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COURS 1


1
Équation du second degré




Dans ce chapitre, sauf indication contraire, aa, bb et cc sont trois réels avec a0a \neq 0.

C
Interprétation graphique


On peut résumer le théorème précédent avec le tableau suivant :

Cas a>0a > 0 (parabole tournée vers le haut) Cas a<0a \lt 0 (parabole tournée vers le bas)
Δ<0\Delta \lt 0 : pas de racine
Équation du second degré
Équation du second degré
Δ=0\Delta = 0 : une racine
Équation du second degré
Équation du second degré
Δ>0\Delta > 0 : pas de racine
Équation du second degré
Équation du second degré

Application et méthode


SOLUTION

1. On a Δ=(4)24×3×(2)=40.\Delta=(-4)^{2}-4 \times 3 \times(-2)=40.
Δ>0\Delta>0 donc l’équation admet deux solutions réelles distinctes :

x1=(4)402×3x_{1}=\dfrac{-(-4)-\sqrt{40}}{2 \times 3} et x2=(4)+402×3.x_{2}=\dfrac{-(-4)+\sqrt{40}}{2 \times 3}.

Or, 40=210\sqrt{40}=2 \sqrt{10} donc x1=2103x_{1}=\dfrac{2-\sqrt{10}}{3} et x2=2+103.x_{2}=\dfrac{2+\sqrt{10}}{3}.

2. On a Δ=124×(3)×(2)=23.\Delta=1^{2}-4 \times(-3) \times(-2)=-23.
Δ<0\Delta\lt0 donc l’équation n’admet pas de solution dans R.\R.
3. Δ=7024×25×49=0.\Delta=70^{2}-4 \times 25 \times 49=0.
L’équation admet une solution réelle :
x0=702×25=75.x_{0}=\dfrac{-70}{2 \times 25}=\dfrac{-7}{5}.

On peut aussi reconnaître une identité remarquable : l’équation équivaut à (5x+7)2=0(5 x+7)^{2} =0 et on obtient donc également x0=75.x_{0}=\dfrac{-7}{5}.

Pour s'entraîner : exercices 22 à 26 p. 87

Énoncé

Résoudre les équations du second degré suivantes.
1. 3x24x2=03 x^{2}-4 x-2=0
2. 3x2+x2=0-3 x^{2}+x-2=0
3. 25x2+70x+49=025 x^{2}+70 x+49=0

Méthode

• On commence par identifier les coefficients aa, bb et cc de l’équation.

• On vérifie si l’équation est facile à résoudre : c’est le cas lorsque b=0b = 0 ou c=0c = 0, ou encore lorsqu’on reconnaît une identité remarquable.

• Si l’équation n’est pas évidente, on calcule le discriminant Δ=b24ac\Delta=b^{2}-4 a c .

• En fonction du signe de Δ\Delta, on détermine le nombre de solutions de l’équation.

• On donne les solutions éventuelles en utilisant les formules données dans le théorème.

B
Résolution d’une équation du second degré


Définition

Les racines réelles d’un trinôme ax2+bx+ca x^{2}+b x+c sont, lorsqu’elles existent, les solutions de l’équation ax2+bx+c=0.a x^{2}+b x+c=0.

DÉMONSTRATION

Résoudre ax2+bx+c=0a x^{2}+b x+c=0 équivaut à résoudre :

a[(x+b2a)2Δ4a2]=0a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\right]=0

(x+b2a)2Δ4a2=0\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}=0, car a0a\neq 0

(x+b2a)2=Δ4a2\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}=\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}

Le nombre de solutions dépend du signe de Δ.\Delta.

• Si Δ<0\Delta \lt 0 : Δ4a2<0\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\lt0 et (x+b2a)20\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2} \geqslant 0, car un carré est toujours positif ou nul sur R.\R.

Par conséquent, l’équation (x+b2a)2=Δ4a2\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}=\dfrac{\Delta}{4 a^{2}} n’a pas de solution réelle et l’équation ax2+bx+c=0a x^{2}+b x+c=0 n’a pas de solution réelle.

• Si Δ=0\Delta = 0 : l’équation devient (x+b2a)2=0\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}=0 et admet la solution b2a.-\dfrac{b}{2 a}.

• Si Δ>0\Delta > 0 : l’équation (x+b2a)2Δ4a2=0\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}=0 est la différence de deux nombres positifs donc l’équation est de la forme A2B2=0.\mathrm{A}^{2}-\mathrm{B}^{2}=0. De ce fait :

(x+b2a)2Δ4a2=0\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}=0

(x+b2aΔ2a)(x+b2a+Δ2a)=0\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{b}{2 a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2 a}\right)\left(x+\dfrac{b}{2 a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2 a}\right)=0

x+b2aΔ2a=0\Leftrightarrow x+\dfrac{b}{2 a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2 a}=0 ou x+b2a+Δ2a=0 x+\dfrac{b}{2 a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2 a}=0

x=b2a+Δ2a\Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2 a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2 a} ou x=b2aΔ2a x=-\dfrac{b}{2 a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2 a}

L’équation a deux solutions réelles distinctes :

x1=bΔ2a et x2=b+Δ2a.x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} \text { et } x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}.

Remarque

Dans le cas où Δ=0\Delta=0,

(x+b2a)2=(x+b2a)(x+b2a).\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}=\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right).
La racine b2a-\dfrac{b}{2 a} est appelée racine double du trinôme.

Démonstration au programme


Exemples

L’équation 2x2+x3=02 x^{2}+x-3=0 admet deux solutions réelles distinctes : x1=32x_{1}=-\dfrac{3}{2} et x2=1(Δ=25x_{2}=1(\Delta=25 et 25>0). 25>0).

L’équation x2+x+1=0x^{2}+x+1=0 n’admet aucune solution réelle, car Δ=3\Delta=-3 et 3<0-3\lt0.
L’équation 9x230x+25=09 x^{2}-30 x+25=0 admet une solution : x0=53(Δ=0).x_{0}=\dfrac{5}{3}(\Delta=0).

Théorème

• Si Δ<0\Delta\lt0 alors l’équation ax2+bx+c=0a x^{2}+b x+c=0 n’a pas de solution réelle.
• Si Δ=0\Delta=0 alors l’équation a une solution réelle : x0=b2a.x_{0}=-\dfrac{b}{2 a}.
• Si Δ>0\Delta>0 alors l’équation a deux solutions réelles distinctes :

x1=bΔ2ax_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} et x2=b+Δ2a.x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}.

Définition

On appelle équation du second degré à une inconnue toute équation qui peut s’écrire sous la forme : ax2+bx+c=0a x^{2}+b x+c=0 avec a0.a \neq 0.

A
Discriminant d’un trinôme


Exemples

La forme canonique de f(x)=x2+8x+7f(x)=x^{2}+8 x+7 est f(x)=(x+4)29.f(x)=(x+4)^{2}-9.
Celle de g(x)=3x29x+8g(x)=3 x^{2}-9 x+8 est g(x)=3[(x32)2+512].g(x)=3\left[\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+\dfrac{5}{12}\right].

Remarque

Le symbole Δ\Delta se lit « delta ».

Remarque

La deuxième étape consiste à ajouter puis à retirer (b2a)2\left(\dfrac{b}{2 a}\right)^{2} afin de faire apparaître une identité remarquable.

Définition

Le discriminant d’un trinôme ax2+bx+ca x^{2}+b x+c est le nombre Δ=b24ac.\Delta=b^{2}-4 a c.

Remarque

En développant la forme canonique, on obtient a(x+b2a)2Δ4a.a\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a}.

Cette expression correspond à celle donnée dans le chapitre 2 « Fonctions de référence » avec α=b2a\alpha=-\dfrac{b}{2 a} et β=Δ4a.\beta=-\dfrac{\Delta}{4 a}.

Remarque

Sauf indication contraire, on ne considère dans ce chapitre que des trinômes du second degré.

DÉMONSTRATION

On considère un trinôme du second degré : ax2+bx+c.a x^{2}+b x+c.
On rappelle que a0.a \neq 0.
Pour tout réel xx, ax2+bx+c=a(x2+bax+ca).a x^{2}+b x+c=a\left(x^{2}+\dfrac{b}{a} x+\dfrac{c}{a}\right).

Or x2+bax=x2+2×b2ax+(b2a)2(b2a)2.x^{2}+\dfrac{b}{a} x=x^{2}+2 \times \dfrac{b}{2 a} x+\left(\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\left(\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}.

Donc x2+bax=(x+b2a)2(b2a)2.x^{2}+\dfrac{b}{a} x=\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\left(\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}.

Ainsi, on a : ax2+bx+ca x^{2}+b x+c

=a[(x+b2a)2(b2a)2+ca]=a[(x+b2a)2b24a2+4ac4a2]=a[(x+b2a)2b24ac4a2]=a[(x+b2a)2Δ4a2]\begin{array} { l } {=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\left(\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}+\dfrac{c}{a}\right]}\\ \\ {=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{b^{2}}{4 a^{2}}+\dfrac{4 a c}{4 a^{2}}\right]}\\ \\ {=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}}\right]}\\ \\ {=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\right]} \end{array}

Définition

L’expression a[(x+b2a)2Δ4a2]a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\right] est appelée forme canonique du trinôme ax2+bx+c.a x^{2}+b x+c.

Théorème

Pour tout xR,ax2+bx+c=a[(x+b2a)2Δ4a2].x \in \mathbb{R}, a x^{2}+b x+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\right].

Application et méthode


Méthode

1. On commence par mettre le coefficient aa en facteur : ici, a=2.a =2.

2. x2+4xx^{2}+4 x est le début du développement de (x+2)2.(x+2)^{2}. On remplace donc x2+4xx^{2}+4 x par (x+2)24.(x+2)^{2}-4.

3. On termine la mise sous forme canonique en calculant 412.-4-\dfrac{1}{2}.

SOLUTION

f(x)=2x2+8x1=2(x2+4x12)f(x)=2 x^{2}+8 x-1=2\left(x^{2}+4 x-\dfrac{1}{2}\right)

=2[(x+2)2412]=2[(x+2)292]=2\left[(x+2)^{2}-4-\dfrac{1}{2}\right]=2\left[(x+2)^{2}-\dfrac{9}{2}\right]

Pour s'entraîner : exercices 18 p. 87 et 37 à 39 p. 88

Énoncé

Mettre la fonction trinôme ff définie sur R\R par f(x)=2x2+8x1 f(x) = 2x^2 + 8x - 1 sous forme canonique.
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