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Nouvelle épreuve Bac

Algèbre

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Ch. 1

Suites numériques

Ch. 2

Fonctions de référence

Ch. 3

Équations et inéquations du second degré

Analyse

Ch. 4

Dérivation

Ch. 5

Applications de la dérivation

Ch. 6

Fonction exponentielle

Ch. 7

Trigonométrie

Ch. 8

Fonctions trigonométriques

Géométrie

Ch. 9

Produit scalaire

Ch. 10

Configurations géométriques

Probabilités et statistiques

Ch. 11

Probabilités conditionnelles

Ch. 12

Variables aléatoires réelles

Annexes

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

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Chapitre 3

Cours 2

Factorisation et signe du trinôme

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A
Factorisation du trinôme

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Théorème

On considère un trinôme du second degré

a x^{2} + b x + c .

Si $Δ < 0$ : on sait que le trinôme n'a pas de racine réelle. Il n'est pas factorisable dans $R$ .
Si $Δ = 0$ : on sait que le trinôme a une racine double : $x_{0} = \frac{- b}{2 a} .$
Pour tout réel $x,$ $a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} .$
Si $Δ > 0$ : on sait que le trinôme a deux racines réelles distinctes :
$x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}$ et $x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}$ .

Pour tout réel $x,$ $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

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Remarque

Dans le cas où

Δ = 0

, on retrouve une identité remarquable.

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Démonstration

Dans le cas où

Δ ⩾ 0

, on note

x_{1}

x_{2}

les racines du trinôme éventuellement confondues.
Pour tout réel

x

a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a x^{2} - a (x_{1} + x_{2}) x + a x_{1} x_{2}

avec

a \neq = 0.

Si les deux racines sont confondues, on a $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a} .$
Puisque $Δ = 0 = b^{2} - 4 a c$ , alors $b^{2} = 4 a c .$
On obtient alors $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}$ et $x_{1} x_{2} = \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} = \frac{4 a c}{4 a ^{2}} = \frac{c}{a} .$

Ainsi, $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
$= a x^{2} - a (\frac{- b}{a}) x + a \times \frac{c}{a}$
$= a x^{2} + b x + c .$
Si les deux racines sont distinctes : $x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}$ et $x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a} .$
Ainsi, $x_{1} + x_{2} = \frac{- 2 b}{2 a} = \frac{- b}{a} .$

De plus, $x_{1} x_{2} = \frac{( - b - Δ ) ( - b + Δ )}{4 a ^{2}}$ $= \frac{b ^{2} - Δ}{4 a ^{2}}$ $= \frac{4 a c}{4 a ^{2}} = \frac{c}{a} .$

On a donc également :
$a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
$= a x^{2} - a (- \frac{b}{a}) x + a \times \frac{c}{a}$
$= a x^{2} + b x + c .$

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Logique

On démontre le cas

Δ < 0

en raisonnant par l'absurde.

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Exemples

1. Soit

f

la fonction trinôme définie sur

R

par

f (x) = 2 x^{2} + x - 3

.
Ici,

a = 2, Δ = 25, x_{1} = \frac{- 3}{2}

x_{2} = 1

donc, pour tout réel

x,

f (x) = 2 (x + \frac{3}{2}) (x - 1) .

2. Soit

g

la fonction trinôme définie sur

R

par

g (x) = x^{2} + x + 1.

Ici,

Δ = - 3

donc

g

n'est pas factorisable dans

R .

3. Soit

h

la fonction trinôme définie sur

R

par

h (x) = 9 x^{2} - 30 x + 25

.
Ici,

a = 9, Δ = 0 et x_{0} = \frac{5}{3}

donc, pour tout réel

x

h (x) = 9 (x - \frac{5}{3})^{2} .

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Application et méthode

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Énoncé

On pose

A (x) = \frac{2 x ^{2} + 3 x + 1}{x ^{2} - 6 x - 7}

. Après avoir précisé l'ensemble des réels

x

pour lesquels

A (x)

existe, simplifier l'écriture de

A (x)

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Méthode

1. On détermine les racines des deux trinômes. Celles du dénominateur sont les valeurs interdites de

A (x) .

2. On factorise les deux trinômes.
3. On simplifie la fraction rationnelle

A (x) .

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Solution

On détermine les racines de

x^{2} - 6 x - 7

Δ = b^{2} - 4 a c

avec

a = 1

b = - 6

c = - 7.

On trouve

Δ = 64

Δ > 0

donc il y a deux racines réelles :

x_{1} = - 1

x_{2} = 7

.
On a

x^{2} - 6 x - 7 = (x + 1) (x - 7)

pour tout

x \in R .

A (x)

est définie sur

R \ {- 1; 7} .

On détermine les racines de

2 x^{2} + 3 x + 1

Δ = b^{2} - 4 a c

avec

a = 2, b = 3

c = 1.

On trouve alors

Δ = 1. Δ > 0

donc le polynôme

2 x^{2} + 3 x + 1

admet alors deux racines :

x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a} = - 1

x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a} = \frac{- 1}{2} .

Ainsi, pour tout réel

x

2 x^{2} + 3 x + 1 = 2 (x + \frac{1}{2}) (x + 1)

.
Pour tout

x \in R \ {- 1; 7}

, on a

A (x) = \frac{2 ( x + \frac{1}{2} ) ( x + 1 )}{( x + 1 ) ( x - 7 )} .

Donc

A (x) = \frac{2 ( x + \frac{1}{2} )}{x - 7}

ou encore

A (x) = \frac{2 x + 1}{x - 7}

pour tout

x \in R \ {- 1; 7} .

Pour s'entraîner

Exercices 27
p. 87 et 61
p. 91

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B
Signe du trinôme

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Théorème

On considère le trinôme

a x^{2} + b x + c .

Δ ⩽ 0

, le trinôme est du signe de

a

.
Si

Δ > 0

, le trinôme est du signe de

a

pour

x \in] - \infty; x_{1}] \cup [x_{2}; + \infty [

et du signe de

- a

pour

x \in [x_{1}; x_{2}]

, où

x_{1}

x_{2}

sont les racines du trinôme telles que

x_{1} < x_{2}

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Remarque

On dit aussi que

a x^{2} + b x + c

est du signe de

a

à l'extérieur des racines s'il y en a et du signe contraire de

a

entre les racines.

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Démonstration

On a :

a x^{2} + b x + c = a [(x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a ^{2}}]

.
Si

Δ < 0

, alors

\frac{- Δ}{4 a ^{2}} > 0

(x + \frac{b}{2 a})^{2} ⩾ 0

pour tout réel

x

.
Donc

(x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a ^{2}} > 0

pour tout réel

x

.
Si

Δ = 0

, on a

a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} .

Or,

(x + \frac{b}{2 a})^{2} ⩾ 0

pour tout réel

x .

Ainsi,

a x^{2} + b x + c

est du signe de

a

pour tout réel

x

et s'annule en

\frac{- b}{2 a} .

Δ > 0

, on a

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

où

x_{1}

x_{2}

sont les racines du trinôme avec

x_{1} < x_{2}

.
On dresse le tablau de signe suivant.

Tableau: étude du signe d'un trinôme du second degré. Analyse des signes selon les intervalles définis par les racines x1 et x2.

Donc

a x^{2} + b x + c

est du signe de

a

sauf entre les deux racines

x_{1}

x_{2} .

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Exemple

On considère la fonction trinôme

f (x) = 2 x^{2} + x - 3.

On a

Δ = 25

donc le trinôme admet deux racines réelles distinctes qui sont :

\frac{- 3}{2}

1.

Comme

a = 2 > 0

, on a le tableau de signes suivant.

Tableau: étude signe fonction trinôme second degré, racines -3/2 et 1.

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Application et méthode

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Énoncé

Résoudre dans

R

les inéquations suivantes.

1.

3 x^{2} + 5 x - 2 ⩾ 0

- x^{2} + x - 7 > 0

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Méthode

On détermine les racines du trinôme si elles existent.
On utilise le théorème : un trinôme $a x^{2} + b x + c$ est du signe de $a$ , sauf entre les racines s'il y en a.
En regardant le signe de $a$ , on donne le signe du trinôme à l'aide d'un tableau de signes par exemple.
On résout l'inéquation donnée.

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Solution

1. On cherche les racines du trinôme

3 x^{2} + 5 x - 2.

On a

Δ = 49

49 > 0.

Il y a deux racines :

x_{1} = - 2

x_{2} = \frac{1}{3} .

Ici

a = 3.

On dresse le tableau de signes du trinôme.

Tableau: étude du signe du trinôme 3x²+5x-2. Racines: -2 et 1/3.

3 x^{2} + 5 x - 2 ⩾ 0 \Leftrightarrow x \in] - \infty; - 2] \cup [\frac{1}{3}; + \infty [.

2. On cherche les racines du trinôme

- x^{2} + x - 7.

On a

Δ = - 27

- 27 < 0.

Il n'y a pas de racine réelle. Ici

a = - 1

donc

a < 0.

Donc

- x^{2} + x - 7 < 0

pour tout réel

x

.
Par conséquent, l'inéquation

- x^{2} + x - 7 > 0

n'admet aucune solution dans

R

.
L'ensemble des solutions est

S = \emptyset

Pour s'entraîner

Exercices 28
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Factorisation et signe du trinôme

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