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Nouvelle épreuve Bac

Algèbre

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Ch. 1
Suites numériques

Ch. 2
Fonctions de référence

Ch. 3
Équations et inéquations du second degré

Analyse

Ch. 4
Dérivation

Ch. 5
Applications de la dérivation

Ch. 6
Fonction exponentielle

Ch. 7
Trigonométrie

Ch. 8
Fonctions trigonométriques

Géométrie

Ch. 9
Produit scalaire

Ch. 10
Configurations géométriques

Probabilités et statistiques

Ch. 11
Probabilités conditionnelles

Ch. 12
Variables aléatoires réelles

Annexes

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

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Chapitre 3

Cours 1

Équation du second degré

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Dans ce chapitre, sauf indication contraire,

a

b

c

sont trois réels avec

a \neq = 0

et on ne considèrera que des trinômes du second degré.

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A
Discriminant d'un trinôme

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Définition

Le discriminant d'un trinôme

a x^{2} + b x + c

est le nombre

Δ = b^{2} - 4 a c .

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Remarque

Le symbole

Δ

se lit « delta ».

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Théorème

Pour tout

x \in R, a x^{2} + b x + c = a [(x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a ^{2}}] .

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Démonstration

On considère un trinôme du second degré :

a x^{2} + b x + c .

On rappelle que

a \neq = 0.

Pour tout réel

x

a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) .

x^{2} + \frac{b}{a} x = x^{2} + 2 \times \frac{b}{2 a} x + (\frac{b}{2 a})^{2} - (\frac{b}{2 a})^{2} .

Donc

x^{2} + \frac{b}{a} x = (x + \frac{b}{2 a})^{2} - (\frac{b}{2 a})^{2} .

Ainsi, on a :

a x^{2} + b x + c

= a [(x + \frac{b}{2 a})^{2} - (\frac{b}{2 a})^{2} + \frac{c}{a}] = a [(x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} + \frac{4 a c}{4 a ^{2}}] = a [(x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}}] = a [(x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a ^{2}}]

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Remarque

La deuxième étape consiste à ajouter puis à retirer

(\frac{b}{2 a})^{2}

afin de faire apparaître une identité remarquable.

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Définition

L'expression

a [(x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a ^{2}}]

est appelée forme canonique du trinôme

a x^{2} + b x + c .

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Exemples

La forme canonique de

f (x) = x^{2} + 8 x + 7

est

f (x) = (x + 4)^{2} - 9.

Celle de

g (x) = 3 x^{2} - 9 x + 8

est

g (x) = 3 [(x - \frac{3}{2})^{2} + \frac{5}{12}] .

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Remarque

En développant la forme canonique, on obtient

a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a} .

Cette expression correspond à celle donnée dans le chapitre 2 « Fonctions de référence » avec

α = - \frac{b}{2 a}

β = - \frac{Δ}{4 a} .

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Application et méthode

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Énoncé

Mettre la fonction trinôme

f

définie sur

R

par

f (x) = 2 x^{2} + 8 x - 1

sous forme canonique.

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Méthode

1. On commence par mettre le coefficient

a

en facteur : ici,

a = 2.

x^{2} + 4 x

est le début du développement de

(x + 2)^{2} .

On remplace donc

x^{2} + 4 x

par

(x + 2)^{2} - 4.

3. On termine la mise sous forme canonique en calculant

- 4 - \frac{1}{2} .

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Solution

f (x) = 2 x^{2} + 8 x - 1 = 2 (x^{2} + 4 x - \frac{1}{2})

= 2 [(x + 2)^{2} - 4 - \frac{1}{2}] = 2 [(x + 2)^{2} - \frac{9}{2}]

Pour s'entraîner

Exercices 18
p. 87 et 37
à 39
p. 88

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B
Résolution d'une équation du second degré

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Définition

On appelle équation du second degré à une inconnue toute équation qui peut s'écrire sous la forme :

a x^{2} + b x + c = 0

avec

a \neq = 0.

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Théorème

Si $Δ < 0$ alors l'équation $a x^{2} + b x + c = 0$ n'a pas de solution réelle.
Si $Δ = 0$ alors l'équation a une solution réelle : $x_{0} = - \frac{b}{2 a} .$
Si $Δ > 0$ alors l'équation a deux solutions réelles distinctes :

$x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}$ et $x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a} .$

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Démonstration

Résoudre

a x^{2} + b x + c = 0

équivaut à résoudre :

a [(x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a ^{2}}] = 0

\Leftrightarrow (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a ^{2}} = 0

, car

a \neq = 0

\Leftrightarrow (x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{Δ}{4 a ^{2}}

Le nombre de solutions dépend du signe de

Δ.

Si $Δ < 0$ : $\frac{Δ}{4 a ^{2}} < 0$ et $(x + \frac{b}{2 a})^{2} ⩾ 0$ , car un carré est toujours positif ou nul sur $R .$

Par conséquent, l'équation $(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{Δ}{4 a ^{2}}$ n'a pas de solution réelle et l'équation $a x^{2} + b x + c = 0$ n'a pas de solution réelle.
Si $Δ = 0$ : l'équation devient $(x + \frac{b}{2 a})^{2} = 0$ et admet la solution $- \frac{b}{2 a} .$
Si $Δ > 0$ : l'équation $(x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a ^{2}} = 0$ est la différence de deux nombres positifs donc l'équation est de la forme $A^{2} - B^{2} = 0.$ De ce fait :

$(x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a ^{2}} = 0$

$\Leftrightarrow (x + \frac{b}{2 a} - \frac{Δ}{2 a}) (x + \frac{b}{2 a} + \frac{Δ}{2 a}) = 0$

$\Leftrightarrow x + \frac{b}{2 a} - \frac{Δ}{2 a} = 0$ ou $x + \frac{b}{2 a} + \frac{Δ}{2 a} = 0$

$\Leftrightarrow x = - \frac{b}{2 a} + \frac{Δ}{2 a}$ ou $x = - \frac{b}{2 a} - \frac{Δ}{2 a}$

L'équation a deux solutions réelles distinctes :

$x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a} et x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a} .$

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Remarque

Dans le cas où

Δ = 0

(x + \frac{b}{2 a})^{2} = (x + \frac{b}{2 a}) (x + \frac{b}{2 a}) .

La racine

- \frac{b}{2 a}

est appelée racine double du trinôme.

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Démonstration au programme

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Définition

Les racines réelles d'un trinôme

a x^{2} + b x + c

sont, lorsqu'elles existent, les solutions de l'équation

a x^{2} + b x + c = 0.

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Exemples

L'équation

2 x^{2} + x - 3 = 0

admet deux solutions réelles distinctes :

x_{1} = - \frac{3}{2}

x_{2} = 1 (Δ = 25

25 > 0) .

L'équation

x^{2} + x + 1 = 0

n'admet aucune solution réelle, car

Δ = - 3

- 3 < 0

.

L'équation

9 x^{2} - 30 x + 25 = 0

admet une solution :

x_{0} = \frac{5}{3} (Δ = 0) .

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Application et méthode

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Énoncé

Résoudre les équations du second degré suivantes.

1.

3 x^{2} - 4 x - 2 = 0

- 3 x^{2} + x - 2 = 0

25 x^{2} + 70 x + 49 = 0

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Méthode

On commence par identifier les coefficients $a$ , $b$ et $c$ de l'équation.

On vérifie si l'équation est facile à résoudre : c'est le cas lorsque $b = 0$ ou $c = 0$ , ou encore lorsqu'on reconnaît une identité remarquable.

Si l'équation n'est pas évidente, on calcule le discriminant $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

En fonction du signe de $Δ$ , on détermine le nombre de solutions de l'équation.

On donne les solutions éventuelles en utilisant les formules données dans le théorème.

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Solution

1. On a

Δ = (- 4)^{2} - 4 \times 3 \times (- 2) = 40.

Δ > 0

donc l'équation admet deux solutions réelles distinctes :

x_{1} = \frac{- ( - 4 ) - 40}{2 \times 3}

x_{2} = \frac{- ( - 4 ) + 40}{2 \times 3} .

Or,

40 = 210

donc

x_{1} = \frac{2 - 10}{3}

x_{2} = \frac{2 + 10}{3} .

2. On a

Δ = 1^{2} - 4 \times (- 3) \times (- 2) = - 23.

Δ < 0

donc l'équation n'admet pas de solution dans

R .

Δ = 7 0^{2} - 4 \times 25 \times 49 = 0.

L'équation admet une solution réelle :

x_{0} = \frac{- 70}{2 \times 25} = \frac{- 7}{5} .

On peut aussi reconnaître une identité remarquable : l'équation équivaut à

(5 x + 7)^{2} = 0

et on obtient donc également

x_{0} = \frac{- 7}{5} .

Pour s'entraîner

Exercices 22
à 26
p. 87

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C
Interprétation graphique

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On peut résumer le théorème précédent avec le tableau suivant :

	Cas $a > 0$ (parabole tournée vers le haut)	Cas $a < 0$ (parabole tournée vers le bas)
$Δ < 0$ : pas de racine
$Δ = 0$ : une racine
$Δ > 0$ : deux racines

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Ch. 12Variables aléatoires réelles

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

Équation du second degré

ADiscriminant d'un trinôme

Remarque

Remarque

Remarque

Méthode

BRésolution d'une équation du second degré

Remarque

Démonstration au programme

Méthode

CInterprétation graphique

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Trigonométrie

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Fonctions trigonométriques

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Produit scalaire

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Configurations géométriques

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Probabilités conditionnelles

Ch. 12
Variables aléatoires réelles

A
Discriminant d'un trinôme

B
Résolution d'une équation du second degré

C
Interprétation graphique