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Entrainement 2


Cosinus et sinus d’un nombre réel





69
[Raisonner.]
Même consigne que l’exercice précédent mais, cette fois, xx est un réel dans l’intervalle [0;2π[.[0\:; 2 \pi[.
1. Sachant que cos(x)[22;12]\cos (x) \in\left[\dfrac{\sqrt{-2}}{2}\:;\dfrac{-1}{2}\right] et que sin(x)[32;0],\sin (x) \in\left[\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\:; 0\right], donner les valeurs possibles de x.x.


2. Sachant que cos(x)[22;22]\cos (x) \in\left[\dfrac{-\sqrt{2}}{2} ; \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right] et que sin(x)[32;12],\sin (x) \in\left[\dfrac{-\sqrt{3}}{2} ; \dfrac{1}{2}\right], donner les valeurs possibles de x.x .

59
[Raisonner.]
On considère le cercle trigonométrique ci-dessous. M\text{M} est le point image sur le cercle d’un nombre réel x.x. Compléter le tableau suivant avec le signe de cos(x)\cos(x) et sin(x)\sin(x) en fonction de la position du point M\text{M} sur le cercle.

Mesurer un angle en radian

 M\text{M} est dans le quadrant 1 2 3 4
Signe de cos(x)\cos(x)
Signe de sin(x)\sin(x)

77
[Raisonner.] ◉◉◉
Pour fixer un éclairage sur la façade de sa maison, Jean doit poser une échelle contre le mur.
Pour qu’elle soit stable et pour éviter de glisser, cette dernière doit former un angle d’au moins 60° avec le sol.
L’échelle mesure 2 m. Gêné par un bassin qui longe la maison, Jean n’a pu poser son échelle qu’à 1,10 m du mur.
Cette échelle sera-t-elle suffisamment stable ?

76
[Calculer.] ◉◉
Des ingénieurs de l’Office national des forêts veulent estimer la hauteur d’un pin en plaçant leur tachéomètre au point O.\text{O} . Ils ont relevé les données suivantes : OA=15m,\mathrm{O} \mathrm{A}=15 \mathrm{m, } SOA^=45 \widehat{\mathrm{SOA}}=45^{\circ} et AOP^=25.\widehat{\mathrm{AOP}}=25^{\circ}.
Calculer la hauteur hh de l’arbre arrondie au mètre.


Cosinus et sinus d’un nombre réel

Cosinus et sinus d’un nombre réel - tacheomètre

63
[Calculer.]
Sans calculatrice, calculer les expressions suivantes. On pourra s’aider du cercle trigonométrique et on indiquera les étapes intermédiaires s’il y en a.

1. cos2(π13)+sin2(π13)\cos ^{2}\left(\dfrac{-\pi}{13}\right)+\sin ^{2}\left(\dfrac{-\pi}{13}\right)

2. cos2(π6)sin2(π6)\cos ^{2}\left(\dfrac{-\pi}{6}\right)-\sin ^{2}\left(\dfrac{-\pi}{6}\right)

3. sin(5π6)×cos(2π3)cos(π)\sin \left(\dfrac{-5 \pi}{6}\right) \times \cos \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)-\cos (-\pi)

4. sin(π4)cos2(π3)\dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)}{\cos ^{2}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}


61
[Raisonner.] ◉◉

Même consigne que l’exercice précédent.

 xx 5π6\dfrac{5 \pi}{6} π-\pi 2π3\dfrac{-2 \pi}{3} π4\dfrac{-\pi}{4} π6\dfrac{-\pi}{6}
 Point image
 cos(x)\cos(x)
 sin(x)\sin(x)

66
[Raisonner.]
Dans chacun des cas suivants, déterminer un nombre réel xx vérifiant les conditions données. On pourra s’aider du cercle trigonométrique.
1. cos(x)=22\cos (x)=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}
a. avec x[0;π[x \in[0 \: ; \pi[

b. avec x]π;π2]x \in ]-\pi \:;-\dfrac{\pi}{2} ]

2. sin(x)=12\sin (x)=\dfrac{1}{2}

a. avec x[π2;π[x \in\left[\dfrac{\pi}{2} \:; \pi[\right.

b. avec x[π2;π2[x \in\left[\dfrac{-\pi}{2}\: ; \dfrac{\pi}{2}[\right.

74
[Calculer.]
Soit xx un réel de l’intervalle [0;π][0 ; \pi] tel que cos(x)=514.\cos (x)=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}.
1. Préciser le signe de sin(x).\sin (x).

2. Parmi les valeurs suivantes, quelle est celle qui peut correspondre à x?x\:? Justifier.
4π5;2π5;2π5;4π5\dfrac{-4 \pi}{5}\:; \dfrac{-2 \pi}{5}\:; \dfrac{2 \pi}{5}\:; \dfrac{4 \pi}{5}

71
[Calculer.]
On souhaite savoir si, quels que soient les réels α\alpha et β,\beta, cos(α+β)=cos(α)+cos(β).\cos (\alpha+\beta)=\cos (\alpha)+\cos (\beta). Pour cela, on teste la formule sur quelques valeurs.
1.
 α=3π2;β=π4\alpha=\dfrac{3 \pi}{2} ; \beta=\dfrac{-\pi}{4}  α=2π3;β=7π6\alpha=\dfrac{2 \pi}{3} ; \beta=\dfrac{7 \pi}{6}
 α+β\alpha+\beta
 cos(α+β)\cos (\alpha+\beta)
 cos(α)\cos (\alpha)
 cos(β)\cos (\beta)
 cos(α)+cos(β)\cos (\alpha)+\cos (\beta)

2. La formule de l’énoncé est-elle vérifiée ? Justifier.

3. Faire une recherche pour déterminer comment calculer cos(α+β).\cos (\alpha+\beta).

60
[Raisonner.] ◉◉

Cosinus et sinus d’un nombre réel

En utilisant le cercle trigonométrique ci-dessus, recopier et compléter le tableau suivant.

 xx 2π3\dfrac{2 \pi}{3} 3π4\dfrac{3 \pi}{4} 5π6\dfrac{-5 \pi}{6} 3π4\dfrac{-3 \pi}{4} π2\dfrac{-\pi}{2}
 Point image
cos(x)\cos(x)
sin(x)\sin(x)

65
[Chercher.] ◉◉
La tangente d’un réel xx est définie par tan(x)=sin(x)cos(x)\tan (x)=\dfrac{\sin (x)}{\cos (x)} pour toutes les valeurs de xDTx \in \mathcal{D}_{\mathrm{T}}cos(x)0.\cos(x) \neq 0.
Montrer que pour tous les réels xDT,x \in \mathcal{D}_{\mathrm{T}}, on a : tan2(x)=1cos2(x)1.\tan ^{2}(x)=\dfrac{1}{\cos ^{2}(x)}-1.

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 46 ; 51 ; 60 ; 61 ; 64 ; 78 et 83
◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 49 ; 54 ; 62 ; 65 ; 76 ; 80 et 81
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 56 ; 67 ; 77 et 82

62
[Calculer.] ◉◉
Sans calculatrice, calculer et réduire au même dénominateur les expressions suivantes. On pourra s’aider du cercle trigonométrique et on indiquera les étapes intermédiaires.

1. cos(π3)sin(7π4) \cos \left(\dfrac{-\pi}{3}\right)-\sin \left(\dfrac{-7 \pi}{4}\right)

2. cos(5π3)sin(2π)+cos(π6)\cos \left(\dfrac{5 \pi}{3}\right)-\sin (2 \pi)+\cos \left(\dfrac{-\pi}{6}\right)

3. cos(2018π)cos(π4)+sin(3π2)sin(π4)\cos (-2018 \pi)-\cos \left(\dfrac{-\pi}{4}\right)+\sin \left(\dfrac{3 \pi}{2}\right)-\sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)

4. cos(π6)+sin(π3)sin(π2)+sin(4π3) \cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right)-\sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right)+\sin \left(\dfrac{4 \pi}{3}\right)


67
[Raisonner.] ◉◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer un nombre réel xx vérifiant les conditions données. On pourra s’aider du cercle trigonométrique.
1. cos(x)=32\cos (x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
a. avec x[π;2π]x \in[\pi\:; 2 \pi]

b. avec x[π2;3π2]x \in\left[\dfrac{\pi}{2}\:; \dfrac{3 \pi}{2}\right]

2. sin(x)=1\sin (x)=-1
a. avec x]π;π]x \in ]-\pi\:; \pi ]

b. avec x[35π2;37π2]x \in\left[\dfrac{35 \pi}{2}\:; \dfrac{37 \pi}{2}\right]

3. cos(x)=3\cos (x)=3 avec x[0;2π]x \in[0\:; 2 \pi]


73
[Calculer.]
On donne sin(7π12)=2+64.\sin \left(\dfrac{7 \pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}.

1. Calculer la valeur exacte de cos2(7π12).\cos ^{2}\left(\dfrac{7 \pi}{12}\right).

2. En déduire la valeur exacte de cos(7π12).\cos \left(\dfrac{7 \pi}{12}\right).

68
[Raisonner .]
Soit xx un réel dans l’intervalle ]π;π].]-\pi \:; \pi ]. En s’aidant du cercle trigonométrique et en mettant en évidence chacune des conditions données, répondre aux questions suivantes.

1. Sachant que cos(x)[0;1]\cos (x) \in[0\:; 1] et que sin(x)[1;0],\sin (x) \in[-1\:; 0], donner les valeurs possibles de x.x.

2. Sachant que cos(x)[12;32]\cos (x) \in\left[\dfrac{1}{2}\:; \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right] et que sin(x)[0;12]\sin (x) \in\left[0\:; \dfrac{1}{2}\right] donner les valeurs possibles de x.x .

70
[Raisonner.]
Même consigne que l’exercice précédent mais, cette fois, xx est un réel de l’intervalle ]7π;6π]. ]-7 \pi\:;-6 \pi ].
1. Sachant que cos(x)[12;12]\cos (x) \in\left[\dfrac{-1}{2}\:; \dfrac{1}{2}\right] et que sin(x)[0;12],\sin (x) \in\left[0\:; \dfrac{1}{2}\right], trouver les valeurs possibles de x.x .

2. Sachant que cos(x)[0;32]\cos (x) \in\left[0\:; \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right] et que sin(x)[12;12],\sin (x) \in\left[\dfrac{-1}{2}\:; \dfrac{1}{2}\right], trouver les valeurs possibles de x.x .

75
[Calculer.]

On considère un triangle IJK\text{IJK} tel que JK = 8\text{JK = 8} cm, IJ = 4,8\text{IJ = 4,8} cm et KI = 6,4\text{KI = 6,4} cm.
1. Démontrer que le triangle IJK\text{IJK} est un triangle rectangle.

2. Calculer la mesure en degré de l’angle KJI^.\widehat{\mathrm{KJI}}. Donner la valeur arrondie au degré près.

64
[Calculer.] ◉◉
On note tan(x)\tan (x) le quotient de sin(x)\sin (x) par cos(x),\cos (x), défini pour tout xx tel que cos(x)0.\cos (x) \neq 0.
Par exemple, tan(π)=sin(π)cos(π)=01=0.\tan (\pi)=\dfrac{\sin (\pi)}{\cos (\pi)}=\dfrac{0}{-1}=0.
Compléter, lorsque c’est possible, le tableau suivant.

 xx 00 π3\dfrac{\pi}{3} π4\dfrac{\pi}{4} π6\dfrac{-\pi}{6} 3π3 \pi π2\dfrac{\pi}{2}
 tan(x)\tan(x)

72
[Calculer.]
On souhaite savoir si, quels que soient les réels α\alpha et β,\beta, sin(α+β)=sin(α)+sin(β).\sin (\alpha+\beta)=\sin (\alpha)+\sin (\beta). Pour cela, on teste la formule sur quelques valeurs.
1.
 α=5π2;β=3π4\alpha=\dfrac{5 \pi}{2} ; \beta=\dfrac{3 \pi}{4}  α=π3;β=5π6\alpha=\dfrac{\pi}{3} ; \beta=\dfrac{-5 \pi}{6}
 α+β\alpha+\beta
 sin(α+β)\sin (\alpha+\beta)
 cos(α)\cos (\alpha)
 sin(β)\sin (\beta)
 sin(α)+sin(β)\sin (\alpha)+\sin (\beta)

2. La formule de l’énoncé est-elle vérifiée ? Justifier.

3. Faire une recherche pour déterminer comment calculer sin(α+β).\sin (\alpha+\beta).
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