Entrainement 3


Résolution de problèmes géométriques




Sauf indication contraire, pour tous les exercices utilisant des coordonnées, le plan est muni d’un repère orthonormé (O;i,j)(\mathrm{O} ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})


DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 34 ; 47 ; 61 ; 64 et 73
◉◉ Parcours 2 : exercices 41 ; 50 ; 68 ; 72 et 75
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 44 ; 55 ; 71 ; 79 et 81

69
[Raisonner.]
On considère les points V(2;1)\text{V}(2\: ; - 1) et T(6;2)\text{T}(6\: ; 2) ainsi que le réel k[1;1,5].k \in [-1\: ; 1{,}5].
Déterminer l’ensemble des points M\text{M} qui vérifie : VM=kVT.\overrightarrow{\mathrm{VM}}=k \overrightarrow{\mathrm{VT}}.

61
[Raisonner.] ◉◉
Soient A\text{A} et B\text{B} deux points du plan tels que AB=2.\text{AB} = 2. On cherche l’ensemble des points M\text{M} tel que AMAB=8.\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=8.
1. C\text{C} est le point de (AB)\text{(AB)} tel que ACAB=8.\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=8. Montrer que AC=2AB.\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}.

2. En introduisant le point C\text{C} dans la relation de départ, faire apparaître un produit scalaire nul.

3. En déduire l’ensemble des points recherché.

70
DÉMO
[Chercher.]
On considère un triangle ABC\text{ABC} quelconque et un point M\text{M} à l’intérieur de celui-ci.
Où doit se situer le point M\text{M} pour que les triangles AMB\text{AMB} et AMC\text{AMC} aient la même aire ?

71
[Chercher.] ◉◉◉
Dans un triangle équilatéral ABC\text{ABC} de côté 1,1, on place les points D,\text{D,} E\text{E} et F\text{F} comme indiqué sur la figure. Le but de l’exercice est de minimiser l’aire du triangle DEF.\text{DEF.}

Résolution de problèmes géométriques

1. Posons x=AD.x = \text{AD} . En utilisant la relation d’Al-Kashi, déterminer les longueurs DE,\text{DE,} EF\text{EF} et FD\text{FD} en fonction de x.x .

2. Quelle est la nature du triangle DEF\text{DEF} ?

3. Démontrer que l’aire d’un triangle équilatéral de côté cc est égale à 34c2\dfrac{\sqrt{3}}{4} c^2 et en déduire que l’aire de DEF\text{DEF} est minimale si DE\text{DE} est minimale.

4. a. Montrer que, pour tout x>0,x > 0, 3x23x+1=3(x12)2+14.3 x^{2}-3 x+1=3\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{1}{4}.

b. Pour quelle valeur de xx l’aire est-elle minimale ?

64
[Chercher.] ◉◉
A\text{A} et B\text{B} sont deux points fixés dans le plan.
Quel est l’ensemble des points M\text{M} qui vérifie : MAMB=0\mathrm{MA}-\mathrm{MB}=0?

65
[Chercher.]
A\text{A} et B\text{B} sont deux points distincts du plan. Déterminer l’ensemble des points M\text{M} tel que AMAB=12AB2.\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\dfrac{1}{2} \mathrm{AB}^{2}.
AIDE
On pourra penser à utiliser le milieu du segment [AB].\text{[AB].}

67
[Raisonner.]
A,\text{A,} B\text{B} et C\text{C} sont trois points quelconques du plan.
Déterminer l’ensemble des points M\text{M} du plan tels que MABC=MABM.\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BM}}.

66
[Calculer.]
Soient A\text{A} et B\text{B} deux points du plan tels que AB=2.\text{AB} = 2 .
Quel est le lieu des points M\text{M} du plan tel que MAMB=3\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=3 ?

62
[Raisonner.]
On donne deux points A\text{A} et B\text{B} tels que AB=3.\text{AB} = 3 .
Déterminer le lieu des points M\text{M} tel que AMAB=5.\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=5.

68
[Calculer.] ◉◉
Dans le plan, on définit deux points distincts A\text{A} et B.\text{B.}
Pour kR,k \in \R, on s’intéresse au lieu des points M\text{M} défini par AM=kAB.\overrightarrow{\mathrm{AM}}=k \overrightarrow{\mathrm{AB}}.
1. Que peut-on dire des points A,\text{A,} B\text{B} et M\text{M} ?

2. Dans les cas suivants, déterminer le point M\text{M} :
a. si k=0k=0 ;

b. si k=1k=1 ;

c. si k=2k=2 ;

d. si k=1k=-1 ;

e. si k=12.k=\dfrac{1}{2}.

3. Quel est le lieu des points M\text{M} dans les cas suivants ?
a. si k>0k>0

b. si k[0;1]k\in [0\:;1]

c. si k];0[k\in ]-\infty \:;0[

63
[Raisonner.]
A\text{A} et B\text{B} sont deux points tels que AB=4\text{AB} = 4 cm.
Quel est le lieu géométrique des points M\text{M} tel que l’aire du triangle AMB\text{AMB} est égale à 2 cm2 ?
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