Approximation de $\pi$ par la méthode d'Archimède

On souhaite connaître le plus précisément possible la valeur de $\pi .$ Pour cela, on va utiliser la méthode d'Archimède qui consiste à encadrer la circonférence d'un cercle de rayon $1$ par des polygones réguliers inscrits et circonscrits ayant de plus en plus de côtés.

1. À l'aide de la figure, justifier que ${\mathrm{P}}_6=6.$

2. En sachant que $\tan (30)=\frac{\sqrt{3}}{3},$ justifier que ${\mathrm{P}}_6^{\prime }=4\sqrt{3}.$

3. En déduire une première approximation de $\pi .$ On admet pour la suite que ${\mathrm{P}}_n=2\times n\times \sin \left(\frac{180}{n}\right)$ et ${\mathrm{P}}_n^{\prime }=2\times n\times \tan \left(\frac{180}{n}\right).$

1. Créer une feuille de calcul permettant de calculer $\text{P}$ et ${\text{P}}^{\prime }$ en fonction de $n.$
Remarque : Les fonctions trigonométriques du tableur attendent des angles en radian donc, si on veut calculer la valeur du cosinus de 130°, on écrira : =cos(RADIANS(130)).

2. Dans la colonne D, afficher la différence entre ${\text{P}}^{\prime }$ et $\text{P.}$
3. Quelle valeur faut-il donner à $n$ pour avoir un encadrement de $\pi$ d'amplitude $10^{-1}?$
Quelle serait alors une approximation de $\pi$ ?

4. Quelle valeur faut-il donner à $n$ pour avoir un encadrement de $\pi$ d'amplitude $10^{-2}?$ Quelle serait alors une approximation de $\pi$ ?

On souhaite créer un programme permettant de calculer une approximation de $\pi$ avec une précision $p$ donnée. Dans l'algorithme suivant, on note $n$ le nombre de côtés des deux polygones et $\text{P1}$ et $\text{P2}$ correspondent respectivement aux périmètres ${\mathrm{P}}_n$ et ${\text{P}}_n^{\prime }.$

$\boxed{\begin{array}{cl}1& \text{ p }\leftarrow \text{ 1 }\\ 2& \text{ n }\leftarrow \text{ 6 }\\ 3& \text{ P1 }\leftarrow \text{ ... }\\ 4& \text{ P2 }\leftarrow \text{ ... }\\ 5& \text{ A }\leftarrow \text{ P1 / 2 }\\ 6& \text{ B }\leftarrow \text{ P2 / 2 }\\ 7& \text{ Tant que }\text{(B-A)}>10^{-\text{p}}:\\ 8& \text{ n }\leftarrow \text{ n+1 }\\ 9& \text{ A }\leftarrow \text{ ... }\\ 10& \text{ B }\leftarrow \text{ ... }\\ 11& \text{Fin Tant que}\end{array}}$

1. Reproduire et compléter cet algorithme.

2. Expliquer la condition d'arrêt de la boucle Tant que.

3. Programmer cet algorithme avec Python afin d'obtenir un encadrement de $\pi$ avec la précision $p$ donnée ainsi que le nombre de côtés correspondant. Choisir $p=1$ pour commencer puis $p=2.$
On pensera à utiliser la fonction radians pour manipuler des angles en radian avec Python.

from math import *