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Préparer le BAC - Géométrie




Exercice guidé

1
[D’après Bac S - Pondichéry - 2016.]
L’objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un polygone régulier.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O;i,j),(\mathrm{O} ; \vec{i},\vec{j}), on considère le pentagone régulier A0A1A2A3A4\mathrm{A}_{0} \mathrm{A}_{1} \mathrm{A}_{2} \mathrm{A}_{3} \mathrm{A}_{4} de centre O\text{O} tel que OA0=i.\overrightarrow{\mathrm{OA}_{0}}=\vec{i}.
On rappelle que dans le pentagone régulier ci-dessous :

Préparer le BAC - Géométrie
  • les cinq côtés sont de même longueur ;
  • les points A0,A1,A2,A3\mathrm{A}_{0}, \mathrm{A}_{1}, \mathrm{A}_{2}, \mathrm{A}_{3} et A4\mathrm{A}_{4} appartiennent au cercle trigonométrique ;
  • pour tout entier kk appartenant à {0;1;2;3},\{0\: ; 1\: ; 2 \:; 3\} , on a (OAk;OAk+1)=2π5.\left(\overrightarrow{\mathrm{OA}_{k}} \:; \overrightarrow{\mathrm{OA}_{k+1}}\right)=\dfrac{2 \pi}{5}.
1. On considère les points B(1;0)\mathrm{B}(-1\: ; 0) et J(0;12)\mathrm{J}\left(0\: ; \dfrac{1}{2}\right).
Le cercle C\mathcal{C} de centre J\text{J} et de rayon 12\dfrac{1}{2} coupe le segment [BJ]\text{[BJ]} en un point K.\text{K.} Calculer BJ\text{BJ} puis en déduire BK.\text{BK.}


Aide
Il est préférable de représenter la situation par une figure à main levée pour repérer les théorèmes à utiliser.

2. a. Exprimer à l’aide des fonctions cosinus et sinus les coordonnées du point A2.\text{A}_2.


Aide
Il suffit de calculer une mesure de l'angle (i,OA2)\left(\vec{i}, \overrightarrow{\mathrm{OA}_{2}}\right) puis de faire le lien entre les coordonnées de A2\text{A}_2 sur le cercle trigonométrique et le cosinus et le sinus.

b. Démontrer que (BA2)2=2+2cos(4π5).\left(\mathrm{BA}_{2}\right)^{2}=2+2 \cos \left(\dfrac{4 \pi}{5}\right).


Aide
Il faut démontrer une égalité ici. Il suffit de partir du membre de gauche pour essayer de retrouver le membre de droite. Le membre de gauche est la longueur BA2\mathrm{BA}_{2} élevée au carré : on utilise donc la formule de seconde permettant de calculer la distance entre deux points.

c. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous, que l’on pourra utiliser sans justification.

Préparer le BAC - Géométrie
Préparer le BAC - Géométrie

En déduire que BA2=BK.\text{BA}_2 = \text{BK}.


Aide
On connaît la longueur BK.\text{BK.} Il suffit donc de poursuivre le calcul de BA2\text{BA}_2 en utilisant les expressions données par le logiciel de calcul formel.

3. Construire le pentagone régulier à la règle et au compas dans un repère orthonormé. N’utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.

Aide
Pour représenter le pentagone, on utilise la question précédente et le fait que le pentagone est régulier.

4
[D’après Bac S - Centres étrangers - 2017.]
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;u,v).(\mathrm{O} ; \vec{u}, \vec{v}).
Pour tout entier n4,n \geqslant 4 , on considère Pn,\text{P}_n, un polygone régulier à nn côtés, de centre O\text{O} et dont l’aire est égale à 1.1.
On admet qu’un tel polygone est constitué de nn triangles superposables à un triangle OAnBn\mathrm{OA}_{n} \mathrm{B}_{n} donné, isocèle en O.\text{O.}
On note rn=OAnr_{n}=\mathrm{O} \mathrm{A}_{n} la distance entre le centre O\text{O} et le sommet An\mathrm{A}_{n} d’un tel polygone.

Partie A : Étude du cas particulier n=6n = 6
On a représenté ci-dessous un polygone P6.\text{P}_6.

Fonctions trigonométriques - bac

1. Justifier le fait que le triangle OA6B6\mathrm{OA}_{6} \mathrm{B}_{6} est équilatéral, et que son aire est égale à 16.\dfrac{1}{6}.


2. Exprimer en fonction de r6r_6 la hauteur du triangle OA6B6\mathrm{OA}_{6} \mathrm{B}_{6} issue du sommet B6.\mathrm{B}_{6}.


3. En déduire que r6=233.r_{6}=\sqrt{\dfrac{2}{3 \sqrt{3}}}.


Partie B : Cas général avec n4n \geqslant 4
Dans cette partie, on considère le polygone Pn\text{P}_n avec n4,n \geqslant 4, construit de telle sorte que le point An\text{A}_n soit situé sur l’axe des abscisses et ait pour abscisse rn.r_n .
Le point Bn\text{B}_n est obtenu à partir du point An\text{A}_n par une rotation de centre O\text{O} et d’angle θn,\theta_n,θn\theta_n est un réel de l’intervalle ]0;π2].\left] 0\: ; \dfrac{\pi}{2} \right].

Fonctions trigonométriques - bac

1. Exprimer en fonction de rnr_n et de θn\theta_n la hauteur issue de Bn\text{B}_n dans le triangle OAnBn\mathrm{OA}_{n} \mathrm{B}_{n} puis établir que l’aire de ce triangle est égale à (rn)22×sin(θn).\dfrac{\left(r_{n}\right)^{2}}{2} \times \sin \left(\theta_{n}\right).


2. On rappelle que l’aire du polygone Pn\text{P}_n est égale à 1.1.
Donner, en fonction de n,n, une mesure de l’angle (OAn,OBn)\left(\overrightarrow{\mathrm{OA}_{n}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}_{n}}\right) puis démontrer que rn=2nsin(2πn).r_{n}=\sqrt{\dfrac{2}{n \sin \left(\dfrac{2 \pi}{n}\right)}}.


3. En déduire que r6=233.r_{6}=\sqrt{\dfrac{2}{3 \sqrt{3}}}.


Partie C : Étude de la suite (rn)(r_n)
On considère la fonction ff définie pour tout réel xx de l’intervalle ]0;π[]0\: ; \pi[ par f(x)=xsin(x).f(x)=\dfrac{x}{\sin (x)}.
Ainsi, le nombre rn,r_n, défini dans la partie B pour n4,n \geqslant 4 , s’exprime à l’aide de la fonction ff par : rn=1πf(2πn).r_{n}=\sqrt{\dfrac{1}{\pi} f\left(\dfrac{2 \pi}{n}\right)}.
On admet que la fonction ff est strictement croissante sur l’intervalle ]0;π[.]0\: ; \pi[ .

1. Montrer que la suite (rn)(r_n) est décroissante.
On pourra pour cela commencer par démontrer que, pour tout n4,n \geqslant 4 , on a : 0<2πn+1<2πn<π.0 \lt \dfrac{2 \pi}{n+1} \lt \dfrac{2 \pi}{n} \lt \pi.


2. On considère l’algorithme suivant où nn est un nombre entier non nul.

n4Tant que2nsin(2πn)>0,58:nn+1:Fin Tant que \boxed{ \begin{array} { l } { \text {n} \leftarrow 4 } \\ \text {Tant que} \sqrt{\dfrac{2}{\text{n} \sin \left(\dfrac{2 \pi}{\text{n}}\right)}}>0{,}58 : \\ \quad \text {n} \leftarrow \text {n}+1 : \\ \text {Fin Tant que} \end{array} }

Quelle est la valeur numérique de nn à la fin de cet algorithme ?

3
[D’après Bac S - Nouvelle-Calédonie - 2018.]
On admet que, pour tous réels aa et b,b, cos(a+b)=cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)\cos (a+b)=\cos (a) \cos (b)-\sin (a) \sin (b) et sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a).\sin (a+b)=\sin (a) \cos (b)+\sin (b) \cos (a).

1. Après avoir vérifié que 5π12=π4+π6,\dfrac{5 \pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}, calculer les valeurs exactes de cos(5π12)\cos \left(\dfrac{5 \pi}{12}\right) et sin(5π12).\sin \left(\dfrac{5 \pi}{12}\right).


2. Résoudre l’équation suivante dans l’ensemble des réels R:\R :
(62)cos(x)(6+2)sin(x)=23.(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \cos (x)-(\sqrt{6}+\sqrt{2}) \sin (x)=-2 \sqrt{3}.

2
[D’après Bac S - Liban - 2017.]
On considère un carré ABCD\text{ABCD} de côté 1.1. Le plan est rapporté au repère orthonormé (A;AB,AD).(\mathrm{A} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}).
À tout réel de l’intervalle [0;1],[0\: ; 1] , on associe le point M\text{M} du segment [DC]\text{[DC]} tel que DM=xDC.\overrightarrow{\mathrm{DM}}=x \overrightarrow{\mathrm{DC}}.
Préparer le BAC - Géométrie
On s’intéresse à l’évolution de la mesure θ\theta en radian de l’angle BMA^\widehat{\mathrm{BMA}} lorsque le point M\text{M} parcourt le segment [DC].\text{[DC].}
On a 0θπ2.0 \leqslant \theta \leqslant \dfrac{\pi}{2}.
1. Que vaut θ\theta si le point M\text{M} est confondu avec le point D\text{D} ? Avec le point C\text{C} ?


2. a. Justifier que les coordonnées du point M\text{M} dans le repère (A;AB,AD)(\mathrm{A} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}) sont (x;1).(x\: ; 1).


b. Existe-t-il une position du point M\text{M} sur le segment [DC]\text{[DC]} tel que le triangle ABM\text{ABM} soit un triangle rectangle en M\text{M} ?


c. En calculant de deux façons différentes le produit scalaire des vecteurs MA\overrightarrow{\mathrm{MA}} et MB,\overrightarrow{\mathrm{MB}}, montrer que cos(θ)=x2x+1(x2+1)(22x+x2).\cos (\theta)=\dfrac{x^{2}-x+1}{\sqrt{\left(x^{2}+1\right)\left(2-2 x+x^{2}\right)}}.


3. On s’intéresse à la fonction ff définie sur l’intervalle [0;1][0\: ; 1] par f(x)=x2x+1(x2+1)(22x+x2).f(x)=\dfrac{x^{2}-x+1}{\sqrt{\left(x^{2}+1\right)\left(2-2 x+x^{2}\right)}}.
On admet que sa dérivée est f(x)=2x1(x2+1)(22x+x2)3.f^{\prime}(x)=\dfrac{2 x-1}{\sqrt{\left(x^{2}+1\right)\left(2-2 x+x^{2}\right)^{3}}}.
a. Étudier le signe de f(x).f'(x).


b. En déduire les variations de la fonction ff sur son ensemble de définition.


4. a. Pour quelle position du point M\text{M} sur le segment [DC]\text{[DC]} le nombre cos(θ)\cos(\theta) est-il minimal ?


b. Que peut-on en déduire pour l’angle θ\theta ? En déduire une valeur approchée de son extremum au centième de radian près et au centième de degré près.
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