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Chapitre 7


Trigonométrie






Les origines de la trigonométrie remontent jusqu’aux babyloniens, 2 000 ans avant notre ère. À cette époque, la trigonométrie est directement appliquée à l’étude du monde et notamment à l’astronomie. De nos jours, l’observation des étoiles (ici avec le grand télescope d’Afrique australe) permet de mieux comprendre les origines de notre Univers

Capacités attendues - chapitre 7

1. Placer un point sur le cercle trigonométrique.
2. Par la lecture du cercle trigonométrique, déterminer, pour des valeurs remarquables de x,x, les valeurs de cosinus et sinus d’angles associés à x.x.
3. Déterminer l’image d’un nombre réel par enroulement de la droite numérique.

Rollercoaster, Généralités sur les fonctions

Avant de commencer

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2
Calculer des périmètres circulaires

Donner la valeur exacte de la circonférence :

1. d’un cercle de rayon 5 ;

2. d’un cercle de diamètre 3 ;

3. d’un quart de cercle de rayon 2 ;

4. d’un demi-cercle de rayon 1.
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6
Calculer des longueurs et des aires

Dans la figure ci-dessous, le segment [AB][\mathrm{AB}] mesure 10 cm et on a placé un point H\text{H} sur ce segment tel que AH = 3\text{AH = 3} cm. On construit le point C\text{C} de telle sorte que :
  • H\text{H} est le pied de la hauteur issue de C\text{C} dans le triangle ABC ;\text{ABC ;}
  • BAC^=60.\widehat{\mathrm{BAC}}=60^{\circ}.

Trigonométrie


1. Calculer la valeur exacte de la longueur AC.\text{AC.}

2. Déterminer la longueur CH\text{CH} arrondie au millimètre près.

3. Déterminer alors l’aire du triangle ABC.\text{ABC.}

4. En déduire la longueur du segment [BK][\mathrm{BK}]K\text{K} est le pied de la hauteur issue de B\text{B} dans le triangle ABC.\text{ABC.}

Anecdote

John Machin, mathématicien anglais, est connu pour avoir calculé, en 1706, 100 décimales de π\pi grâce à la formule qui porte son nom. Il fit partie de la commission qui arbitra la controverse relative à la paternité du calcul infinitésimal entre Leibniz et Newton en 1712.
La formule de Machin est :
π4=4arctan(15)arctan(1239)\dfrac{\pi}{4}=4 \arctan \left(\dfrac{1}{5}\right)-\arctan \left(\dfrac{1}{239}\right)
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3
Placer des nombres dans un repère

À l’aide de la calculatrice, placer approximativement sur la frise les nombres ci-après.

Trigonométrie


1. 2π-2 \pi
2. π3\dfrac{\pi}{3}
3. π\pi
4. π2\dfrac{-\pi}{2}
5. π4\dfrac{-\pi}{4}
6. 7π6\dfrac{7 \pi}{6}
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7
Problème

Une tyrolienne permet de se déplacer entre deux arbres. Au Parc aventure du Bugey, la tyrolienne mesure 58 m et forme, avec l’horizontale, un angle de 8°. On supposera que la corde est rectiligne. De quelle distance, arrondie au centimètre, sont espacés les deux arbres ?
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5
Placer des nombres dans un repère

Soit ABC\text{ABC} un triangle rectangle en B\text{B} tel que AC = 6\text{AC = 6} cm et BC = 3 cm.\text{BC = 3 cm.}
Trigonométrie


Déterminer la mesure de tous les angles de la figure.

Prérequis

1. Calculer avec des nombres exprimés en écriture fractionnaire.
2. Déterminer la longueur d’un arc de cercle.
3. Placer des nombres sur un axe gradué.
4. Connaître le théorème de Pythagore.
5. Utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle.
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4
Utiliser le théorème de Pythagore

On considère le triangle ABC\text{ABC} rectangle en A\text{A} tel que AB = 10\text{AB = 10} et AC = 4.\text{AC = 4.}

1. Calculer la longueur BC.\text{BC.}

2. En déduire le cosinus de l’angle ABC^.\widehat{\mathrm{ABC}}.

3. Déterminer alors une mesure de l’angle ABC^\widehat{\mathrm{ABC}} arrondie au dixième de degré près.
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1
Simplifier des écritures fractionnaires

Calculer et donner sous forme d’une fraction irréductible les nombres suivants.

1. π3+π2\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{2}

2. π6+7π\dfrac{\pi}{6}+7 \pi

3. ππ4\pi-\dfrac{\pi}{4}

4. 5π63π4\dfrac{-5 \pi}{6}-\dfrac{3 \pi}{4}
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