Chargement de l'audio en cours
Cacher

Cacher la barre d'outils

Plus

Plus


TP / TICE 1


Approximation de π\pi par la méthode d’Archimède




Énoncé

On souhaite connaître le plus précisément possible la valeur de π.\pi. Pour cela, on va utiliser la méthode d’Archimède qui consiste à encadrer la circonférence d’un cercle de rayon 11 par des polygones réguliers inscrits et circonscrits ayant de plus en plus de côtés.

Trigonométrie

Questions préliminaires :
On note Pn\mathrm{P}_{n} la valeur du périmètre du polygone régulier intérieur à nn côtés et Pn\mathrm{P}_{n}^{\prime} celle du polygone régulier extérieur à nn côtés.

1. À l’aide de la figure, justifier que P6=6.\mathrm{P}_{6}=6.

2. En sachant que tan(30)=33,\tan (30)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}, justifier que P6=43.\mathrm{P}_{6}^{\prime}=4 \sqrt{3}.

3. En déduire une première approximation de π.\pi. On admet pour la suite que Pn=2×n×sin(180n)\mathrm{P}_{n}=2 \times n \times \sin \left(\dfrac{180}{n}\right) et Pn=2×n×tan(180n).\mathrm{P}_{n}^{\prime}=2 \times n \times \tan \left(\dfrac{180}{n}\right).
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR

1. Créer une feuille de calcul permettant de calculer P\text{P} et P\text{P}' en fonction de n.n.
Remarque : Les fonctions trigonométriques du tableur attendent des angles en radian donc, si on veut calculer la valeur du cosinus de 130°, on écrira : =cos(RADIANS(130)).

Trigonométrie


2. Dans la colonne D, afficher la différence entre P\text{P}' et P.\text{P.}
3. Quelle valeur faut-il donner à nn pour avoir un encadrement de π\pi d’amplitude 101?10^{-1}\: ?
Quelle serait alors une approximation de π\pi ?

4. Quelle valeur faut-il donner à nn pour avoir un encadrement de π\pi d’amplitude 102?10^{-2}\: ? Quelle serait alors une approximation de π\pi ?

Objectif

Donner une approximation de π\pi avec la précision souhaitée à l’aide d’une des deux méthodes.

Trigonométrie
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

On souhaite créer un programme permettant de calculer une approximation de π\pi avec une précision pp donnée. Dans l’algorithme suivant, on note nn le nombre de côtés des deux polygones et P1\text{P1} et P2\text{P2} correspondent respectivement aux périmètres Pn\mathrm{P}_{n} et Pn.\text{P}_{n}^{\prime}.

1 p  1 2 n  6 3 P1  ... 4 P2  ... 5 A  P1 / 2 6 B  P2 / 2 7 Tant que (B-A)>10p:8 n  n+1 9 A  ... 10 B  ... 11Fin Tant que \boxed{ \begin{array} {c|l } 1&\text { p } \leftarrow \text { 1 } \\ 2&\text { n } \leftarrow \text { 6 } \\ 3&\text { P1 } \leftarrow \text { ... } \\ 4&\text { P2 } \leftarrow \text { ... } \\ 5&\text { A } \leftarrow \text { P1 / 2 } \\ 6&\text { B } \leftarrow \text { P2 / 2 } \\ 7&\text { Tant que } \text{(B-A)} > 10^{-\text{p}} : \\ 8&\quad \text { n } \leftarrow \text { n+1 } \\ 9&\quad \text { A } \leftarrow \text { ... } \\ 10&\quad \text { B } \leftarrow \text { ... } \\ 11&\text {Fin Tant que} \end{array} }

1. Reproduire et compléter cet algorithme.


2. Expliquer la condition d’arrêt de la boucle Tant que.


3. Programmer cet algorithme avec Python afin d’obtenir un encadrement de π\pi avec la précision pp donnée ainsi que le nombre de côtés correspondant. Choisir p=1p = 1 pour commencer puis p=2.p = 2.
On pensera à utiliser la fonction radians pour manipuler des angles en radian avec Python.

from math import *
Connectez-vous pour ajouter des favoris

Pour pouvoir ajouter ou retrouver des favoris, nous devons les lier à votre compte.Et c’est gratuit !

Livre du professeur

Pour pouvoir consulter le livre du professeur, vous devez être connecté avec un compte professeur et avoir validé votre adresse email académique.

Votre avis nous intéresse !
Recommanderiez-vous notre site web à un(e) collègue ?

Peu probable
Très probable

Cliquez sur le score que vous voulez donner.

Dites-nous qui vous êtes !

Pour assurer la meilleure qualité de service, nous avons besoin de vous connaître !
Cliquez sur l'un des choix ci-dessus qui vous correspond le mieux.

Nous envoyer un message




Nous contacter?