Chapitre 7
Entraînement 2
Cosinus et sinus d'un nombre réel
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59
[Raisonner.]
On considère le cercle trigonométrique ci-dessous. \text{M} est le point image sur le cercle d'un nombre réel x. Compléter le tableau suivant avec le signe de \cos(x) et \sin(x) en fonction de la position du point \text{M} sur le cercle.
| \text{M} est dans le quadrant | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Signe de \cos(x) | ||||
| Signe de \sin(x) |
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60
[Raisonner.] 
En utilisant le cercle trigonométrique ci-dessus, recopier et compléter le tableau suivant.
| x | \dfrac{2 \pi}{3} | \dfrac{3 \pi}{4} | \dfrac{-5 \pi}{6} | \dfrac{-3 \pi}{4} | \dfrac{-\pi}{2} |
| Point image | |||||
| \cos(x) | |||||
| \sin(x) |
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61
[Raisonner.] Même consigne que l'exercice précédent.
| x | \dfrac{5 \pi}{6} | -\pi | \dfrac{-2 \pi}{3} | \dfrac{-\pi}{4} | \dfrac{-\pi}{6} |
| Point image | |||||
| \cos(x) | |||||
| \sin(x) |
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62
[Calculer.] Sans calculatrice, calculer et réduire au même dénominateur les expressions suivantes. On pourra s'aider du cercle trigonométrique et on indiquera les étapes intermédiaires. 1. \cos \left(\dfrac{-\pi}{3}\right)-\sin \left(\dfrac{-7 \pi}{4}\right)
2. \cos \left(\dfrac{5 \pi}{3}\right)-\sin (2 \pi)+\cos \left(\dfrac{-\pi}{6}\right)
3. \cos (-2018 \pi)-\cos \left(\dfrac{-\pi}{4}\right)+\sin \left(\dfrac{3 \pi}{2}\right)-\sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)
4. \cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right)-\sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right)+\sin \left(\dfrac{4 \pi}{3}\right)
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63
[Calculer.]
Sans calculatrice, calculer les expressions suivantes. On pourra s'aider du cercle trigonométrique et on indiquera les étapes intermédiaires s'il y en a. 1. \cos ^{2}\left(\dfrac{-\pi}{13}\right)+\sin ^{2}\left(\dfrac{-\pi}{13}\right)
2. \cos ^{2}\left(\dfrac{-\pi}{6}\right)-\sin ^{2}\left(\dfrac{-\pi}{6}\right)
3. \sin \left(\dfrac{-5 \pi}{6}\right) \times \cos \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)-\cos (-\pi)
4. \dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)}{\cos ^{2}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}
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64
[Calculer.] On note \tan (x) le quotient de \sin (x) par \cos (x), défini pour tout x tel que \cos (x) \neq 0.
Par exemple, \tan (\pi)=\dfrac{\sin (\pi)}{\cos (\pi)}=\dfrac{0}{-1}=0. Compléter, lorsque c'est possible, le tableau suivant.
| x | 0 | \dfrac{\pi}{3} | \dfrac{\pi}{4} | \dfrac{-\pi}{6} | 3 \pi | \dfrac{\pi}{2} |
| \tan(x) |
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[Chercher.] La tangente d'un réel x est définie par \tan (x)=\dfrac{\sin (x)}{\cos (x)} pour toutes les valeurs de x \in \mathcal{D}_{\mathrm{T}} où \cos(x) \neq 0. Montrer que pour tous les réels x \in \mathcal{D}_{\mathrm{T}}, on a : \tan ^{2}(x)=\dfrac{1}{\cos ^{2}(x)}-1.
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66
[Raisonner.]
Dans chacun des cas suivants, déterminer un nombre réel x vérifiant les conditions données. On pourra s'aider du cercle trigonométrique. 1. \cos (x)=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}
a. avec x \in[0 \: ; \pi[
b. avec x \in ]-\pi \:;-\dfrac{\pi}{2} ]
2. \sin (x)=\dfrac{1}{2}
a. avec x \in\left[\dfrac{\pi}{2} \:; \pi[\right.
b. avec x \in\left[\dfrac{-\pi}{2}\: ; \dfrac{\pi}{2}[\right.
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67
[Raisonner.] Dans chacun des cas suivants, déterminer un nombre réel x vérifiant les conditions données. On pourra s'aider du cercle trigonométrique. 1. \cos (x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
a. avec x \in[\pi\:; 2 \pi]
b. avec x \in\left[\dfrac{\pi}{2}\:; \dfrac{3 \pi}{2}\right]
2. \sin (x)=-1
a. avec x \in ]-\pi\:; \pi ]
b. avec x \in\left[\dfrac{35 \pi}{2}\:; \dfrac{37 \pi}{2}\right]
3. \cos (x)=3 avec x \in[0\:; 2 \pi]
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[Raisonner .]
Soit x un réel dans l'intervalle ]-\pi \:; \pi ]. En s'aidant du cercle trigonométrique et en mettant en évidence chacune des conditions données, répondre aux questions suivantes. 1. Sachant que \cos (x) \in[0\:; 1] et que \sin (x) \in[-1\:; 0], donner les valeurs possibles de x.
2. Sachant que \cos (x) \in\left[\dfrac{1}{2}\:; \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right] et que \sin (x) \in\left[0\:; \dfrac{1}{2}\right] donner les valeurs possibles de x .
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69
[Raisonner.]
Même consigne que l'exercice précédent mais, cette fois, x est un réel dans l'intervalle [0\:; 2 \pi[. 1. Sachant que \cos (x) \in\left[\dfrac{\sqrt{-2}}{2}\:;\dfrac{-1}{2}\right] et que \sin (x) \in\left[\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\:; 0\right], donner les valeurs possibles de x.
2. Sachant que \cos (x) \in\left[\dfrac{-\sqrt{2}}{2} ; \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right] et que \sin (x) \in\left[\dfrac{-\sqrt{3}}{2} ; \dfrac{1}{2}\right], donner les valeurs possibles de x .
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70
[Raisonner.]
Même consigne que l'exercice précédent mais, cette fois, x est un réel de l'intervalle ]-7 \pi\:;-6 \pi ].
1. Sachant que \cos (x) \in\left[\dfrac{-1}{2}\:; \dfrac{1}{2}\right] et que \sin (x) \in\left[0\:; \dfrac{1}{2}\right], trouver les valeurs possibles de x .
2. Sachant que \cos (x) \in\left[0\:; \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right] et que \sin (x) \in\left[\dfrac{-1}{2}\:; \dfrac{1}{2}\right], trouver les valeurs possibles de x .
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71
[Calculer.]
On souhaite savoir si, quels que soient les réels \alpha et \beta, \cos (\alpha+\beta)=\cos (\alpha)+\cos (\beta). Pour cela, on teste la formule sur quelques valeurs.
1.
| \alpha=\dfrac{3 \pi}{2} ; \beta=\dfrac{-\pi}{4} | \alpha=\dfrac{2 \pi}{3} ; \beta=\dfrac{7 \pi}{6} | |
| \alpha+\beta | ||
| \cos (\alpha+\beta) | ||
| \cos (\alpha) | ||
| \cos (\beta) | ||
| \cos (\alpha)+\cos (\beta) |
2. La formule de l'énoncé est-elle vérifiée ? Justifier.
3. Faire une recherche pour déterminer comment calculer \cos (\alpha+\beta).
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72
[Calculer.]
On souhaite savoir si, quels que soient les réels \alpha et \beta, \sin (\alpha+\beta)=\sin (\alpha)+\sin (\beta). Pour cela, on teste la formule sur quelques valeurs.
1.
| \alpha=\dfrac{5 \pi}{2} ; \beta=\dfrac{3 \pi}{4} | \alpha=\dfrac{\pi}{3} ; \beta=\dfrac{-5 \pi}{6} | |
| \alpha+\beta | ||
| \sin (\alpha+\beta) | ||
| \cos (\alpha) | ||
| \sin (\beta) | ||
| \sin (\alpha)+\sin (\beta) |
2. La formule de l'énoncé est-elle vérifiée ? Justifier.
3. Faire une recherche pour déterminer comment calculer \sin (\alpha+\beta).
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73
[Calculer.]
On donne \sin \left(\dfrac{7 \pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}.
1. Calculer la valeur exacte de \cos ^{2}\left(\dfrac{7 \pi}{12}\right).
2. En déduire la valeur exacte de \cos \left(\dfrac{7 \pi}{12}\right).
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74
[Calculer.]
Soit x un réel de l'intervalle [0 ; \pi] tel que \cos (x)=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}.
1. Préciser le signe de \sin (x).
2. Parmi les valeurs suivantes, quelle est celle qui peut correspondre à x\:? Justifier.
\dfrac{-4 \pi}{5}\:; \dfrac{-2 \pi}{5}\:; \dfrac{2 \pi}{5}\:; \dfrac{4 \pi}{5}
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75
[Calculer.]
On considère un triangle \text{IJK} tel que \text{JK = 8} cm, \text{IJ = 4,8} cm et \text{KI = 6,4} cm. 1. Démontrer que le triangle \text{IJK} est un triangle rectangle.
2. Calculer la mesure en degré de l'angle \widehat{\mathrm{KJI}}. Donner la valeur arrondie au degré près.
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[Raisonner.] Pour fixer un éclairage sur la façade de sa maison, Jean doit poser une échelle contre le mur.
Pour qu'elle soit stable et pour éviter de glisser, cette dernière doit former un angle d'au moins 60° avec le sol.
L'échelle mesure 2 m. Gêné par un bassin qui longe la maison, Jean n'a pu poser son échelle qu'à 1,10 m du mur. Cette échelle sera-t-elle suffisamment stable ?
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[Calculer.] Des ingénieurs de l'Office national des forêts veulent estimer la hauteur d'un pin en plaçant leur tachéomètre au point \text{O} . Ils ont relevé les données suivantes : \mathrm{O} \mathrm{A}=15 \mathrm{m, } \widehat{\mathrm{SOA}}=45^{\circ} et \widehat{\mathrm{AOP}}=25^{\circ}. Calculer la hauteur h de l'arbre arrondie au mètre.
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
