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COURS 2


2
Factorisation et signe du trinôme




A
Factorisation du trinôme


LOGIQUE

On démontre le cas Δ<0\Delta \lt 0 en raisonnant par l’absurde.

DÉMONSTRATION

Dans le cas où Δ0\Delta \geqslant 0, on note x1x_1 et x2x_2 les racines du trinôme éventuellement confondues.
Pour tout réel xx,
a(xx1)(xx2)=ax2a(x1+x2)x+ax1x2a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=a x^{2}-a\left(x_{1}+x_{2}\right) x+a x_{1} x_{2} avec a0. a \neq 0.
• Si les deux racines sont confondues, on a x1=x2=b2a.x_{1}=x_{2}=-\dfrac{b}{2 a}.
Puisque Δ=0=b24ac \Delta = 0 =b^2 - 4ac, alors b2=4ac.b^2 = 4ac.
On obtient alors x1+x2=bax_{1}+x_{2}=\dfrac{-b}{a} et x1x2=b24a2=4ac4a2=ca.x_{1} x_{2}=\dfrac{b^{2}}{4 a^{2}}=\dfrac{4 a c}{4 a^{2}}=\dfrac{c}{a}.

Ainsi, a(xx1)(xx2)a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)
=ax2a(ba)x+a×ca=a x^{2}-a\left(\dfrac{-b}{a}\right) x+a \times \dfrac{c}{a}
=ax2+bx+c.=a x^{2}+b x+c.
• Si les deux racines sont distinctes : x1=bΔ2ax_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} et x2=b+Δ2a. x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}.
Ainsi, x1+x2=2b2a=ba.x_{1}+x_{2}=\dfrac{-2 b}{2 a}=\dfrac{-b}{a}.

De plus, x1x2=(bΔ)(b+Δ)4a2x_{1} x_{2}=\dfrac{(-b-\sqrt{\Delta})(-b+\sqrt{\Delta})}{4 a^{2}}=b2Δ4a2=\dfrac{b^{2}-\Delta}{4 a^{2}} =4ac4a2=ca.=\dfrac{4 a c}{4 a^{2}}=\dfrac{c}{a}.
On a donc également :
a(xx1)(xx2)a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)
=ax2a(ba)x+a×ca=a x^{2}-a\left(-\dfrac{b}{a}\right) x+a \times \dfrac{c}{a}
=ax2+bx+c.=a x^{2}+b x+c.

Remarque

Dans le cas où Δ=0\Delta = 0, on retrouve une identité remarquable.

Exemples

1. Soit ff la fonction trinôme définie sur R\R par f(x)=2x2+x3f(x)=2 x^{2}+x-3.
Ici, a=2,Δ=25,x1=32a=2, \Delta=25, x_{1}=\dfrac{-3}{2} et x2=1 x_{2}=1 donc, pour tout réel x, x, f(x)=2(x+32)(x1).f(x)=2\left(x+\dfrac{3}{2}\right)(x-1).

2. Soit gg la fonction trinôme définie sur R\R par g(x)=x2+x+1.g(x)=x^{2}+x+1. Ici, Δ=3\Delta = -3 donc gg n’est pas factorisable dans R.\R .

3. Soit hh la fonction trinôme définie sur R\R par h(x)=9x230x+25h(x)=9 x^{2}-30 x+25.
Ici, a=9,Δ=0 et x0=53a=9, \Delta=0 \text { et } x_{0}=\dfrac{5}{3} donc, pour tout réel xx , h(x)=9(x53)2.h(x)=9\left(x-\dfrac{5}{3}\right)^{2}.

Théorème

On considère un trinôme du second degré ax2+bx+c.a x^{2}+b x+c.
• Si Δ<0\Delta\lt0 : on sait que le trinôme n’a pas de racine réelle. Il n’est pas factorisable dans R\R.
• Si Δ=0\Delta=0 : on sait que le trinôme a une racine double : x0=b2a.x_{0}=\dfrac{-b}{2 a}.
Pour tout réel x,x, ax2+bx+c=a(x+b2a)2.a x^{2}+b x+c=a\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}.
• Si Δ>0\Delta>0 : on sait que le trinôme a deux racines réelles distinctes :
x1=bΔ2ax_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} et x2=b+Δ2ax_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}.

Pour tout réel x,x, ax2+bx+c=a(xx1)(xx2)a x^{2}+b x+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right).

B
Signe du trinôme


Exemple

On considère la fonction trinôme f(x)=2x2+x3.f(x)=2 x^{2}+x-3. On a Δ=25\Delta=25 donc le trinôme admet deux racines réelles distinctes qui sont : 32\dfrac{-3}{2} et 1.1.
Comme a=2>0a=2>0, on a le tableau de signes suivant.

Signe du trinôme - Factorisation et signe du trinôme - Équations et inéquations du second degré

DÉMONSTRATION

On a : ax2+bx+c=a[(x+b2a)2Δ4a2]a x^{2}+b x+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\right].
Si Δ<0\Delta\lt0, alors Δ4a2>0\dfrac{-\Delta}{4 a^{2}}>0 et (x+b2a)20\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2} \geqslant 0 pour tout réel xx.
Donc (x+b2a)2Δ4a2>0\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}>0 pour tout réel xx.
Si Δ=0\Delta=0, on a ax2+bx+c=a(x+b2a)2.a x^{2}+b x+c=a\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}.
Or, (x+b2a)20\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2} \geqslant 0 pour tout réel x.x .
Ainsi, ax2+bx+ca x^{2}+b x+c est du signe de aa pour tout réel xx et s’annule en b2a.\dfrac{-b}{2 a}.
Si Δ>0\Delta>0, on a ax2+bx+c=a(xx1)(xx2)a x^{2}+b x+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)x1x_1 et x2x_2 sont les racines du trinôme avec x1<x2x_1 \lt x_2.
On dresse le tablau de signe suivant.

Signe du trinôme - Factorisation et signe du trinôme - Équations et inéquations du second degré

Donc ax2+bx+ca x^{2}+b x+c est du signe de aa sauf entre les deux racines x1x_1 et x2.x_2.

Remarque

On dit aussi que ax2+bx+ca x^{2}+b x+c est du signe de aa à l’extérieur des racines s’il y en a et du signe contraire de aa entre les racines.

Théorème

On considère le trinôme ax2+bx+c.a x^{2}+b x+c.
Si Δ0\Delta \leqslant 0, le trinôme est du signe de aa.
Si Δ>0\Delta>0, le trinôme est du signe de aa pour x];x1][x2;+[x \in ]-\infty \: ; x_{1} ] \cup\left[x_{2} \: ;+\infty[\right. et du signe de a-a pour x[x1;x2]x \in\left[x_{1} \: ; x_{2}\right], où x1x_1 et x2x_2 sont les racines du trinôme telles que x1<x2x_1 \lt x_2.

Application et méthode

Énoncé

Résoudre dans R\R les inéquations suivantes.
1. 3x2+5x203 x^{2}+5 x-2 \geqslant 0
2. x2+x7>0-x^{2}+x-7>0

Méthode

• On détermine les racines du trinôme si elles existent.
• On utilise le théorème : un trinôme ax2+bx+ca x^{2}+b x+c est du signe de aa, sauf entre les racines s’il y en a.
En regardant le signe de aa , on donne le signe du trinôme à l’aide d’un tableau de signes par exemple.
• On résout l’inéquation donnée.

SOLUTION

1. On cherche les racines du trinôme 3x2+5x2.3 x^{2}+5 x-2. On a Δ=49\Delta=49 et 49>0.49>0.
Il y a deux racines : x1=2 x_{1}=-2 et x2=13. x_{2}=\dfrac{1}{3}.
Ici a=3.a=3. On dresse le tableau de signes du trinôme.
Signe du trinôme - Factorisation et signe du trinôme - Équations et inéquations du second degré

3x2+5x20x];2][13;+[.3 x^{2}+5 x-2 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \in ]-\infty \: ;-2 ] \cup\left[\dfrac{1}{3} \: ;+\infty[\right. .

2. On cherche les racines du trinôme x2+x7.-x^{2}+x-7. On a Δ=27\Delta=-27 et 27<0.-27 \lt 0.
Il n’y a pas de racine réelle. Ici a=1a=-1 donc a<0.a \lt 0.
Donc x2+x7<0-x^{2}+x-7 \lt 0 pour tout réel xx .
Par conséquent, l’inéquation x2+x7>0-x^{2}+x-7>0 n’admet aucune solution dans R\R.
L’ensemble des solutions est S=\mathrm{S}=\emptyset.

Pour s'entraîner : exercices 28 p. 87 et 66 p. 91

Application et méthode


SOLUTION

On détermine les racines de x26x7x^{2}-6 x-7.
Δ=b24ac\Delta=b^{2}-4 a c avec a=1 a=1, b=6b=-6 et c=7.c=-7.
On trouve Δ=64\Delta=64 . Δ>0\Delta>0 donc il y a deux racines réelles : x1=1x_{1}=-1 et x2=7x_{2}=7.
On a x26x7=(x+1)(x7)x^{2}-6 x-7=(x+1)(x-7) pour tout xR.x \in \mathbb{R}.
A(x)\mathrm{A}(x) est définie sur R\{1;7}.\mathbb{R} \backslash\{-1 \: ; 7\}.
On détermine les racines de 2x2+3x+12 x^{2}+3 x+1.
Δ=b24ac\Delta=b^{2}-4 a c avec a=2b=3a=2\text{, }b=3 et c=1. c=1.
On trouve alors Δ=1. Δ>0\Delta=1 .\text{ }\Delta>0 donc le polynôme 2x2+3x+12 x^{2}+3 x+1 admet alors deux racines :
x1=bΔ2a=1x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}=-1 et x2=b+Δ2a=12. x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}=\dfrac{-1}{2}.

Ainsi, pour tout réel xx, 2x2+3x+1=2(x+12)(x+1)2 x^{2}+3 x+1=2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(x+1).
Pour tout xR\{1;7}x \in \mathbb{R} \backslash\{-1 \: ; 7\}, on a A(x)=2(x+12)(x+1)(x+1)(x7).\mathrm{A}(x)=\dfrac{2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(x+1)}{(x+1)(x-7)}.
Donc A(x)=2(x+12)x7\mathrm{A}(x)=\dfrac{2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{x-7} ou encore A(x)=2x+1x7\mathrm{A}(x)=\dfrac{2 x+1}{x-7} pour tout xR\{1;7}.x \in \mathbb{R} \backslash\{-1 \: ; 7\}.

Pour s'entraîner : exercices 27 p. 87 et 61 p. 91

Méthode

1. On détermine les racines des deux trinômes. Celles du dénominateur sont les valeurs interdites de A(x).\text{A}(x).

2. On factorise les deux trinômes.

3. On simplifie la fraction rationnelle A(x).\text{A}(x).

Énoncé

On pose A(x)=2x2+3x+1x26x7\mathrm{A}(x)=\dfrac{2 x^{2}+3 x+1}{x^{2}-6 x-7}. Après avoir précisé l’ensemble des réels xx pour lesquels A(x)\mathrm{A}(x) existe, simplifier l’écriture de A(x)\mathrm{A}(x).
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