COURS 1


1
Équation du second degré




Dans ce chapitre, sauf indication contraire, aa, bb et cc sont trois réels avec a0a \neq 0.

Application et méthode

Énoncé

Résoudre les équations du second degré suivantes.
1. 3x24x2=03 x^{2}-4 x-2=0
2. 3x2+x2=0-3 x^{2}+x-2=0
3. 25x2+70x+49=025 x^{2}+70 x+49=0

Méthode

• On commence par identifier les coefficients aa, bb et cc de l’équation.

• On vérifie si l’équation est facile à résoudre : c’est le cas lorsque b=0b = 0 ou c=0c = 0, ou encore lorsqu’on reconnaît une identité remarquable.

• Si l’équation n’est pas évidente, on calcule le discriminant Δ=b24ac\Delta=b^{2}-4 a c .

• En fonction du signe de Δ\Delta, on détermine le nombre de solutions de l’équation.

• On donne les solutions éventuelles en utilisant les formules données dans le théorème.

SOLUTION

1. On a Δ=(4)24×3×(2)=40.\Delta=(-4)^{2}-4 \times 3 \times(-2)=40.
Δ>0\Delta>0 donc l’équation admet deux solutions réelles distinctes :

x1=(4)402×3x_{1}=\dfrac{-(-4)-\sqrt{40}}{2 \times 3} et x2=(4)+402×3.x_{2}=\dfrac{-(-4)+\sqrt{40}}{2 \times 3}.

Or, 40=210\sqrt{40}=2 \sqrt{10} donc x1=2103x_{1}=\dfrac{2-\sqrt{10}}{3} et x2=2+103.x_{2}=\dfrac{2+\sqrt{10}}{3}.

2. On a Δ=124×(3)×(2)=23.\Delta=1^{2}-4 \times(-3) \times(-2)=-23.
Δ<0\Delta\lt0 donc l’équation n’admet pas de solution dans R.\R.
3. Δ=7024×25×49=0.\Delta=70^{2}-4 \times 25 \times 49=0.
L’équation admet une solution réelle :
x0=702×25=75.x_{0}=\dfrac{-70}{2 \times 25}=\dfrac{-7}{5}.

On peut aussi reconnaître une identité remarquable : l’équation équivaut à (5x+7)2=0(5 x+7)^{2} =0 et on obtient donc également x0=75.x_{0}=\dfrac{-7}{5}.

Pour s'entraîner : exercices 22 à 26 p. 87

C
Interprétation graphique


On peut résumer le théorème précédent avec le tableau suivant :

Cas a>0a > 0 (parabole tournée vers le haut) Cas a<0a \lt 0 (parabole tournée vers le bas)
Δ<0\Delta \lt 0 : pas de racine
MAT1_CH3_p76_1a
MAT1_CH3_p76_1b
Δ=0\Delta = 0 : une racine
MAT1_CH3_p76_2a
MAT1_CH3_p76_2b
Δ>0\Delta > 0 : pas de racine
MAT1_CH3_p76_3a
MAT1_CH3_p76_3b

A
Discriminant d’un trinôme

Remarque

Le symbole Δ\Delta se lit « delta ».

Exemples

La forme canonique de f(x)=x2+8x7f(x)=x^{2}+8 x-7 est f(x)=(x+4)29.f(x)=(x+4)^{2}-9.
Celle de g(x)=3x29x+8g(x)=3 x^{2}-9 x+8 est g(x)=3[(x32)2+512].g(x)=3\left[\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+\dfrac{5}{12}\right].

Définition

L’expression a[(x+b2a)2Δ4a2]a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\right] est appelée forme canonique du trinôme ax2+bx+c.a x^{2}+b x+c.

Remarque

La deuxième étape consiste à ajouter puis à retirer (b2a)2\left(\dfrac{b}{2 a}\right)^{2} afin de faire apparaître une identité remarquable.

DÉMONSTRATION

On considère un trinôme du second degré : ax2+bx+c.a x^{2}+b x+c.
On rappelle que a0.a \neq 0.
Pour tout réel xx, ax2+bx+c=a(x2+bax+ca).a x^{2}+b x+c=a\left(x^{2}+\dfrac{b}{a} x+\dfrac{c}{a}\right).

Or x2+bax=x2+2×b2ax+(b2a)2(b2a)2.x^{2}+\dfrac{b}{a} x=x^{2}+2 \times \dfrac{b}{2 a} x+\left(\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\left(\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}.

Donc x2+bax=(x+b2a)2(b2a)2.x^{2}+\dfrac{b}{a} x=\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\left(\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}.

Ainsi, on a : ax2+bx+ca x^{2}+b x+c

=a[(x+b2a)2(b2a)2+ca]=a[(x+b2a)2b24a2+4ac4a2]=a[(x+b2a)2b24ac4a2]=a[(x+b2a)2Δ4a2]\begin{array} { l } {=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\left(\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}+\dfrac{c}{a}\right]}\\ \\ {=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{b^{2}}{4 a^{2}}+\dfrac{4 a c}{4 a^{2}}\right]}\\ \\ {=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}}\right]}\\ \\ {=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\right]} \end{array}

Théorème

Pour tout xR,ax2+bx+c=a[(x+b2a)2Δ4a2].x \in \mathbb{R}, a x^{2}+b x+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\right].

Remarque

En développant la forme canonique, on obtient a(x+b2a)2Δ4a.a\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a}.

Cette expression correspond à celle donnée dans le chapitre 2 « Fonctions de référence » avec α=b2a\alpha=-\dfrac{b}{2 a} et β=Δ4a.\beta=-\dfrac{\Delta}{4 a}.

Remarque

Sauf indication contraire, on ne considère dans ce chapitre que des trinômes du second degré.

Définition

Le discriminant d’un trinôme ax2+bx+ca x^{2}+b x+c est le nombre Δ=b24ac.\Delta=b^{2}-4 a c.

B
Résolution d’une équation du second degré


Exemples

L’équation 2x2+x3=02 x^{2}+x-3=0 admet deux solutions réelles distinctes : x1=32x_{1}=-\dfrac{3}{2} et x2=1(Δ=25x_{2}=1(\Delta=25 et 25>0). 25>0).

L’équation x2+x+1=0x^{2}+x+1=0 n’admet aucune solution réelle, car Δ=3\Delta=-3 et 3<0-3\lt0.
L’équation 9x230x+25=09 x^{2}-30 x+25=0 admet une solution : x0=53(Δ=0).x_{0}=\dfrac{5}{3}(\Delta=0).

Définition

Les racines réelles d’un trinôme ax2+bx+ca x^{2}+b x+c sont, lorsqu’elles existent, les solutions de l’équation ax2+bx+c=0.a x^{2}+b x+c=0.

Théorème

• Si Δ<0\Delta\lt0 alors l’équation ax2+bx+c=0a x^{2}+b x+c=0 n’a pas de solution réelle.
• Si Δ=0\Delta=0 alors l’équation a une solution réelle : x0=b2a.x_{0}=-\dfrac{b}{2 a}.
• Si Δ>0\Delta>0 alors l’équation a deux solutions réelles distinctes :

x1=bΔ2ax_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} et x2=b+Δ2a.x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}.

Définition

On appelle équation du second degré à une inconnue toute équation qui peut s’écrire sous la forme : ax2+bx+c=0a x^{2}+b x+c=0 avec a0.a \neq 0.

DÉMONSTRATION

Résoudre ax2+bx+c=0a x^{2}+b x+c=0 équivaut à résoudre :

a[(x+b2a)2Δ4a2]=0a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\right]=0

(x+b2a)2Δ4a2=0\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}=0, car a0a\neq 0

(x+b2a)2=Δ4a2\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}=\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}

Le nombre de solutions dépend du signe de Δ.\Delta.

• Si Δ<0\Delta \lt 0 : Δ4a2<0\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\lt0 et (x+b2a)20\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2} \geqslant 0, car un carré est toujours positif ou nul sur R.\R.

Par conséquent, l’équation (x+b2a)2=Δ4a2\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}=\dfrac{\Delta}{4 a^{2}} n’a pas de solution réelle et l’équation ax2+bx+c=0a x^{2}+b x+c=0 n’a pas de solution réelle.

• Si Δ=0\Delta = 0 : l’équation devient (x+b2a)2=0\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}=0 et admet la solution b2a.-\dfrac{b}{2 a}.

• Si Δ>0\Delta > 0 : l’équation (x+b2a)2Δ4a2=0\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}=0 est la différence de deux nombres positifs donc l’équation est de la forme A2B2=0.\mathrm{A}^{2}-\mathrm{B}^{2}=0. De ce fait :

(x+b2a)2Δ4a2=0\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}=0

(x+b2aΔ2a)(x+b2a+Δ2a)=0\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{b}{2 a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2 a}\right)\left(x+\dfrac{b}{2 a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2 a}\right)=0

x+b2aΔ2a=0\Leftrightarrow x+\dfrac{b}{2 a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2 a}=0 ou x+b2a+Δ2a=0 x+\dfrac{b}{2 a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2 a}=0

x=b2a+Δ2a\Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2 a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2 a} ou x=b2aΔ2a x=-\dfrac{b}{2 a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2 a}

L’équation a deux solutions réelles distinctes :

x1=bΔ2a et x2=b+Δ2a.x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} \text { et } x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}.

Démonstration au programme

Remarque

Dans le cas où Δ=0\Delta=0,

(x+b2a)2=(x+b2a)(x+b2a).\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}=\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right).
La racine b2a-\dfrac{b}{2 a} est appelée racine double du trinôme.

Application et méthode


Méthode

1. On commence par mettre le coefficient aa en facteur : ici, a=2.a =2.

2. x2+4xx^{2}+4 x est le début du développement de (x+2)2.(x+2)^{2}. On remplace donc x2+4xx^{2}+4 x par (x+2)24.(x+2)^{2}-4.

3. On termine la mise sous forme canonique en calculant 412.-4-\dfrac{1}{2}.