Chapitre 10
Entraînement 3
Résolution de problèmes géométriques
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Sauf indication contraire, pour tous les exercices utilisant des coordonnées, le plan est muni d'un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})
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61
[Raisonner.] Soient \text{A} et \text{B} deux points du plan tels que \text{AB} = 2. On cherche l'ensemble des points \text{M} tel que \overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=8.
1. \text{C} est le point de \text{(AB)} tel que \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=8. Montrer que \overrightarrow{\mathrm{AC}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}.
2. En introduisant le point \text{C} dans la relation de départ, faire apparaître un produit scalaire nul.
3. En déduire l'ensemble des points recherché.
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62
[Raisonner.]
On donne deux points \text{A} et \text{B} tels que \text{AB} = 3 .
Déterminer le lieu des points \text{M} tel que \overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=5.
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63
[Raisonner.]
\text{A} et \text{B} sont deux points tels que \text{AB} = 4 cm.
Quel est le lieu géométrique des points \text{M} tel que l'aire du triangle \text{AMB} est égale à 2 cm2 ?
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64
[Chercher.] \text{A} et \text{B} sont deux points fixés dans le plan.
Quel est l'ensemble des points \text{M} qui vérifie : \mathrm{MA}-\mathrm{MB}=0?
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65
[Chercher.]
\text{A} et \text{B} sont deux points distincts du plan. Déterminer l'ensemble des points \text{M} tel que \overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\dfrac{1}{2} \mathrm{AB}^{2}.
Aide
On pourra penser à utiliser le milieu du segment \text{[AB].}
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66
[Calculer.]
Soient \text{A} et \text{B} deux points du plan tels que \text{AB} = 2 .
Quel est le lieu des points \text{M} du plan tel que \overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=3 ?
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67
[Raisonner.]
\text{A,} \text{B} et \text{C} sont trois points quelconques du plan.
Déterminer l'ensemble des points \text{M} du plan tels que \overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BM}}.
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68
[Calculer.] Dans le plan, on définit deux points distincts \text{A} et \text{B.}
Pour k \in \R, on s'intéresse au lieu des points \text{M} défini par \overrightarrow{\mathrm{AM}}=k \overrightarrow{\mathrm{AB}}.
1. Que peut-on dire des points \text{A,} \text{B} et \text{M} ?
2. Dans les cas suivants, déterminer le point \text{M} :
a. si k=0 ;
b. si k=1 ;
c. si k=2 ;
d. si k=-1 ;
2. Dans les cas suivants, déterminer le point \text{M} :
a. si k=0 ;
b. si k=1 ;
c. si k=2 ;
d. si k=-1 ;
e. si k=\dfrac{1}{2}.
3. Quel est le lieu des points \text{M} dans les cas suivants ?
a. si k>0
b. si k\in [0\:;1]
c. si k\in ]-\infty \:;0[
3. Quel est le lieu des points \text{M} dans les cas suivants ?
a. si k>0
b. si k\in [0\:;1]
c. si k\in ]-\infty \:;0[
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69
[Raisonner.]
On considère les points \text{V}(2\: ; - 1) et \text{T}(6\: ; 2) ainsi que le réel k \in [-1\: ; 1{,}5].
Déterminer l'ensemble des points \text{M} qui vérifie : \overrightarrow{\mathrm{VM}}=k \overrightarrow{\mathrm{VT}}.
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70
Démo
[Chercher.]
On considère un triangle \text{ABC} quelconque et un point \text{M} à l'intérieur de celui-ci.
Où doit se situer le point \text{M} pour que les triangles \text{AMB} et \text{AMC} aient la même aire ?
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71
[Chercher.] Dans un triangle équilatéral \text{ABC} de côté 1, on place les points \text{D,} \text{E} et \text{F} comme indiqué sur la figure. Le but de l'exercice est de minimiser l'aire du triangle \text{DEF.}
1. Posons x = \text{AD} . En utilisant la relation d'Al-Kashi, déterminer les longueurs \text{DE,} \text{EF} et \text{FD} en fonction de x .
2. Quelle est la nature du triangle \text{DEF} ?
3. Démontrer que l'aire d'un triangle équilatéral de côté c est égale à \dfrac{\sqrt{3}}{4} c^2 et en déduire que l'aire de \text{DEF} est minimale si \text{DE} est minimale.
4. a. Montrer que, pour tout x > 0, 3 x^{2}-3 x+1=3\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{1}{4}.
b. Pour quelle valeur de x l'aire est-elle minimale ?
2. Quelle est la nature du triangle \text{DEF} ?
3. Démontrer que l'aire d'un triangle équilatéral de côté c est égale à \dfrac{\sqrt{3}}{4} c^2 et en déduire que l'aire de \text{DEF} est minimale si \text{DE} est minimale.
4. a. Montrer que, pour tout x > 0, 3 x^{2}-3 x+1=3\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{1}{4}.
b. Pour quelle valeur de x l'aire est-elle minimale ?
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