Synthèse




Club de Maths


81
[Calculer.] ◉◉
On considère le triangle ABC ci-dessous. Avec les notations de la figure, on admet la formule suivante appelée la loi des sinus : asin(α)=bsin(β)=csin(γ).\dfrac{a}{\sin (\alpha)}=\dfrac{b}{\sin (\beta)}=\dfrac{c}{\sin (\gamma)}.
On appelle S\mathcal{S} l’aire du triangle ABC.\text{ABC.}

Trigonométrie
1. Montrer que : asin(α)=bsin(β)=csin(γ)=abc2S\dfrac{a}{\sin (\alpha)}=\dfrac{b}{\sin (\beta)}=\dfrac{c}{\sin (\gamma)}=\dfrac{a b c}{2 \mathcal{S}}

2. On suppose que : a=4a=4 cm, c=7c=7 cm et β=50.\beta=50^{\circ}.
Déterminer une valeur approchée de S.\mathcal{S}.

79
ALGO
[Communiquer.]
Julien a programmé l’algorithme suivant sous Python.

from math import*
def Principale(a):
	if a ‹ -pi or a › pi:
  	return(False)
  else:
  	return(True)

1. Qu’affiche cet algorithme avec les valeurs suivantes ?
a. a=12a=12

b. a=7πa=-7 \pi

c. a=π2a=\dfrac{\pi}{2}

2. Julien souhaite maintenant créer un second algorithme qui, lorsqu’une mesure n’est pas dans l’intervalle ]π;π],]-\pi\:; \pi ], la transforme pour qu’elle le soit.
On considère donc l’algorithme ci-dessous dans lequel aa est un nombre entier. Compléter les pointillés.

 0 Si a>πAlors Tant que a>π Faire :a ...  i+1 Fin Tant que Sinon Tant que a... Faire :a... i+1 Fin Tant queFin Si \boxed{ \begin{array} { l } \text {i } \leftarrow \text { 0 } \\ \text{Si } a > \pi \\ \quad \text {Alors Tant que } a > \pi \text { Faire } : \\ \quad \text {a} \leftarrow \text { ... } \\ \quad \text {i } \leftarrow \text { i+1 } \\ \quad \text {Fin Tant que } \\ \text {Sinon Tant que } a \leqslant \text {... Faire :} \\ \quad \text {a} \leftarrow \text {...} \\ \quad \text {i } \leftarrow \text { i+1 } \\ \quad \text {Fin Tant que} \\ \text {Fin Si} \end{array} }



3. À quoi correspond la dernière valeur de la variable ii calculée par cet algorithme ?

82
[Calculer.] ◉◉◉
1. Sachant que : cos(α+β)=cos(α)cos(β)sin(α)sin(β),\cos (\alpha+\beta)=\cos (\alpha) \cos (\beta)-\sin (\alpha) \sin (\beta), montrer que :
cos(2x)=cos2(x)sin2(x)\cos (2 x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x) et en déduire que : cos2(x)=1+cos(2x)2.\cos ^{2}(x)=\dfrac{1+\cos (2 x)}{2}.

2. À l’aide de cette formule, déterminer la valeur exacte de cos2(π8)\cos ^{2}\left(\dfrac{\pi}{8}\right)

3. En déduire la valeur exacte de cos(π8)\cos \left(\dfrac{\pi}{8}\right) puis de sin(π8).\sin \left(\dfrac{\pi}{8}\right).

Dans la vie professionnelle

Trigonométrie

La réflexion de la lumière peut gêner la vision dans certaines conditions, comme le reflet du soleil sur l’asphalte, la neige ou encore l’eau. Certaines lunettes de soleil sont alors équipées de verres polarisants.
L’opticien-lunetier (ou opticienne-lunetière) est donc chargé(e) de créer des verres pour les lunettes. Des connaissances en optique et donc en trigonométrie sont nécessaires pour monter convenablement les différentes couches constituant le verre pour une protection optimale.

Histoire des maths

Trigonométrie - Al-Kashi

Les trois formules de l’exercice
87
ont été établies par le mathématicien et astronome perse Ghiyath Al-Kâshi (1380-1429). Elles sont aussi appelées théorème de Pythagore généralisé car elles fonctionnent dans tous les types de triangles, et non uniquement dans les triangles rectangles.
Al-Kâshi a apporté de nombreuses contributions, notamment en astronomie, en finance ou en architecture. Il parvint aussi à calculer le nombre π\pi jusqu’à la 16e décimale de façon exacte, un record qui sera battu en 1596.

80
ALGO
[Calculer.] ◉◉
En physique, l’intensité du courant alternatif est donné par la formule suivante : i(t)=i0×sin(ωt+φ)i(t)=i_{0} \times \sin (\omega t+\varphi) avec ω=100π\omega=100 \pi rad·s–1 et φ\varphi représente le déphasage du signal.
On a tracé ci-dessous quatre fonctions représentant différentes intensités de courant alternatif pour lesquelles i0=2A.i_{0}=2 \mathrm{A}.

Trigonométrie


1. Sans calculatrice, associer à chaque courbe l’expression ci-dessous qui lui est associée.
a. i1(t)=2sin(100π×t+3π2)i_{1}(t)=2 \sin \left(100 \pi \times t+\dfrac{3 \pi}{2}\right)
Courbe
b. i2(t)=2sin(100π×tπ6)i_{2}(t)=2 \sin \left(100 \pi \times t-\dfrac{\pi}{6}\right)
Courbe
c. i3(t)=2sin(100π×t+π4)i_{3}(t)=2 \sin \left(100 \pi \times t+\dfrac{\pi}{4}\right)
Courbe
d. i4(t)=2sin(100π×t+2π3)i_{4}(t)=2 \sin \left(100 \pi \times t+\dfrac{2 \pi}{3}\right)
Courbe
2. Deux signaux S\text{S} et S\text{S}' sont dits de même amplitude mais en opposition de phase si i0=i0i_{0}=i_{0}^{\prime} et φφ=π\varphi-\varphi^{\prime}=\pi ou φφ=π.\varphi^{\prime}-\varphi=\pi.
a. Montrer que les signaux d’intensité i5(t)=2sin(100π×tπ2)i_{5}(t)=2 \sin \left(100 \pi \times t-\dfrac{\pi}{2}\right) et i6(t)=2sin(100π×t+π2)i_{6}(t)=2 \sin \left(100 \pi \times t+\dfrac{\pi}{2}\right) sont de même amplitude mais en opposition de phase.

b. On a représenté, ci-dessous, l’intensité des deux signaux précédents.

Trigonométrie


Conjecturer la somme de leur intensité.

87
DÉFI

Avec les notations de la figure ci-dessous, on admet les formules suivantes.
  • a2=b2+c22×b×c×cos(BAC^)a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 \times b \times c \times \cos (\widehat{\text{BAC}})
  • b2=a2+c22×a×c×cos(ABC^)b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 \times a \times c \times \cos (\widehat{\text{ABC}})
  • c2=a2+b22×a×b×cos(ACB^)c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 \times a \times b \times \cos (\widehat{\text{ACB}})

Trigonométrie
Lors de la finale de la Coupe du monde de football 2018, une journaliste a étudié le placement sur le terrain de certains joueurs, ainsi que la distance qui les séparait. Elle a pris des notes mais, dans la précipitation, elle a oublié une mesure.

MAT1_CH7_p201_EX87_2


À l’aide de son croquis fait à main levée, déterminer une valeur approchée de la distance manquante entre Umtiti et Griezmann.

86
ÉNIGME

Voici un petit poème :
« Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages ! Immortel Archimède, artiste, ingénieur, qui de ton jugement peut priser la valeur ? Pour moi ton problème eut de sérieux avantages ! »

Trigonométrie


Quelle est la particularité de ce poème ?

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 43 ; 46 ; 51 ; 60 ; 61 ; 64 ; 78 et 83
◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 49 ; 54 ; 62 ; 65 ; 76 ; 80 et 81
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 56 ; 67 ; 77 et 82

84
EN OPTIQUE
[Raisonner.]
Un héron repère un poisson dans l’eau (voir ci-après). Il souhaite plonger pour l’attraper, mais il sait que lorsque la lumière passe d’un milieu à un autre, elle subit une déviation. Il ne doit donc pas aller « tout droit ».

Rappel du cours de physique de 2de : Lorsqu’un rayon issu d’un milieu d’indice n1n_1 se réfracte dans un milieu d’indice n2n_2 en formant des angles respectivement i1i_1 et i2,i_2, alors ils sont liés par la formule :
n1×sin(i1)=n2×sin(i2).n_{1} \times \sin \left(i_{1}\right)=n_{2} \times \sin \left(i_{2}\right). Pour l’eau et l’air, on a neau=1,33n_{e a u}=1{,}33 et nair=1.n_{a i r}=1.

Trigonométrie


Trigonométrie


Déterminer, au degré près, la valeur de l’angle α\alpha (α=BCA^\alpha=\widehat{\mathrm{BCA}}) pour que son plongeon lui permette d’attraper réellement sa proie (en supposant qu’il aille en ligne droite).

83
[Raisonner.] ◉◉
Un ornithologue souhaite connaître la distance parcourue par les hirondelles lorsqu’elles migrent de Bordeaux vers Libreville, au Gabon, au mois de septembre.
Ce chemin est modélisé par la ligne rouge qui correspond à un arc de cercle sur la sphère terrestre.
On sait que le rayon de la Terre est de 6 371 km. Déterminer la longueur de leur trajet au kilomètre près.


Trigonométrie

85
[Raisonner.]
On souhaite déterminer la valeur exacte de cos(2π5).\cos \left(\dfrac{2 \pi}{5}\right).
Pour cela, on considère un triangle ABC\text{ABC} isocèle en A\text{A} tel que AB = 2\text{AB = 2} et ABC^=2π5.\widehat{\mathrm{ABC}}=\dfrac{2 \pi}{5}.
On note BC=\mathrm{BC}=\ell\ell est un réel strictement positif.
On trace la bissectrice de l’angle ABC^\widehat{\mathrm{ABC}} et on note M\text{M} le point d’intersection de cette bissectrice avec le segment [AC].\text{[AC].}

1. Déterminer la mesure en radian de tous les angles du triangle ABC.\text{ABC.}

2. Déterminer la mesure en radian de tous les angles du triangle BMC\text{BMC} et en déduire que ce triangle est isocèle.

3. Démontrer que le triangle BMA\text{BMA} est isocèle.

4. Que peut-on déduire pour les longueurs BC, BM\text{BC, BM} et AM.\text{AM.}

5. On peut alors démontrer que les triangles ABC\text{ABC} et BMC\text{BMC} sont semblables ; autrement dit, BCAB=CMBC.\dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\dfrac{\mathrm{CM}}{\mathrm{BC}}.
Démontrer que \ell est solution de l’équation (+1)25=0(\ell+1)^{2}-5=0 et en déduire alors sa valeur.

6. En utilisant la construction d’une autre droite, démontrer que cos(2π5)=14×(51).\cos \left(\dfrac{2 \pi}{5}\right)=\dfrac{1}{4} \times(\sqrt{5}-1).

78
[Modéliser.] ◉◉
La surface de la Lune présente de nombreux cratères, presque tous formés par impacts.
Le schéma ci-dessous représente un de ces cratères où B\text{B} est un point d’affleurement et D\text{D} est à la verticale de B.\text{B.} C\text{C} est un point du fond du cratère supposé plat et horizontal.

Trigonométrie

Calculer la profondeur du cratère ci-contre. Arrondir au dixième de kilomètre près.


Trigonométrie - Lune
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