Chapitre 7
Synthèse
Synthèse - Objectif BAC
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78
[Modéliser.]
La surface de la Lune présente de nombreux cratères, presque tous formés par impacts.
Le schéma ci-dessous représente un de ces cratères où \text{B} est un point d'affleurement et \text{D} est à la verticale de \text{B.} \text{C} est un point du fond du cratère supposé plat et horizontal.
Le schéma ci-dessous représente un de ces cratères où \text{B} est un point d'affleurement et \text{D} est à la verticale de \text{B.} \text{C} est un point du fond du cratère supposé plat et horizontal.
Calculer la profondeur du cratère ci-contre. Arrondir au dixième de kilomètre près.
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Algo
[Communiquer.]
Julien a programmé l'algorithme suivant sous Python.
1. Qu'affiche cet algorithme avec les valeurs suivantes ?
a. a=12
b. a=-7 \pi
from math import* def Principale(a): if a ‹ -pi or a › pi: return(False) else: return(True)
1. Qu'affiche cet algorithme avec les valeurs suivantes ?
a. a=12
b. a=-7 \pi
c. a=\dfrac{\pi}{2}
2. Julien souhaite maintenant créer un second algorithme qui, lorsqu'une mesure n'est pas dans l'intervalle ]-\pi\:; \pi ], la transforme pour qu'elle le soit.
On considère donc l'algorithme ci-dessous dans lequel a est un nombre entier. Compléter les pointillés.
3. À quoi correspond la dernière valeur de la variable i calculée par cet algorithme ?
2. Julien souhaite maintenant créer un second algorithme qui, lorsqu'une mesure n'est pas dans l'intervalle ]-\pi\:; \pi ], la transforme pour qu'elle le soit.
On considère donc l'algorithme ci-dessous dans lequel a est un nombre entier. Compléter les pointillés.
\boxed{
\begin{array} { l }
\text {i } \leftarrow \text { 0 } \\
\text{Si } a > \pi \\
\quad \text {Alors Tant que } a > \pi \text { Faire } : \\
\quad \text {a} \leftarrow \text { ... } \\
\quad \text {i } \leftarrow \text { i+1 } \\
\quad \text {Fin Tant que } \\
\text {Sinon Tant que } a \leqslant \text {... Faire :} \\
\quad \text {a} \leftarrow \text {...} \\
\quad \text {i } \leftarrow \text { i+1 } \\
\quad \text {Fin Tant que} \\
\text {Fin Si}
\end{array}
}
3. À quoi correspond la dernière valeur de la variable i calculée par cet algorithme ?
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80
Algo
[Calculer.]
En physique, l'intensité du courant alternatif est donné par la formule suivante : i(t)=i_{0} \times \sin (\omega t+\varphi) avec \omega=100 \pi rad·s–1 et \varphi représentant le déphasage du signal.
On a tracé ci-dessous quatre fonctions représentant différentes intensités de courant alternatif pour lesquelles i_{0}=2 \mathrm{A}.
On a tracé ci-dessous quatre fonctions représentant différentes intensités de courant alternatif pour lesquelles i_{0}=2 \mathrm{A}.
1. Sans calculatrice, associer à chaque courbe l'expression ci-dessous qui lui est associée.
a. i_{1}(t)=2 \sin \left(100 \pi \times t+\dfrac{3 \pi}{2}\right)
Courbe
b. i_{2}(t)=2 \sin \left(100 \pi \times t-\dfrac{\pi}{6}\right)
Courbe
c. i_{3}(t)=2 \sin \left(100 \pi \times t+\dfrac{\pi}{4}\right)
Courbe
d. i_{4}(t)=2 \sin \left(100 \pi \times t+\dfrac{2 \pi}{3}\right)
Courbe
a. i_{1}(t)=2 \sin \left(100 \pi \times t+\dfrac{3 \pi}{2}\right)
Courbe
b. i_{2}(t)=2 \sin \left(100 \pi \times t-\dfrac{\pi}{6}\right)
Courbe
c. i_{3}(t)=2 \sin \left(100 \pi \times t+\dfrac{\pi}{4}\right)
Courbe
d. i_{4}(t)=2 \sin \left(100 \pi \times t+\dfrac{2 \pi}{3}\right)
Courbe
2. Deux signaux \text{S} et \text{S}' sont dits de même amplitude mais en opposition de phase si i_{0}=i_{0}^{\prime} et \varphi-\varphi^{\prime}=\pi ou \varphi^{\prime}-\varphi=\pi.
a. Montrer que les signaux d'intensité i_{5}(t)=2 \sin \left(100 \pi \times t-\dfrac{\pi}{2}\right) et i_{6}(t)=2 \sin \left(100 \pi \times t+\dfrac{\pi}{2}\right) sont de même amplitude mais en opposition de phase.
b. On a représenté, ci-dessous, l'intensité des deux signaux précédents.
Conjecturer la somme de leur intensité.
a. Montrer que les signaux d'intensité i_{5}(t)=2 \sin \left(100 \pi \times t-\dfrac{\pi}{2}\right) et i_{6}(t)=2 \sin \left(100 \pi \times t+\dfrac{\pi}{2}\right) sont de même amplitude mais en opposition de phase.
b. On a représenté, ci-dessous, l'intensité des deux signaux précédents.
Conjecturer la somme de leur intensité.
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81
[Calculer.]
On considère le triangle ABC ci-dessous. Avec les notations de la figure, on admet la formule
suivante appelée la loi des sinus :
\dfrac{a}{\sin (\alpha)}=\dfrac{b}{\sin (\beta)}=\dfrac{c}{\sin (\gamma)}.
On appelle \mathcal{S} l'aire du triangle \text{ABC.}
On appelle \mathcal{S} l'aire du triangle \text{ABC.}
2. On suppose que : a=4 cm, c=7 cm et \beta=50^{\circ}.
Déterminer une valeur approchée de \mathcal{S}.
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82
[Calculer.] 1. Sachant que : \cos (\alpha+\beta)=\cos (\alpha) \cos (\beta)-\sin (\alpha) \sin (\beta), montrer que :
\cos (2 x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x) et en déduire que : \cos ^{2}(x)=\dfrac{1+\cos (2 x)}{2}.
2. À l'aide de cette formule, déterminer la valeur exacte de \cos ^{2}\left(\dfrac{\pi}{8}\right)
3. En déduire la valeur exacte de \cos \left(\dfrac{\pi}{8}\right) puis de \sin \left(\dfrac{\pi}{8}\right).
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83
[Raisonner.]
Un ornithologue souhaite connaître la distance parcourue par les hirondelles lorsqu'elles migrent de Bordeaux vers Libreville, au Gabon, au mois de septembre.
Ce chemin est modélisé par la ligne rouge qui correspond à un arc de cercle sur la sphère terrestre.
On sait que le rayon de la Terre est de 6 371 km. Déterminer la longueur de leur trajet au kilomètre près.
Ce chemin est modélisé par la ligne rouge qui correspond à un arc de cercle sur la sphère terrestre.
On sait que le rayon de la Terre est de 6 371 km. Déterminer la longueur de leur trajet au kilomètre près.
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84
En Optique
[Raisonner.]
Un héron repère un poisson dans l'eau (voir ci-après). Il souhaite plonger pour l'attraper, mais il sait que lorsque la lumière passe d'un milieu à un autre, elle subit une déviation. Il ne doit donc pas aller « tout droit ».
Rappel du cours de physique de 2de
Lorsqu'un rayon issu d'un milieu d'indice n_1 se réfracte dans un milieu d'indice n_2 en formant des angles respectivement i_1 et i_2, alors ils sont liés par la formule :n_{1} \times \sin \left(i_{1}\right)=n_{2} \times \sin \left(i_{2}\right). Pour l'eau et l'air, on a n_{e a u}=1{,}33 et n_{a i r}=1.
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La réflexion de la lumière peut gêner la vision dans certaines conditions, comme le reflet du soleil sur l'asphalte, la neige ou encore l'eau. Certaines lunettes de soleil sont alors équipées de verres polarisants.
L'opticien-lunetier (ou opticienne-lunetière) est donc chargé(e) de créer des verres pour les lunettes. Des connaissances en optique et donc en trigonométrie sont nécessaires pour monter convenablement les différentes couches constituant le verre pour une protection optimale.
L'opticien-lunetier (ou opticienne-lunetière) est donc chargé(e) de créer des verres pour les lunettes. Des connaissances en optique et donc en trigonométrie sont nécessaires pour monter convenablement les différentes couches constituant le verre pour une protection optimale.
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85
[Raisonner.]
On souhaite déterminer la valeur exacte de \cos \left(\dfrac{2 \pi}{5}\right).
Pour cela, on considère un triangle \text{ABC} isocèle en \text{A} tel que \text{AB = 2} et \widehat{\mathrm{ABC}}=\dfrac{2 \pi}{5}.
On note \mathrm{BC}=\ell où \ell est un réel strictement positif.
On trace la bissectrice de l'angle \widehat{\mathrm{ABC}} et on note \text{M} le point d'intersection de cette bissectrice avec le segment \text{[AC].}
1. Déterminer la mesure en radian de tous les angles du triangle \text{ABC.}
2. Déterminer la mesure en radian de tous les angles du triangle \text{BMC} et en déduire que ce triangle est isocèle.
3. Démontrer que le triangle \text{BMA} est isocèle.
2. Déterminer la mesure en radian de tous les angles du triangle \text{BMC} et en déduire que ce triangle est isocèle.
3. Démontrer que le triangle \text{BMA} est isocèle.
4. Que peut-on déduire pour les longueurs \text{BC, BM} et \text{AM.}
5. On peut alors démontrer que les triangles \text{ABC} et \text{BMC} sont semblables ; autrement dit, \dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\dfrac{\mathrm{CM}}{\mathrm{BC}}.
Démontrer que \ell est solution de l'équation (\ell+1)^{2}-5=0 et en déduire alors sa valeur.
6. En utilisant la construction d'une autre droite, démontrer que \cos \left(\dfrac{2 \pi}{5}\right)=\dfrac{1}{4} \times(\sqrt{5}-1).
5. On peut alors démontrer que les triangles \text{ABC} et \text{BMC} sont semblables ; autrement dit, \dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\dfrac{\mathrm{CM}}{\mathrm{BC}}.
Démontrer que \ell est solution de l'équation (\ell+1)^{2}-5=0 et en déduire alors sa valeur.
6. En utilisant la construction d'une autre droite, démontrer que \cos \left(\dfrac{2 \pi}{5}\right)=\dfrac{1}{4} \times(\sqrt{5}-1).
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Club de Maths
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Énigme
Voici un petit poème :
« Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages ! Immortel Archimède, artiste, ingénieur, qui de ton jugement peut priser la valeur ? Pour moi ton problème eut de sérieux avantages ! »
Quelle est la particularité de ce poème ?
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Défi
Avec les notations de la figure ci-dessous, on admet les formules suivantes.
- a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 \times b \times c \times \cos (\widehat{\text{BAC}})
- b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 \times a \times c \times \cos (\widehat{\text{ABC}})
- c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 \times a \times b \times \cos (\widehat{\text{ACB}})
Lors de la finale de la Coupe du monde de football 2018, une journaliste a étudié le placement sur le terrain de certains joueurs, ainsi que la distance qui les séparait. Elle a pris des notes mais, dans la précipitation, elle a oublié une mesure.
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Les trois formules de l'exercice
Al-Kâshi a apporté de nombreuses contributions, notamment en astronomie, en finance ou en architecture. Il parvint aussi à calculer le nombre \pi jusqu'à la 16e décimale de façon exacte, un record qui sera battu en 1596.
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ont été établies par le
mathématicien et astronome perse Ghiyath Al-Kâshi (1380-1429). Elles sont aussi appelées théorème de Pythagore généralisé car elles fonctionnent dans tous les types de triangles, et non uniquement
dans les triangles rectangles.Al-Kâshi a apporté de nombreuses contributions, notamment en astronomie, en finance ou en architecture. Il parvint aussi à calculer le nombre \pi jusqu'à la 16e décimale de façon exacte, un record qui sera battu en 1596.
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j'ai une idée !
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