Résolution d'un problème du premier degré

Résoudre une équation du premier degré à une inconnue revient à trouver la valeur de l'inconnue pour laquelle l'égalité est vraie. Cette valeur est appelée solution de l'équation.

Pour résoudre un problème du premier degré, il y a plusieurs étapes à respecter.

Deux amis ont dépensé exactement la même somme à la boulangerie.
Thomas a acheté six beignets au chocolat et trois euros de bonbons alors que Éva a acheté deux beignets au chocolat et neuf euros de bonbons. Déterminer le prix d'un beignet au chocolat.

• Étape 1 : l'inconnue correspond au prix d'un beignet au chocolat que l'on désigne par la lettre $x$.
• Étape 2 : l'équation qui traduit le problème est $6x+3=2x+9$.
• Étape 3 : la solution de l'équation est $x=1,5$.
• Étape 4 : $6\times 1,5+3=12$ et $2\times 1,5+9=12$ donc $1,5$ est bien solution de l'équation.
• Étape 5 : le prix d'un beignet au chocolat est de $1,5$ €.

• Une inéquation du premier degré à une inconnue est une inégalité composée de deux membres, qui contient une inconnue, que l'on note en général par la lettre $x$. Les deux membres d'une inéquation sont séparés par un des signes suivants : $<$ (inférieur) ; $>$ (supérieur) ; $⩽$ (inférieur ou égal) ; $⩾$ (supérieur ou égal).
• Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue revient à trouver l'ensemble des valeurs de l'inconnue pour lesquelles cette inégalité est vraie. Ces valeurs sont appelées solutions de l'inéquation.

Attention, si on multiplie ou si l'on divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre strictement négatif, le signe de l'inégalité s'inverse ($<$ devient $>$ et $⩾$ devient $⩽$, et inversement).

Florent va très régulièrement à la piscine et il hésite entre deux cartes d'abonnement.
Carte fréquence → 25 € par mois et 1,20 € l'entrée ; Carte avantage → 12 € par mois et 2,50 € l'entrée.

Problématique : À partir de combien d'entrées Florent a-t-il intérêt à prendre la carte fréquence ?

1. Identifier ce que représente l'inconnue.
L'inconnue correspond au nombre d'entrées que l'on désigne par la lettre $x$.

2. Traduire le problème par une inéquation.
Coût avec la carte fréquence : $25+1,20x.$
Coût avec la carte avantage : $12+2,50x$.
L'inéquation permettant de répondre à la problématique est $25+1,20x<12+2,50x.$

3. Résoudre algébriquement puis graphiquement l'inéquation.

Méthode algébrique :

• On soustrait $2,50x$ dans chaque membre et on réduit.

  $\begin{array}{rl}25+1,20x-2,50x& <12+2,50x-2,50x\\ 25-1,30x& <12\end{array}$
• On soustrait $25$ dans chaque membre et on réduit.

  $\begin{array}{rl}25-1,30x-25& <12-25\\ -1,30x& <-13\end{array}$
• On divise chaque membre par $-1,30$ qui est un nombre négatif donc on inverse le signe de l'inégalité.

  $\begin{array}{rl}\frac{-1,30x}{-1,30}& >\frac{-13}{-1,30}\\ x& >10\end{array}$

Méthode graphique :
4. Répondre à la problématique.