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Nouvelle épreuve Bac

Algèbre

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Ch. 1
Suites numériques

Ch. 2
Fonctions de référence

Ch. 3
Équations et inéquations du second degré

Analyse

Ch. 4
Dérivation

Ch. 5
Applications de la dérivation

Ch. 6
Fonction exponentielle

Ch. 7
Trigonométrie

Ch. 8
Fonctions trigonométriques

Géométrie

Ch. 9
Produit scalaire

Ch. 10
Configurations géométriques

Probabilités et statistiques

Ch. 11
Probabilités conditionnelles

Ch. 12
Variables aléatoires réelles

Annexes

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

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Chapitre 7

Cours 1

Mesurer un angle en radian

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A
Cercle trigonométrique

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Définition

Dans un repère orthonormé

(O ; I , J)

, le cercle trigonométrique

C

est le cercle de centre

O

et de rayon

1

orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé sens direct ou encore sens trigonométrique.

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Remarque

Le sens des aiguilles d'une montre est appelé sens indirect.

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B
Enroulement de la droite numérique

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On place la droite numérique perpendiculaire à

(OI)

telle que le

0

de la droite numérique coïncide avec le point

I

et on l'oriente dans le sens de

O

vers

J.

On enroule la demi-droite des réels positifs sur le cercle

C

dans le sens trigonométrique et la demi-droite des réels négatifs sur le cercle

C

dans le sens indirect.

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Définition

À chaque nombre réel

x

de la droite numérique, on associe un unique point

M

du cercle trigonométrique que l'on appelle point image.

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Propriété

Deux nombres réels

x

x^{'}

de la droite numérique ont le même point image sur

C

si et seulement si

x = x^{'} + k \times 2 π

avec

k \in Z .

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Logique

Cette propriété est une équivalence, elle est donc vraie dans les deux sens.

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Démonstration

Principe : l'idée de la démonstration repose sur le fait que le périmètre du cercle trigonométrique a pour longueur

2 π .

Pour tout point

M

du cercle, on peut alors calculer la longueur de l'arc

IM_{⌢}

ou bien « parcourir » plusieurs fois le cercle jusqu'à revenir au point

M.

La longueur « parcourue » sera donc augmentée de

2 π

à chaque tour. En parcourant le cercle dans le sens indirect, on obtient les valeurs négatives.

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Remarque

On dit que

x

x^{'}

sont égaux à

2 π

près.

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Exemple

En remarquant que

π = 3 π - 1 \times 2 π = - 5 π + 3 \times 2 π,

on en déduit que

π, 3 π

- 5 π

ont le même point image sur le cercle trigonométrique : le point de coordonnées

(- 1; 0) .

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Application et méthode

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Énoncé

À l'aide du cercle trigonométrique ci-contre, répondre aux questions suivantes en sachant que les points

F, O, C

appartiennent au cercle de centre

I

et de rayon

1.

1. Quels sont les points images des réels

\frac{π}{3}, - 2 π

\frac{3 π}{2} ?

2. a. Que peut-on dire des points images des réels

\frac{π}{4}

\frac{9 π}{4} ?

b. Donner deux autres nombres réels associés au même point image.

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Méthode

1. Pour trouver un point image :

on utilise le fait que la longueur du cercle trigonométrique est $2 π$
par proportionnalité, le demi-cercle mesure $π$ et le quart de cercle mesure $\frac{π}{2}$

2. Pour déterminer plusieurs réels associés au même point sur le cercle trigonométrique, il suffit d'ajouter ou de soustraire

2 π

au réel donné.

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Solution

1. Le point image de

\frac{π}{3}

est

C.

Le point image de

- 2 π

est

I.

Le point image de

\frac{3 π}{2}

est

J’.

2. a.

\frac{9 π}{4} = \frac{π}{4} + 2 π

donc ils sont associés au même point image sur le cercle trigonométrique : le point

B.

\frac{9 π}{4} + 2 π = \frac{17 π}{4}

\frac{17 π}{4} + 2 π = \frac{25 π}{4}

sont également associés au point

B .

Pour s'entraîner

Exercices 20
et 21
p. 193

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C
Angle en radian

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Définition

On considère le cercle trigonométrique

C .

Le radian est la mesure d'un angle au centre qui intercepte sur

C

un arc de longueur

1.

Par conséquent

36 0^{\circ} = 2 π

rad,

18 0^{\circ} = π

rad et

1

rad

\approx 57, 3^{\circ} .

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Remarque

Les angles en radian et en degré sont proportionnels.

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Notation

Le radian est noté rad.

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Application et méthode

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Énoncé

Compléter le tableau suivant.

Angle en degré	0	30	45	60	90	180	270	360
Angle en radian						$π$

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Méthode

On utilise la proportionnalité d'un angle en radian et d'un angle en degré (

180° = π

rad).

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Solution

Tableau et schéma illustrant la conversion d'angles de degrés en radians.

Pour s'entraîner

Exercices 24
et 25
p. 193

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ACercle trigonométrique

Remarque

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Remarque

Méthode

CAngle en radian

Remarque

Notation

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Configurations géométriques

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Variables aléatoires réelles

A
Cercle trigonométrique

B
Enroulement de la droite numérique

C
Angle en radian