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COURS 2


2
Cosinus et sinus d’un nombre réel




A
Généralités


Définitions

On considère un réel xx ayant pour point image le point M\text{M} sur le cercle trigonométrique.
  • L’abscisse du point M\text{M} est appelée cosinus de x.x. On la note cos(x).\cos (x).
  • L’ordonnée du point M\text{M} est appelée sinus de x.x. On la note sin(x).\sin (x).


Cosinus et sinus d’un nombre réel

NOTATION

Lorsqu’il n’y a pas de confusion possible, on pourra écrire directement cosx\cos x et sinx. \sin x.

Propriétés

Pour tout nombre réel x,x, on a :
  • 1cos(x)1-1 \leqslant \cos (x) \leqslant 1
  • 1sin(x)1-1 \leqslant \sin (x) \leqslant 1
  • cos2(x)+sin2(x)=1\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1

DÉMONSTRATION

Comme M\text{M} est sur le cercle trigonométrique et que ce cercle a pour rayon 1,1, par définition du sinus et du cosinus, on obtient directement les deux premiers résultats. Pour le dernier résultat, on utilise le théorème de Pythagore en prenant le rayon [OM][\mathrm{OM}] du cercle comme hypoténuse.

Exemples

  • cos2(π7)+sin2(π7)=1\cos ^{2}\left(\dfrac{\pi}{7}\right)+\sin ^{2}\left(\dfrac{\pi}{7}\right)=1

  • cos2(π3)+sin2(π3)=1\cos ^{2}\left(\dfrac{-\pi}{3}\right)+\sin ^{2}\left(\dfrac{-\pi}{3}\right)=1

NOTATION

cos2(x)=[cos(x)]2{\cos ^{2}(x)} {=[\cos (x)]^{2}}

Application et méthode

Énoncé

Sachant que x[π2;π]x \in\left[\dfrac{\pi}{2} \:; \pi\right] et que sin(x)=0,4,\sin (x)=0{,}4, donner la valeur exacte puis une valeur approchée au centième de cos(x).\cos (x).

Méthode

  • On utilise la formule cos2(x)+sin2(x)=1\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1 qui permet de relier le sinus et le cosinus d’un nombre.
  • On résout l’équation associée.
  • On choisit la bonne valeur en utilisant l’intervalle auquel appartient x.x.

SOLUTION

On sait que cos2(x)+sin2(x)=1\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1 donc cos2(x)=10,42=0,84.\cos ^{2}(x)=1-0{,}4^{2}=0{,}84.
On en déduit que cos(x)=0,84\cos (x)=\sqrt{0{,}84} ou cos(x)=0,84\cos (x)=-\sqrt{0{,}84}
Or, x[π2;π]x \in\left[\dfrac{\pi}{2} \:; \pi\right] donc cos(x)0\cos (x) \leqslant 0 et ainsi cos(x)=0,840,92\cos (x)=-\sqrt{0{,}84} \approx-0{,}92

Pour s'entraîner : exercices 29 à 31 p. 193

B
Valeurs remarquables


Tableau des valeurs remarquables à connaître :

 angle 00 π6\dfrac{\pi}{6} π4\dfrac{\pi}{4} π3\dfrac{\pi}{3} π2\dfrac{\pi}{2} π\pi 3π2\dfrac{3\pi}{2} 2π2\pi
 cos(x)\cos(x) 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} 12\dfrac{1}{2} 00 1-1 00 11
 sin(x)\sin(x) 00 12\dfrac{1}{2} 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 11 00 1-1 00


DÉMONSTRATION
Voir Travailler ensemble p. 192

Remarque

Grâce à ce tableau, on peut en déduire d’autres mesures de cosinus et sinus comme on le verra dans les exercices.

Démonstration au programme

Démonstration au programme

Cosinus et sinus d’un nombre réel

Application et méthode

Énoncé

Sans utiliser la calculatrice, déterminer la valeur exacte de cos(2π3)+sin(5π6)×sin(π3).\cos \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\sin \left(\dfrac{-5 \pi}{6}\right) \times \sin \left(\dfrac{-\pi}{3}\right).

Méthode

  • On commence par repérer les valeurs remarquables qui seront utiles.
  • En s’aidant du cercle trigonométrique et des symétries, on détermine les valeurs intervenant dans l’expression.
  • On effectue le calcul sans faire d’erreur de signe.

SOLUTION


cos(2π3)=cos(π3)=12\cos \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)=-\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{-1}{2}

sin(5π6)=sin(π6)=12\sin \left(\dfrac{-5 \pi}{6}\right)=-\sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{-1}{2}

sin(π3)=sin(π3)=32\sin \left(\dfrac{-\pi}{3}\right)=-\sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}

Donc, cos(2π3)+sin(5π6)×sin(π3)=1212×32=12+34=2+34\cos \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\sin \left(\dfrac{-5 \pi}{6}\right) \times \sin \left(\dfrac{-\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \times \dfrac{-\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{-2+\sqrt{3}}{4}

Pour s'entraîner : exercices 32 et 33 p. 193
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