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Nouvelle épreuve Bac

Algèbre

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Ch. 1
Suites numériques

Ch. 2
Fonctions de référence

Ch. 3
Équations et inéquations du second degré

Analyse

Ch. 4
Dérivation

Ch. 5
Applications de la dérivation

Ch. 6
Fonction exponentielle

Ch. 7
Trigonométrie

Ch. 8
Fonctions trigonométriques

Géométrie

Ch. 9
Produit scalaire

Ch. 10
Configurations géométriques

Probabilités et statistiques

Ch. 11
Probabilités conditionnelles

Ch. 12
Variables aléatoires réelles

Annexes

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

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Chapitre 7

Cours 2

Cosinus et sinus d'un nombre réel

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A
Généralités

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Définition

On considère un réel

x

ayant pour point image le point

M

sur le cercle trigonométrique.

L'abscisse du point $M$ est appelée cosinus de $x .$ On la note $cos (x) .$
L'ordonnée du point $M$ est appelée sinus de $x .$ On la note $sin (x) .$

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Propriété

Pour tout nombre réel

x,

on a :

$- 1 ⩽ cos (x) ⩽ 1$
$- 1 ⩽ sin (x) ⩽ 1$
$cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1$

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Notation

Lorsqu'il n'y a pas de confusion possible, on pourra écrire directement

cos x

sin x .

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Démonstration

Comme

M

est sur le cercle trigonométrique et que ce cercle a pour rayon

1,

par définition du sinus et du cosinus, on obtient directement les deux premiers résultats. Pour le dernier résultat, on utilise le théorème de Pythagore en prenant le rayon

[OM]

du cercle comme hypoténuse.

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Exemple

$cos^{2} (\frac{π}{7}) + sin^{2} (\frac{π}{7}) = 1$

$cos^{2} (\frac{- π}{3}) + sin^{2} (\frac{- π}{3}) = 1$

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Notation

cos^{2} (x) = [cos (x)]^{2}

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Application et méthode

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Énoncé

Sachant que

x \in [\frac{π}{2}; π]

et que

sin (x) = 0, 4,

donner la valeur exacte puis une valeur approchée au centième de

cos (x) .

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Méthode

On utilise la formule $cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1$ qui permet de relier le sinus et le cosinus d'un nombre.
On résout l'équation associée.
On choisit la bonne valeur en utilisant l'intervalle auquel appartient $x .$

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Solution

On sait que

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

donc

cos^{2} (x) = 1 - 0, 4^{2} = 0, 84.

On en déduit que

cos (x) = 0, 84

cos (x) = - 0, 84

Or,

x \in [\frac{π}{2}; π]

donc

cos (x) ⩽ 0

et ainsi

cos (x) = - 0, 84 \approx - 0, 92

Pour s'entraîner

Exercices 29
à 31
p. 193

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B
Valeurs remarquables

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Tableau des valeurs remarquables à connaître :

angle	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$
$cos (x)$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- 1$	$0$	$1$
$sin (x)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$0$	$- 1$	$0$

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Démonstration

Voir

Travailler ensemble

p. 192.

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Remarque

Grâce à ce tableau, on peut en déduire d'autres mesures de cosinus et sinus comme on le verra dans les exercices.

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Démonstration au programme

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Démonstration au programme

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Application et méthode

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Énoncé

Sans utiliser la calculatrice, déterminer la valeur exacte de

cos (\frac{2 π}{3}) + sin (\frac{- 5 π}{6}) \times sin (\frac{- π}{3}) .

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Méthode

On commence par repérer les valeurs remarquables qui seront utiles.
En s'aidant du cercle trigonométrique et des symétries, on détermine les valeurs intervenant dans l'expression.
On effectue le calcul sans faire d'erreur de signe.

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Solution

cos (\frac{2 π}{3}) = - cos (\frac{π}{3}) = \frac{- 1}{2}

sin (\frac{- 5 π}{6}) = - sin (\frac{π}{6}) = \frac{- 1}{2}

sin (\frac{- π}{3}) = - sin (\frac{π}{3}) = \frac{- 3}{2}

Donc,

cos (\frac{2 π}{3}) + sin (\frac{- 5 π}{6}) \times sin (\frac{- π}{3}) = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{- 3}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{- 2 + 3}{4}

Pour s'entraîner

Exercices 32
et 33
p. 193

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Notation

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Démonstration au programme

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