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Activités




C
Une histoire de coordonnées

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Bilan
Un point M\text{M} a pour coordonnées cartésienne (x;y)({x}\: ; {y}) dans un repère orthonormé (O ; I , J).(\text{O ; I , J}).
Comment retrouver ses coordonnées polaires (r;θ)({r}\:; {\theta})rr est la distance à l’origine O\text{O} et θ=IOM^?\theta=\widehat{\text{IOM}} \:?


A
Une histoire de coordonnées
B
Une histoire de coordonnées

Gouvernail - bateau


Objectif
Découvrir un nouveau type de repérage.


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On sait repérer, à l’aide de coordonnées cartésiennes, des villes sur une carte.
Par exemple, le repère orthonormé ci-après
maths-A
a pour origine Bordeaux et la droite reliant Bordeaux à Cherbourg est l’axe des ordonnées.

1
En utilisant ce repère, donner le plus précisément possible les coordonnées de Bordeaux, Nantes, Nancy et Clermont-Ferrand.


2
Sergei, grand amateur d’aviation, a entendu dire qu’il existait un autre système de coordonnées utilisé en navigation. Il s’agit des coordonnées polaires. Dans le repère ci-dessous
maths-B
Bordeaux est toujours l’origine du repère et les coordonnées de Limoges sont (2;30). \left(2\:; 30^{\circ}\right).

a) Donner une explication de la lecture des coordonnées polaires en s’aidant de celles de Limoges et celles de Toulouse qui sont (2;45). \left(2\:;-45^{\circ}\right).


Aide
Il faut trouver la signification de chacun des deux nombres : quelle interprétation graphique peut-on leur donner ?

b) Déterminer les coordonnées polaires d’Amiens, de Cherbourg et de Besançon ainsi que la distance entre ces villes et Bordeaux.

c) Quel pourrait être l’intérêt des coordonnées polaires, par exemple pour la navigation en bateau ou en avion ?


3
À partir des coordonnées polaires de Limoges, comment peut-on retrouver les coordonnées cartésiennes en utilisant des formules simples de trigonométrie ?

A
Un problème de temps...



Objectif
Appréhender la notion de périodicité.


Trigonométrie - Un problème de temps... réveil à une aiguille

Marie s’est endormie en lisant son roman. Elle n’a aucune idée de l’heure qu’il peut être et regarde alors son réveil qui est cassé : la petite aiguille est tombée et la grande aiguille est sur le 3.

1
Quelles heures peut-il être ?

2
Marie se souvient avoir mangé le midi et ensuite être allée lire. Quelles sont alors les possibilités, étant donné qu’il fait encore jour dehors ?
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Bilan
Dans ce cas, on dit que la grande aiguille a un mouvement périodique. Proposer alors une définition intuitive de ce mot. Citer d’autres situations de périodicité.

B
Une histoire de manège


3
Paul refait un tour de manège. Alors qu’il n’a pas encore fait un tour complet, ses parents l’entendent pleurer : le manège s’est arrêté après avoir décrit un angle de 270°.
Ils décident alors de le rejoindre au plus vite en partant du point M\text{M} et en longeant la piste circulaire.

a) Quelle sera la mesure de l’angle décrite par les parents en degré ?

b) Quelle distance vont-ils alors parcourir s’ils longent parfaitement le manège ?



Objectif
Associer un angle et un arc de cercle.

AIDE

On rappelle que le périmètre d’un cercle de rayon rr est : 2×π×r.2 \times \pi \times r.

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Paul veut faire un tour de manège qui est sur une piste circulaire de centre O.\text{O.}
La distance entre Paul et O\text{O} est de 11 dam.
Le départ se fait au point M\text{M} et le manège tourne dans le sens de la flèche. La voiture dans laquelle il se déplace décrit un arc de cercle MP\overset{\Large{_{\frown}}}{\text{MP}} mesuré en dam et un angle POM^\widehat{\mathrm{POM}} mesuré en degré.
Une histoire de manège

1
Compléter le tableau suivant où P\text{P} est la position de Paul correspondant à l’angle POM^\widehat{\mathrm{POM}} en degré et L\text{L} est la longueur exacte, en dam, parcourue depuis le départ.

 angle POM^\widehat{\mathrm{POM}} 30° 60° 90° 180° 270° 360°
 Longueur L\text{L} 2π2\pi

2
Paul a fait quatre tours depuis le début et arrive en position P\text{P} comme dans l’image ci-dessous. Quelle est la longueur totale L\text{L} qu’il a parcourue ?


Une histoire de manège
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Bilan
Quel lien peut-on déduire entre un angle et la longueur d’arc associée ?

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