de la médiane.

82
DÉMO
[Raisonner.]
On considère un cercle C\mathcal{C} de centre Ω\Omega et trois points A,\text{A,} B\text{B} et C\text{C} sur ce cercle.
On note rr la longueur du rayon du cercle et G\text{G} le centre de gravité du triangle ABC.\text{ABC.}
Le but de l’exercice est de trouver la nature du triangle ABC\text{ABC} de sorte que le nombre AB2+BC2+AC2\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{AC}^{2} soit maximal.
1. a. Démontrer que pour tout point M\text{M} du plan :
MA2=MG2+GA2+2MGGA.\mathrm{MA}^{2}=\mathrm{MG}^{2}+\mathrm{GA}^{2}+2 \overrightarrow{\mathrm{MG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{GA}}.

b. Retrouver des relations analogues pour MB2\mathrm{MB}^{2} et MC2.\mathrm{MC}^{2}.

2. Prouver alors que :
MA2+MB2+MC2=3MG2+GA2+GB2+GC2.\mathrm{MA}^{2}+\mathrm{MB}^{2}+\mathrm{MC}^{2}=3 \mathrm{MG}^{2}+\mathrm{GA}^{2}+\mathrm{GB}^{2}+\mathrm{GC}^{2}.

3. a. Justifier que AB2+AC2=4GA2+GB2+GC2.\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=4 \mathrm{GA}^{2}+\mathrm{GB}^{2}+\mathrm{GC}^{2}.

b. Déterminer de même AB2+BC2\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2} et AC2+BC2.\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}.

c. Justifier que GA2+GB2+GC2=3(r2ΩG2).\mathrm{GA}^{2}+\mathrm{GB}^{2}+\mathrm{GC}^{2}=3\left(r^{2}-\Omega \mathrm{G}^{2}\right).

4. À quelle condition le nombre AB2+BC2+AC2\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{AC}^{2} est-il maximal ?

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 34 ; 47 ; 61 ; 64 et 73
◉◉ Parcours 2 : exercices 41 ; 50 ; 68 ; 72 et 75
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 44 ; 55 ; 71 ; 79 et 81

Club de Maths


86
ÉNIGME

On se donne un cercle C\mathcal{C} dont ne connaît pas le centre et un point A\text{A} sur ce cercle.
Comment placer le point diamétralement opposé à A\text{A} en n’utilisant que la règle et le compas ?

87
DÉFI

ABC\text{ABC} est un triangle équilatéral de côté 1.1.
On construit le point D\text{D} tel que ABCD\text{ABCD} soit un parallélogramme. Les points E\text{E} et F\text{F} sont tels que AD=DE\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{DE}} et BC=CF.\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{CF}}.
K\text{K} est le point d’intersection des droites (BE)\text{(BE)} et (DC).\text{(DC).}

Configurations géométriques - synthèse

Déterminer la mesure de l’angle EBF^.\widehat{\mathrm{EBF}}.

88
CASSE-TÊTE

Monsieur Seguin a attaché sa chèvre à un piquet dans un champ rectangulaire ABCD.\text{ABCD.} Son piquet P\text{P} est situé à 14 m du coin A,\text{A,} à 22 m du coin C\text{C} et à 10 m du coin D.\text{D.} La chèvre peut s’éloigner de 30 m du piquet.
Peut-elle atteindre le coin B\text{B} du champ ?

Configurations géométriques - synthèse


85
APPROFONDISSEMENT

Dans un triangle ABC,\text{ABC,} on nomme :
  • C\mathcal{C} le cercle circonscrit de centre O\text{O} ;
  • G\text{G} le centre de gravité ;
  • H\text{H} l’orthocentre ;
  • A,\text{A}', B\text{B}' et C\text{C}' les milieux respectifs des côtés [BC],\text{[BC],} [AC]\text{[AC]} et [AB].\text{[AB].}
1. Une conjecture :
a. Faire une figure sur papier ou avec un logiciel de géométrie.

Lancer le module Geogebra
b. Quelle conjecture peut-on faire sur les points O,\text{O,} G\text{G} et H\text{H} ?


2. Un résultat intermédiaire :
Appelons K\text{K} le point du plan tel que OK=OA+OB+OC.\overrightarrow{\mathrm{OK}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}.
a. Justifier que OK=OA+2OA.\overrightarrow{\mathrm{OK}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{OA}^{\prime}}.

b. En déduire que AK=2OA.\overrightarrow{\mathrm{AK}}=2 \overrightarrow{\mathrm{OA}^{\prime}}.

c. Conclure que K\text{K} est un point de la hauteur issue de A\text{A} et que K=H.\text{K} = \text{H}.

3. En utilisant le point G\text{G} dans la relation de la question 2., en déduire que OH=3OG.\overrightarrow{\mathrm{OH}}=3 \overrightarrow{\mathrm{OG}}.

4. Conclure.
La droite (OH)\text{(OH)} est appelée droite d’Euler.

83
[Calculer.]
On se place dans un repère orthonormé (O;i,j).(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}). On donne le programme suivant.

def Bary(x1, y1, x2, y2):
  x = x1/2 + x2/2
  y = (y1 + y2)/2
  return(x, y)

1. Exécuter le programme pour les points A(2;3)\text{A}(2\: ; 3) et B(4;1).\text{B}(4\: ; - 1). Quel résultat obtient-on ?

2. À quoi correspondent les valeurs xx et yy retournées par le programme ?

3. Transformer le programme pour qu’il retourne les coordonnées du centre de gravité d’un triangle.

4. Le centre de gravité G\text{G} d’un quadrilatère ABCD\text{ABCD} est défini par GA+GB+GC+GD=0.\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}+\overrightarrow{\mathrm{GD}}=\overrightarrow{0}.
a. Démontrer que OG=14(OA+OB+OC+OD).\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}).

b. Déterminer les coordonnées de G\text{G} en fonction de celles des points A,\text{A,} B,\text{B,} C\text{C} et D.\text{D.}

c. Transformer à nouveau le programme pour qu’il retourne les coordonnées du centre de gravité d’un quadrilatère.

79
[Raisonner.] ◉◉◉
Exemples de lignes de niveau.
Une ligne de niveau est l’ensemble des points vérifiant une relation du type f(M)=kf(\mathrm{M})=kkR. k \in \mathbb{R}.
On considère deux points distincts A\text{A} et B\text{B} du plan.
On note I\text{I} le milieu du segment [AB].\text{[AB].}

1. Premier exemple :
On s’intéresse à l’ensemble (E1)(\text{E}_1) des points M\text{M} du plan tel que MA2+MB2=k.\mathrm{MA}^{2}+\mathrm{MB}^{2}=k. Utiliser le théorème de la médiane afin de trouver l’ensemble des valeurs possibles de kk et la nature de (E1)(\text{E}_1) qui en découle.


2. Deuxième exemple :
On s’intéresse à l’ensemble (E2)(\text{E}_2) des points M\text{M} du plan tel que MA2MB2=k.\mathrm{MA}^{2}-\mathrm{MB}^{2}=k. Trouver l’ensemble des valeurs possibles de kk et la nature de (E2)(\text{E}_2) qui en découle.


3. Troisième exemple :
On s’intéresse à l’ensemble (E3)(\text{E}_3) des points M\text{M} du plan tel que MAMB=k.\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=k. Trouver l’ensemble des valeurs possibles de kk et la nature de (E3)(\text{E}_3) qui en découle.

74
[Représenter.]
Le plan est muni d’un repère orthonormé. Sur un cercle C\mathcal{C} de centre O,\text{O,} on pose deux points fixes B\text{B} et C\text{C} et un point A\text{A} mobile sur le cercle.
On note G\text{G} le centre de gravité du triangle ABC\text{ABC} et M\text{M} le milieu du segment [BC].\text{[BC].}
1. Exprimer le vecteur MG\overrightarrow{\mathrm{MG}} en fonction du vecteur MA.\overrightarrow{\mathrm{MA}}. On construit le point Ω\Omega tel que MΩ=13MO.\overrightarrow{\mathrm{M} \Omega}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{MO}}.

2. Exprimer le vecteur ΩG\overrightarrow{\Omega \text{G}} en fonction du vecteur OA.\overrightarrow{\mathrm{OA}}. Que peut-on dire de la longueur ΩG\Omega \text{G} quand A\text{A} parcours le cercle C\mathcal{C} ?

3. Quel est le lieu du point G\text{G} lorsque A\text{A} parcourt C\mathcal{C} ?

76
[Chercher.]
Le plan est muni d’un repère orthonormé. On donne un cercle de centre Ω\Omega qui passe par un point A\text{A} fixé. On place un point B\text{B} libre sur ce cercle. On note M\text{M} le milieu de [AB].[\text{AB}].
Quel est le lieu géométrique décrit par M\text{M} lorsque B\text{B} parcourt le cercle ?

80
[Représenter.]
On donne trois points du plan non alignés A,\text{A,} B\text{B} et C.\text{C.}
On construit les points D,\text{D,} E\text{E} et F\text{F} de façon à ce que les quadrilatères ABCD,\text{ABCD,} ACBF\text{ACBF} et BACE\text{BACE} soient des parallélogrammes.
1. Réaliser une figure.

Lancer le module Geogebra
2. Montrer que les droites (AE),\text{(AE),} (BD)\text{(BD)} et (CF)\text{(CF)} sont concourantes et que leur point d’intersection est le centre de gravité du triangle ABC.\text{ABC.}

81
EN PHYSIQUE
[Modéliser.] ◉◉◉
Les points de Lagrange.
Quand deux astres tournent l’un autour de l’autre, il existe des points spéciaux pour lesquels les forces exercées en ces points se compensent. Un objet situé sur un de ces points reste immobile par rapport aux deux astres. Ces points font partie des points de Lagrange.
On appelle A\text{A} et B\text{B} les positions des deux planètes dans un repère orthonormé et on suppose que la planète A\text{A} est cinq fois plus lourde que la planète B.\text{B.} On note O\text{O} le point défini par 5OA+OB=05\overrightarrow{\text{OA}} +\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{0} ainsi que r1r_1 et r2r_2 les distances AM\text{AM} et BM.\text{BM.}
On cherche le lieu des points M\text{M} qui vérifie :
5r13AM+1r23BM=6AB3OM.\dfrac{5}{r_{1}^{3}} \overrightarrow{\mathrm{AM}}+\dfrac{1}{r_{2}^{3}} \overrightarrow{\mathrm{BM}}=\dfrac{6}{\mathrm{AB}^{3}} \overrightarrow{\mathrm{OM}}.
Cette relation exprime l’équilibre entre l’attraction par la planète A,\text{A,} l’attraction par la planète B\text{B} et la force centrifuge ressentie par l’objet à cause de la rotation autour du point O.\text{O.}

Configurations géométriques - synthèse

On suppose que M\text{M} n’est pas sur la droite (AB),\text{(AB),} ni sur sa perpendiculaire passant par O\text{O} que l’on notera d.d .
1. En utilisant le point O\text{O} dans la relation vectorielle précédente, montrer que l’on a :
5(1r131r23)AO=(6AB35r131r23)OM5\left(\dfrac{1}{r_{1}^{3}}-\dfrac{1}{r_{2}^{3}}\right) \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\left(\dfrac{6}{\mathrm{AB}^{3}}-\dfrac{5}{r_{1}^{3}}-\dfrac{1}{r_{2}^{3}}\right) \overrightarrow{\mathrm{OM}}

2. On appelle M\text{M}' un point tel que OMM\text{OMM}' soit un triangle rectangle isocèle en O.\text{O}. En calculant le produit scalaire de la relation trouvée dans la question précédente avec OM,\overrightarrow{\text{OM}'}, montrer que 1r131r23=0.\dfrac{1}{r_{1}^{3}}-\dfrac{1}{r_{2}^{3}}=0.

3. On appelle H\text{H} le projeté orthogonal de M\text{M} sur d.d .
En calculant le produit scalaire de la relation trouvée en 1. avec OH,\overrightarrow{\text{OH}}, montrer que 6AB35r131r23=0.\dfrac{6}{\mathrm{AB}^{3}}-\dfrac{5}{r_{1}^{3}}-\dfrac{1}{r_{2}^{3}}=0.

4. En déduire alors que 1AB3=1r13.\dfrac{1}{\mathrm{AB}^{3}}=\dfrac{1}{r_{1}^{3}}.

5. Quelles sont finalement les positions possibles pour M\text{M} ?


Soleil, Terre - configurations géométriques synthèse

84
[Chercher.]
On donne le cercle C\mathcal{C} dont l’équation est x2+y210y+20=0.x^{2}+y^{2}-10 y+20=0.
On s’intéresse au nombre de points d’intersection du cercle C\mathcal{C} avec les droites d’équation y=2x+ky = 2x + kkR.k \in \R .
1. Faire une figure et émettre une conjecture sur le nombre de solutions en fonction du paramètre k.k .

Lancer le module Geogebra

2. Nous allons démontrer ce résultat.
a. Dans l’équation donnée de C,\mathcal{C}, remplacer yy par 2x+k.2x + k .

b. Montrer alors que l’équation peut s’écrire :
5(x+25k2)2+15k22k=05\left(x+\dfrac{2}{5} k-2\right)^{2}+\dfrac{1}{5} k^{2}-2 k=0

c. Quelle condition doit-on avoir sur kk pour que cette équation ait au moins une solution dans R\R ?

72
DÉMO
[Raisonner.] ◉◉
On souhaite démontrer la formule d’Al-Kashi qui dit que, dans un triangle ABC\text{ABC} quelconque,
BC2=AB2+AC22×AB×AC×cos(BAC^).\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}-2 \times \mathrm{AB} \times \mathrm{AC} \times \cos (\widehat{\mathrm{BAC}}).
1. On rappelle que BC2=BC2,\mathrm{BC}^{2}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}^{2}, démontrer que BC2=BA2+2BAAC+AC2.\mathrm{BC}^{2}=\overrightarrow{\mathrm{BA}}^{2}+2 \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}^{2}.

2. Déterminer une expression de ABAC\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} et, en utilisant la question précédente, retrouver alors la formule d’Al-Kashi.

73
[Calculer.] ◉◉
Dans un triangle ABC\text{ABC} rectangle en C,\text{C,} on note M\text{M} le milieu de [AB].\text{[AB].} On pose MB=α.\text{MB} = \alpha .

Configurations géométriques Synthèse - Objectif BAC

1. a. Exprimer la longueur AB\text{AB} en fonction de α.\alpha .

b. Justifier que CM=α.\text{CM} = \alpha .

2. a. En utilisant le théorème de la médiane, déterminer une expression de CA2+CB2.\mathrm{CA}^{2}+\mathrm{CB}^{2}.

b. Quel théorème retrouve-t-on ainsi ?

Démonstration au programme


77
[Raisonner.]
Puissance d’un point par rapport à un cercle.
On donne un cercle C\mathcal{C} de centre Ω\Omega et de rayon R.\text{R.}
On appelle puissance du point M\text{M} par rapport à C\mathcal{C} le nombre réel ΩM2R2.\Omega \text{M}^{2}-\text{R}^{2}.
Partie A :

Configurations géométriques - Synthèse

Tous les points marqués dans la figure sont à coordonnées entières.
1. Montrer que les points A,\text{A,} B,\text{B,} C\text{C} et D\text{D} appartiennent à un même cercle de centre Ω.\Omega.

2. Calculer les produits scalaires suivants.
a. MAMB\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}

b. MCMD\overrightarrow{\mathrm{MC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MD}}

3. Calculer ΩM2R2.\Omega \text{M}^{2}-\text{R}^{2}.

4. Que remarque-t-on ?


Partie B :
Le but de cette partie est de généraliser le résultat obtenu précédemment.
Prenons un point A\text{A} sur le cercle et B\text{B} le deuxième point d’intersection de (AM)\text{(AM)} avec le cercle.
1. On construit le point A\text{A}' diamétralement opposé à A.\text{A}.
a. Que peut-on dire du triangle MBA\text{MBA}' ?

b. Exprimer ΩA\overrightarrow{\Omega \text{A}} en fonction de ΩA.\overrightarrow{\Omega \text{A}'}.

2. Justifier pourquoi MAMA=MAMB.\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MA}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}.

3. En utilisant le point Ω\Omega dans l’expression obtenue précédemment, démontrer que MAMB=MΩ2R2.\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=\mathrm{M} \Omega^{2}-\mathrm{R}^{2}.


Partie C : Soit T\text{T} un point tel que (MT)\text{(MT)} soit tangente au cercle.
Prouver que MT2\text{MT}^2 est égal à la puissance de M\text{M} par rapport au cercle.

78
[Chercher.]
Une échelle est posée contre un mur et son pied glisse le long du sol sans que le haut de l’échelle ne se décolle du mur. On veut savoir quel lieu géométrique parcourt le milieu I\text{I} de l’échelle.
Une conjecture de ce lieu a été faite dans le TP1 p. 264.
Dans un repère orthonormé (O;i,j),(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}), l’axe des abscisses représente le sol et celui des ordonnées le mur.
On note A\text{A} le point du sol où se trouve le pied de l’échelle et B\text{B} le point du mur où se trouve le haut de l’échelle.

1. On pose A(x;0)\text{A}(x\: ; 0) et on note hh la hauteur de l’échelle. Quelles sont les valeurs que peut prendre xx ?

2. Calculer les coordonnées de B\text{B} puis celles de I.\text{I.}

3. Calculer la longueur OI.\text{OI.}

4. Déterminer une équation du cercle de centre O\text{O} et de rayon h2.\dfrac{h}{2}.

5. Montrer que I\text{I} appartient à ce cercle.

6. Qu’en déduit-on pour le lieu géométrique ?
On pensera à prendre en compte les valeurs des coordonnées de A\text{A} et de B.\text{B.}

Dans la vie professionnelle

Dans le domaine de la physique, il est intéressant de situer un objet dans l’espace.

Rouages

L’ingénieur(e) en mécanique a, parmi ses missions, la gestion de la conception d’un assemblage mécanique du début du processus (prototype, etc.) jusqu’à la fin (implantation sur le marché, développement futur, etc.). Selon les assemblages, le produit scalaire peut donc devenir nécessaire.
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