Synthèse - Objectif BAC





75
[Chercher.] ◉◉
Cercle d’Apollonius.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les points A(2;1)\mathrm{A}(-2\: ; 1) et B(2;5).\mathrm{B}(2\: ; 5).
On cherche à déterminer le lieu L\mathcal{L} des points M\text{M} distincts de B\text{B} tels que MAMB=3.\dfrac{\mathrm{MA}}{\mathrm{MB}}=3.
Partie A :
1. Montrer que ML\mathrm{M} \in \mathcal{L} si et seulement si (MA3MB)(MA+3MB)=0.(\overrightarrow{\mathrm{MA}}-3 \overrightarrow{\mathrm{MB}}) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{MA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{MB}})=0.

2. Trouvons deux points particuliers.
a. Quelles sont les coordonnées du point I\text{I} défini par IA3IB=0\overrightarrow{\mathrm{IA}}-3 \overrightarrow{\mathrm{IB}}=\overrightarrow{0} ?

b. Même question pour le point J\text{J} défini par JA+3JB=0.\overrightarrow{\mathrm{JA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{JB}}=\overrightarrow{0}.

3. En déduire que ML\mathrm{M} \in \mathcal{L} si et seulement si MIMJ=0.\overrightarrow{\mathrm{MI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MJ}}=0.

4. Déterminer L\mathcal{L} et le construire.


Partie B :
Dans cette partie, on note (x;y)(x\: ; y) les coordonnées du point M.\text{M.}
1. Écrire les longueurs MA\text{MA} et MB\text{MB} en fonction de xx et de y.y .

2. Justifier que ML\mathrm{M} \in \mathcal{L} si et seulement si x2+y25x11y+32=0.x^{2}+y^{2}-5 x-11 y+32=0.

3. En déduire la nature du lieu L\mathcal{L} et ses éléments caractéristiques.

Histoire des maths

Apollonius de Pergé

Apollonius de Pergé était un mathématicien, physicien et astronome en 190 avant J.‑C.. Il a étudié puis a enseigné à Alexandrie (Égypte).
Il s’est intéressé à de nombreux pans de la géométrie, comme les coniques, et a aussi étudié les cercles et les droites.
Pappus d’Alexandrie rapporte qu’on lui doit plusieurs résultats, comme le traité des contacts (aujourd’hui perdu) et en particulier le théorème de la médiane.

82
DÉMO
[Raisonner.]
On considère un cercle C\mathcal{C} de centre Ω\Omega et trois points A,\text{A,} B\text{B} et C\text{C} sur ce cercle.
On note rr la longueur du rayon du cercle et G\text{G} le centre de gravité du triangle ABC.\text{ABC.}
Le but de l’exercice est de trouver la nature du triangle ABC\text{ABC} de sorte que le nombre AB2+BC2+AC2\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{AC}^{2} soit maximal.
1. a. Démontrer que pour tout point M\text{M} du plan :
MA2=MG2+GA2+2MGGA.\mathrm{MA}^{2}=\mathrm{MG}^{2}+\mathrm{GA}^{2}+2 \overrightarrow{\mathrm{MG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{GA}}.

b. Retrouver des relations analogues pour MB2\mathrm{MB}^{2} et MC2.\mathrm{MC}^{2}.

2. Prouver alors que :
MA2+MB2+MC2=3MG2+GA2+GB2+GC2.\mathrm{MA}^{2}+\mathrm{MB}^{2}+\mathrm{MC}^{2}=3 \mathrm{MG}^{2}+\mathrm{GA}^{2}+\mathrm{GB}^{2}+\mathrm{GC}^{2}.

3. a. Justifier que AB2+AC2=4GA2+GB2+GC2.\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=4 \mathrm{GA}^{2}+\mathrm{GB}^{2}+\mathrm{GC}^{2}.

b. Déterminer de même AB2+BC2\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2} et AC2+BC2.\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}.

c. Justifier que GA2+GB2+GC2=3(r2ΩG2).\mathrm{GA}^{2}+\mathrm{GB}^{2}+\mathrm{GC}^{2}=3\left(r^{2}-\Omega \mathrm{G}^{2}\right).

4. À quelle condition le nombre AB2+BC2+AC2\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{AC}^{2} est-il maximal ?

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 34 ; 47 ; 61 ; 64 et 73
◉◉ Parcours 2 : exercices 41 ; 50 ; 68 ; 72 et 75
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 44 ; 55 ; 71 ; 79 et 81

Club de Maths


86
ÉNIGME

On se donne un cercle C\mathcal{C} dont ne connaît pas le centre et un point A\text{A} sur ce cercle.
Comment placer le point diamétralement opposé à A\text{A} en n’utilisant que la règle et le compas ?

87
DÉFI

ABC\text{ABC} est un triangle équilatéral de côté 1.1.
On construit le point D\text{D} tel que ABCD\text{ABCD} soit un parallélogramme. Les points E\text{E} et F\text{F} sont tels que AD=DE\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{DE}} et BC=CF.\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{CF}}.
K\text{K} est le point d’intersection des droites (BE)\text{(BE)} et (DC).\text{(DC).}

Configurations géométriques - synthèse

Déterminer la mesure de l’angle EBF^.\widehat{\mathrm{EBF}}.

88
CASSE-TÊTE

Monsieur Seguin a attaché sa chèvre à un piquet dans un champ rectangulaire ABCD.\text{ABCD.} Son piquet P\text{P} est situé à 14 m du coin A,\text{A,} à 22 m du coin C\text{C} et à 10 m du coin D.\text{D.} La chèvre peut s’éloigner de 30 m du piquet.
Peut-elle atteindre le coin B\text{B} du champ ?

Configurations géométriques - synthèse


85
APPROFONDISSEMENT

Dans un triangle ABC,\text{ABC,} on nomme :
  • C\mathcal{C} le cercle circonscrit de centre O\text{O} ;
  • G\text{G} le centre de gravité ;
  • H\text{H} l’orthocentre ;
  • A,\text{A}', B\text{B}' et C\text{C}' les milieux respectifs des côtés [BC],\text{[BC],} [AC]\text{[AC]} et [AB].\text{[AB].}
1. Une conjecture :
a. Faire une figure sur papier ou avec un logiciel de géométrie.

Lancer le module Geogebra
b. Quelle conjecture peut-on faire sur les points O,\text{O,} G\text{G} et H\text{H} ?


2. Un résultat intermédiaire :
Appelons K\text{K} le point du plan tel que OK=OA+OB+OC.\overrightarrow{\mathrm{OK}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}.
a. Justifier que OK=OA+2OA.\overrightarrow{\mathrm{OK}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{OA}^{\prime}}.

b. En déduire que AK=2OA.\overrightarrow{\mathrm{AK}}=2 \overrightarrow{\mathrm{OA}^{\prime}}.

c. Conclure que K\text{K} est un point de la hauteur issue de A\text{A} et que K=H.\text{K} = \text{H}.

3. En utilisant le point G\text{G} dans la relation de la question 2., en déduire que OH=3OG.\overrightarrow{\mathrm{OH}}=3 \overrightarrow{\mathrm{OG}}.

4. Conclure.
La droite (OH)\text{(OH)} est appelée droite d’Euler.

83
[Calculer.]
On se place dans un repère orthonormé (O;i,j).(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}). On donne le programme suivant.

def Bary(x1, y1, x2, y2):
  x = x1/2 + x2/2
  y = (y1 + y2)/2
  return(x, y)

1. Exécuter le programme pour les points A(2;3)\text{A}(2\: ; 3) et B(4;1).\text{B}(4\: ; - 1). Quel résultat obtient-on ?

2. À quoi correspondent les valeurs xx et yy retournées par le programme ?

3. Transformer le programme pour qu’il retourne les coordonnées du centre de gravité d’un triangle.

4. Le centre de gravité G\text{G} d’un quadrilatère ABCD\text{ABCD} est défini par GA+GB+GC+GD=0.\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}+\overrightarrow{\mathrm{GD}}=\overrightarrow{0}.
a. Démontrer que OG=14(OA+OB+OC+OD).\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}).

b. Déterminer les coordonnées de G\text{G} en fonction de celles des points A,\text{A,} B,\text{B,} C\text{C} et D.\text{D.}

c. Transformer à nouveau le programme pour qu’il retourne les coordonnées du centre de gravité d’un quadrilatère.

79
[Raisonner.] ◉◉◉
Exemples de lignes de niveau.
Une ligne de niveau est l’ensemble des points vérifiant une relation du type f(M)=kf(\mathrm{M})=kkR. k \in \mathbb{R}.
On considère deux points distincts A\text{A} et B\text{B} du plan.
On note I\text{I} le milieu du segment [AB].\text{[AB].}

1. Premier exemple :
On s’intéresse à l’ensemble (E1)(\text{E}_1) des points M\text{M} du plan tel que MA2+MB2=k.\mathrm{MA}^{2}+\mathrm{MB}^{2}=k. Utiliser le théorème de la médiane afin de trouver l’ensemble des valeurs possibles de kk et la nature de (E1)(\text{E}_1) qui en découle.


2. Deuxième exemple :
On s’intéresse à l’ensemble (E2)(\text{E}_2) des points M\text{M} du plan tel que MA2MB2=k.\mathrm{MA}^{2}-\mathrm{MB}^{2}=k. Trouver l’ensemble des valeurs possibles de kk et la nature de (E2)(\text{E}_2) qui en découle.


3. Troisième exemple :
On s’intéresse à l’ensemble (E3)(\text{E}_3) des points M\text{M} du plan tel que MAMB=k.\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=k. Trouver l’ensemble des valeurs possibles de kk et la nature de (E3)(\text{E}_3) qui en découle.

74
[Représenter.]
Le plan est muni d’un repère orthonormé. Sur un cercle C\mathcal{C} de centre O,\text{O,} on pose deux points fixes B\text{B} et C\text{C} et un point A\text{A} mobile sur le cercle.
On note G\text{G} le centre de gravité du triangle ABC\text{ABC} et M\text{M} le milieu du segment [BC].\text{[BC].}
1. Exprimer le vecteur MG\overrightarrow{\mathrm{MG}} en fonction du vecteur MA.\overrightarrow{\mathrm{MA}}. On construit le point Ω\Omega tel que MΩ=13MO.\overrightarrow{\mathrm{M} \Omega}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{MO}}.

2. Exprimer le vecteur ΩG\overrightarrow{\Omega \text{G}} en fonction du vecteur OA.\overrightarrow{\mathrm{OA}}. Que peut-on dire de la longueur ΩG\Omega \text{G} quand A\text{A} parcours le cercle C\mathcal{C} ?

3. Quel est le lieu du point G\text{G} lorsque A\text{A} parcourt C\mathcal{C} ?

76
[Chercher.]
Le plan est muni d’un repère orthonormé. On donne un cercle de centre Ω\Omega qui passe par un point A\text{A} fixé. On place un point B\text{B} libre sur ce cercle. On note M\text{M} le milieu de [AB].[\text{AB}].
Quel est le lieu géométrique décrit par M\text{M} lorsque B\text{B} parcourt le cercle ?

80
[Représenter.]
On donne trois points du plan non alignés A,\text{A,} B\text{B} et C.\text{C.}
On construit les points D,\text{D,} E\text{E} et F\text{F} de façon à ce que les quadrilatères ABCD,\text{ABCD,} ACBF\text{ACBF} et BACE\text{BACE} soient des parallélogrammes.
1. Réaliser une figure.

Lancer le module Geogebra
2. Montrer que les droites (AE),\text{(AE),} (BD)\text{(BD)} et (CF)\text{(CF)} sont concourantes et que leur point d’intersection est le centre de gravité du triangle ABC.\text{ABC.}

81
EN PHYSIQUE
[Modéliser.] ◉◉◉
Les points de Lagrange.
Quand deux astres tournent l’un autour de l’autre, il existe des points spéciaux pour lesquels les forces exercées en ces points se compensent. Un objet situé sur un de ces points reste immobile par rapport aux deux astres. Ces points font partie des points de Lagrange.
On appelle A\text{A} et B\text{B} les positions des deux planètes dans un repère orthonormé et on suppose que la planète A\text{A} est cinq fois plus lourde que la planète B.\text{B.} On note O\text{O} le point défini par 5OA+OB=05\overrightarrow{\text{OA}} +\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{0} ainsi que r1r_1 et r2r_2 les distances AM\text{AM} et BM.\text{BM.}
On cherche le lieu des points M\text{M} qui vérifie :
5r13AM+1r23BM=6AB3OM.\dfrac{5}{r_{1}^{3}} \overrightarrow{\mathrm{AM}}+\dfrac{1}{r_{2}^{3}} \overrightarrow{\mathrm{BM}}=\dfrac{6}{\mathrm{AB}^{3}} \overrightarrow{\mathrm{OM}}.
Cette relation exprime l’équilibre entre l’attraction par la planète A,\text{A,} l’attraction par la planète B\text{B} et la force centrifuge ressentie par l’objet à cause de la rotation autour du point O.\text{O.}

Configurations géométriques - synthèse

On suppose que M\text{M} n’est pas sur la droite (AB),\text{(AB),} ni sur sa perpendiculaire passant par O\text{O} que l’on notera d.d