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2. Factorisation et signe du trinôme
P.77-79

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COURS 2


2
Factorisation et signe du trinôme




A
Factorisation du trinôme


Théorème

On considère un trinôme du second degré
• Si : on sait que le trinôme n’a pas de racine réelle. Il n’est pas factorisable dans .
• Si : on sait que le trinôme a une racine double :
Pour tout réel
• Si : on sait que le trinôme a deux racines réelles distinctes :
et .

Pour tout réel .

Remarque

Dans le cas où , on retrouve une identité remarquable.

DÉMONSTRATION

Dans le cas où , on note et les racines du trinôme éventuellement confondues.
Pour tout réel ,
avec
• Si les deux racines sont confondues, on a
Puisque , alors
On obtient alors et

Ainsi,


• Si les deux racines sont distinctes : et
Ainsi,

De plus,
On a donc également :



LOGIQUE

On démontre le cas en raisonnant par l’absurde.

Exemples

1. Soit la fonction trinôme définie sur par .
Ici, et donc, pour tout réel

2. Soit la fonction trinôme définie sur par Ici, donc n’est pas factorisable dans

3. Soit la fonction trinôme définie sur par .
Ici, donc, pour tout réel ,

Application et méthode

Énoncé

On pose . Après avoir précisé l’ensemble des réels pour lesquels existe, simplifier l’écriture de .

Méthode

1. On détermine les racines des deux trinômes. Celles du dénominateur sont les valeurs interdites de

2. On factorise les deux trinômes.

3. On simplifie la fraction rationnelle

SOLUTION

On détermine les racines de .
avec , et
On trouve . donc il y a deux racines réelles : et .
On a pour tout
est définie sur
On détermine les racines de .
avec et
On trouve alors donc le polynôme admet alors deux racines :
et

Ainsi, pour tout réel , .
Pour tout , on a
Donc ou encore pour tout

Pour s'entraîner : exercices 27 p. 87 et 61 p. 91

B
Signe du trinôme


Théorème

On considère le trinôme
Si , le trinôme est du signe de .
Si , le trinôme est du signe de pour et du signe de pour , où et sont les racines du trinôme telles que .

Remarque

On dit aussi que est du signe de à l’extérieur des racines s’il y en a et du signe contraire de entre les racines.

DÉMONSTRATION

On a : .
Si , alors et pour tout réel .
Donc pour tout réel .
Si , on a
Or, pour tout réel
Ainsi, est du signe de pour tout réel et s’annule en
Si , on a et sont les racines du trinôme avec .
On dresse le tablau de signe suivant.

Signe du trinôme - Factorisation et signe du trinôme - Équations et inéquations du second degré

Donc est du signe de sauf entre les deux racines et

Exemple

On considère la fonction trinôme On a donc le trinôme admet deux racines réelles distinctes qui sont : et
Comme , on a le tableau de signes suivant.

Signe du trinôme - Factorisation et signe du trinôme - Équations et inéquations du second degré

Application et méthode

Énoncé

Résoudre dans les inéquations suivantes.
1.
2.

Méthode

• On détermine les racines du trinôme si elles existent.
• On utilise le théorème : un trinôme est du signe de , sauf entre les racines s’il y en a.
En regardant le signe de , on donne le signe du trinôme à l’aide d’un tableau de signes par exemple.
• On résout l’inéquation donnée.

SOLUTION

1. On cherche les racines du trinôme On a et
Il y a deux racines : et
Ici On dresse le tableau de signes du trinôme.
Signe du trinôme - Factorisation et signe du trinôme - Équations et inéquations du second degré



2. On cherche les racines du trinôme On a et
Il n’y a pas de racine réelle. Ici donc
Donc pour tout réel .
Par conséquent, l’inéquation n’admet aucune solution dans .
L’ensemble des solutions est .

Pour s'entraîner : exercices 28 p. 87 et 66 p. 91
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