Géométrie

1. On considère les points $\mathrm{B}(-1;0)$ et $\mathrm{J}\left(0;\frac{1}{2}\right)$.
Le cercle $\mathcal{C}$ de centre $\text{J}$ et de rayon $\frac{1}{2}$ coupe le segment $\text{[BJ]}$ en un point $\text{K.}$ Calculer $\text{BJ}$ puis en déduire $\text{BK.}$

2. a. Exprimer à l'aide des fonctions cosinus et sinus les coordonnées du point ${\text{A}}_2.$

b. Démontrer que ${\left({\mathrm{BA}}_2\right)}^2=2+2\cos \left(\frac{4\pi }{5}\right).$

c. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous, que l'on pourra utiliser sans justification.

En déduire que ${\text{BA}}_2=\text{BK}.$

3. Construire le pentagone régulier à la règle et au compas dans un repère orthonormé. N'utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.

1. Que vaut $\theta$ si le point $\text{M}$ est confondu avec le point $\text{D}$ ? Avec le point $\text{C}$ ?

2. a. Justifier que les coordonnées du point $\text{M}$ dans le repère $(\mathrm{A};\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AD}})$ sont $(x;1).$

b. Existe-t-il une position du point $\text{M}$ sur le segment $\text{[DC]}$ tel que le triangle $\text{ABM}$ soit un triangle rectangle en $\text{M}$ ?

c. En calculant de deux façons différentes le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{MA}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{MB}},$ montrer que $\cos (\theta )=\frac{x^2-x+1}{\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(2-2x+x^2\right)}}.$

3. On s'intéresse à la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;1]$ par $f(x)=\frac{x^2-x+1}{\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(2-2x+x^2\right)}}.$
On admet que sa dérivée est $f^{\prime }(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{\left(x^2+1\right){\left(2-2x+x^2\right)}^3}}.$
a. Étudier le signe de $f^{\prime }(x).$

b. En déduire les variations de la fonction $f$ sur son ensemble de définition.

4. a. Pour quelle position du point $\text{M}$ sur le segment $\text{[DC]}$ le nombre $\cos (\theta )$ est-il minimal ?

b. Que peut-on en déduire pour l'angle $\theta$ ? En déduire une valeur approchée de son extremum au centième de radian près et au centième de degré près.

1. Après avoir vérifié que $\frac{5\pi }{12}=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6},$ calculer les valeurs exactes de $\cos \left(\frac{5\pi }{12}\right)$ et $\sin \left(\frac{5\pi }{12}\right).$

2. Résoudre l'équation suivante dans l'ensemble des réels $\mathbb{R}:$
$(\sqrt{6}-\sqrt{2})\cos (x)-(\sqrt{6}+\sqrt{2})\sin (x)=-2\sqrt{3}.$

Partie A : Étude du cas particulier $n=6$
On a représenté ci-dessous un polygone ${\text{P}}_6.$


1. Justifier le fait que le triangle ${\mathrm{OA}}_6{\mathrm{B}}_6$ est équilatéral, et que son aire est égale à $\frac{1}{6}.$

2. Exprimer en fonction de $r_6$ la hauteur du triangle ${\mathrm{OA}}_6{\mathrm{B}}_6$ issue du sommet ${\mathrm{B}}_6.$

3. En déduire que $r_6=\sqrt{\frac{2}{3\sqrt{3}}}.$

Partie B : Cas général avec $n⩾4$
Dans cette partie, on considère le polygone ${\text{P}}_n$ avec $n⩾4,$ construit de telle sorte que le point ${\text{A}}_n$ soit situé sur l'axe des abscisses et ait pour abscisse $r_n.$
Le point ${\text{B}}_n$ est obtenu à partir du point ${\text{A}}_n$ par une rotation de centre $\text{O}$ et d'angle ${\theta }_n,$ où ${\theta }_n$ est un réel de l'intervalle $\left]0;\frac{\pi }{2}\right].$

1. Exprimer en fonction de $r_n$ et de ${\theta }_n$ la hauteur issue de ${\text{B}}_n$ dans le triangle ${\mathrm{OA}}_n{\mathrm{B}}_n$ puis établir que l'aire de ce triangle est égale à $\frac{{\left(r_n\right)}^2}{2}\times \sin \left({\theta }_n\right).$

2. On rappelle que l'aire du polygone ${\text{P}}_n$ est égale à $1.$
Donner, en fonction de $n,$ une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_n},\overrightarrow{{\mathrm{OB}}_n}\right)$ puis démontrer que $r_n=\sqrt{\frac{2}{n\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)}}.$

Partie C : Étude de la suite $(r_n)$
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;\pi [$ par $f(x)=\frac{x}{\sin (x)}.$
Ainsi, le nombre $r_n,$ défini dans la partie B pour $n⩾4,$ s'exprime à l'aide de la fonction $f$ par : $r_n=\sqrt{\frac{1}{\pi }f\left(\frac{2\pi }{n}\right)}.$
On admet que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0;\pi [.$

1. Montrer que la suite $(r_n)$ est décroissante.
On pourra pour cela commencer par démontrer que, pour tout $n⩾4,$ on a : $0<\frac{2\pi }{n+1}<\frac{2\pi }{n}<\pi .$

2. On considère l'algorithme suivant où $n$ est un nombre entier non nul.

$\boxed{\begin{array}{l}\text{n}\leftarrow 4\\ \text{Tant que}\sqrt{\frac{2}{\text{n}\sin \left(\frac{2\pi }{\text{n}}\right)}}>0,58:\\ \text{n}\leftarrow \text{n}+1:\\ \text{Fin Tant que}\end{array}}$

Quelle est la valeur numérique de $n$ à la fin de cet algorithme ?