COURS 1


1
Mesurer un angle en radian




B
Enroulement de la droite numérique

Mesurer un angle en radian

Remarque

On dit que xx et xx' sont égaux à 2π2\pi près.

LOGIQUE

Cette propriété est une équivalence, elle est donc vraie dans les deux sens.

Exemple

En remarquant que π=3π1×2π=5π+3×2π,\pi=3 \pi-1 \times 2 \pi=-5 \pi+3 \times 2 \pi, on en déduit que π,3π\pi, 3 \pi et 5π-5 \pi ont le même point image sur le cercle trigonométrique : le point de coordonnées (1;0).(-1 \: ; 0).

DÉMONSTRATION

Principe : l’idée de la démonstration repose sur le fait que le périmètre du cercle trigonométrique a pour longueur 2π.2\pi. Pour tout point M\text{M} du cercle, on peut alors calculer la longueur de l’arc IM \overset{\Large{_{\frown}}}{\text{IM}} ou bien « parcourir » plusieurs fois le cercle jusqu’à revenir au point M.\text{M.} La longueur « parcourue » sera donc augmentée de 2π2\pi à chaque tour. En parcourant le cercle dans le sens indirect, on obtient les valeurs négatives.

Propriété

Deux nombres réels xx et xx' de la droite numérique ont le même point image sur C\mathcal{C} si et seulement si x=x+k×2πx=x^{\prime}+k \times 2 \pi avec kZ.k \in \mathbb{Z}.

On place la droite numérique perpendiculaire à  (OI) \text { (OI) } telle que le 00 de la droite numérique coïncide avec le point I\text{I} et on l’oriente dans le sens de O\text{O} vers J.\text{J.} On enroule la demi-droite des réels positifs sur le cercle C\mathcal{C} dans le sens trigonométrique et la demi-droite des réels négatifs sur le cercle C\mathcal{C} dans le sens indirect.

Définition

À chaque nombre réel xx de la droite numérique, on associe un unique point M\text{M} du cercle trigonométrique que l’on appelle point image.

Application et méthode


Méthode

1. Pour trouver un point image :
  • on utilise le fait que la longueur du cercle trigonométrique est 2π2 \pi
  • par proportionnalité, le demi-cercle mesure π\pi et le quart de cercle mesure π2\dfrac{\pi}{2}

2. Pour déterminer plusieurs réels associés au même point sur le cercle trigonométrique, il suffit d’ajouter ou de soustraire 2π2\pi au réel donné.

SOLUTION

1. Le point image de π3\dfrac{\pi}{3} est C.\text{C.}
Le point image de 2π-2\pi est I.\text{I.}
Le point image de 3π2\dfrac{3 \pi}{2} est J’.\text{J'.}
2. a. 9π4=π4+2π\dfrac{9 \pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+2 \pi donc ils sont associés au même point image sur le cercle trigonométrique : le point B.\text{B.}
b. 9π4+2π=17π4\dfrac{9 \pi}{4}+2 \pi=\dfrac{17 \pi}{4} et 17π4+2π=25π4\dfrac{17 \pi}{4}+2 \pi=\dfrac{25 \pi}{4} sont également associés au point B.\text{B}.

Pour s'entraîner : exercices 20 et 21 p. 193

Énoncé

À l’aide du cercle trigonométrique ci-contre, répondre aux questions suivantes en sachant que les points F, O, C\text{F, O, C} appartiennent au cercle de centre I\text{I} et de rayon 1.\text{1.}

Mesurer un angle en radian

1. Quels sont les points images des réels π3,2π\dfrac{\pi}{3},-2 \pi et 3π2?\dfrac{3 \pi}{2}\:?
2. a. Que peut-on dire des points images des réels π4\dfrac{\pi}{4} et 9π4 ?\dfrac{9 \pi}{4} ?
b. 9π4+2π=17π4\dfrac{9 \pi}{4}+2 \pi=\dfrac{17 \pi}{4} et 17π4+2π=25π4\dfrac{17 \pi}{4}+2 \pi=\dfrac{25 \pi}{4} sont également associés au point B.\text{B.}

C
Angle en radian


Mesurer un angle en radian

Définition
On considère le cercle trigonométrique C.\mathcal{C}.
Le radian est la mesure d’un angle au centre qui intercepte sur C\mathcal{C} un arc de longueur 1.\text{1.}
Par conséquent 360=2π360^{\circ}=2 \pi rad, 180=π180^{\circ}=\pi rad et 11 rad 57,3.\approx 57\text{,}3^{\circ}.

Remarque

Les angles en radian et en degré sont proportionnels.

NOTATION

Le radian est noté rad.

Application et méthode

Énoncé

Compléter le tableau suivant.

Trigonométrie-Application

Méthode

On utilise la proportionnalité d’un angle en radian et d’un angle en degré (180°=π180° = \pi rad).

SOLUTION



Trigonométrie-Application


Pour s'entraîner : exercices 24 et 25 p. 193

A
Cercle trigonométrique

Remarque

Le sens des aiguilles d’une montre est appelé sens indirect.

Définition

Dans un repère orthonormé (O ; I , J)(\text{O ; I , J}), le cercle trigonométrique C\mathcal{C} est le cercle de centre O\text{O} et de rayon 11 orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé sens direct ou encore sens trigonométrique.


Mesurer un angle en radian
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