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Chapitre 3
Entraînement 1

Équation du second degré

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Différenciation
Parcours 1 : exercices ; ; ; ; ; ; et
Parcours 2 : exercices ; ; ; ; ; ; et ;
Parcours 3 : exercices ; ; ; ; et ;
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37
[Calculer.]
On donne ci-dessous des expressions sous la forme a x^{2}+2 a xx et a sont des réels tels que a \neq 0.
Faire apparaître l'identité remarquable associée pour écrire une égalité vraie comme dans l'exemple suivant : 3 x^{2}+6 x=3(x+1)^{2}-3.

1. 2 x^{2}+4 x

2. 5 x^{2}+10 x

3. -3 x^{2}-6 x

4. -7 x^{2}-14 x
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38
[Calculer.]
Même consigne que précédemment mais les expressions sont cette fois de la forme a x^{2}+b xb est un réel.

1. x^{2}+4 x

2. 2 x^{2}+8 x

3. 3 x^{2}-24 x

4. -5 x^{2}-20 x
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39
[Calculer.]
Écrire les trinômes suivants sous forme canonique en utilisant la méthode des deux exercices précédents.

1. 2 x^{2}+8 x-6

2. -4 x^{2}+48 x-44
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Pour les exercices
40
à
43

Résoudre les équations données dans \R .
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40
[Calculer.]
1. \dfrac{1}{3} x^{2}-x-1=0

2. -x^{2}+\sqrt{3} x+3=0

3. \dfrac{(2 x-1)^{2}}{2}=3

4. -2 x^{2}+\dfrac{x}{4}=1
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41
[Calculer.]

1. 3 x^{2}+22 x-25=0

2. 34 x^{2}+51 x-85=0

3. x^{2}-\sqrt{2} x-1=0
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42
[Calculer.]

1. x^{2}-3=0

2. 2 x^{2}+5=0

3. x^{2}=3 x+1

4. x-3 x^{2}=0

5. 4 x^{2}+8 x-12=0

6. 9(x+1)^{2}-(2 x+3)^{2}=0

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43
[Calculer.]
1. 5 x(2-3 x)=4-9 x^{2}

2. 12 x^{2}+12 x+3=0

3. 3(x+5)^{2}=48

4. 2(x-3)^{2}+(2 x-7)^{2}=0

5. 8 x^{3}+5=(2 x-3)^{3}-(x+1)^{2}

6. (x-1)\left(x^{2}+2\right)-(2 x-2)\left(-x^{2}+5 x-1\right)=0
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Pour les exercices
44
à
46

Résoudre les équations données dans \R après avoir donné le domaine de résolution.
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44
[Calculer.]
1. x(2 x+1)=x^{2}-3

2. x^{3}-5 x^{2}+4 x=0

3. \dfrac{2 x^{2}+3 x-5}{x-1}=0
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45
[Calculer.]
1. x-\dfrac{1}{x}=3

2. \dfrac{x+1}{2}+\dfrac{1}{x-4}=1

3. \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+2}=4
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46
[Calculer.]

1. \dfrac{x^{2}+4 x-1}{x+1}=3 x+1

2. \dfrac{1}{x-1}-\dfrac{4}{x+2}=-\dfrac{5}{3}

3. \dfrac{3}{x+2}-\dfrac{1}{x^{2}-4}=\dfrac{1}{2}
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47
[Calculer.]
Donner le domaine de définition des fonctions suivantes.

1. f : x \mapsto \dfrac{1}{2 x^{2}+3 x-5}

2. g : x \mapsto \dfrac{7-x}{-x^{2}+x-3}

3. h : x \mapsto \dfrac{3}{4 x^{3}-x^{2}-3 x}

4. \ell : x \mapsto \dfrac{\sqrt{x}}{x^{2}+x-5}

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48
[Calculer.]
On considère la parabole \mathcal{P} d'équation y=a x^{2}+b x+ca, b et c sont trois réels tels que a \neq 0.

1. a. Déterminer le point d'intersection de \mathcal{P} avec l'axe des ordonnées.

b. On considère une droite d_{1} d'équation x = kk est un réel quelconque.
Justifier que, pour toute valeur de k, la droite d_{1} coupe la parabole \mathcal{P} en un seul point. Déterminer alors les coordonnées de ce point.

2. a. Dans quels cas existe-t-il au moins un point d'intersection entre \mathcal{P} et l'axe des abscisses ? Justifier.

b. On considère une droite d_{2} d'équation y = kk est un réel quelconque. On s'intéresse aux éventuels points d'intersection entre d_{2} et \mathcal{P}. Déterminer, en justifiant, tous les cas possibles. Pour chacun des cas, exprimer la condition respectée par k en fonction de \Delta et a.
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49
[Raisonner.]

Noam a saisi l'expression de la fonction f sur sa calculatrice et a obtenu la courbe suivante.

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1. Conjecturer le nombre de solutions de l'équation f(x)=0 sur [-10 \: ; 10].

2. Vérifier cette conjecture en modifiant le zoom sur la calculatrice.

3. Démontrer cette conjecture.
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50
Python
[Modéliser.]
On considère l'équation (\mathrm{E}) : a x^{2}+b x+c=0a, b et c sont des réels tels que a \neq 0.

1. Écrire un algorithme en langage naturel qui retourne le nombre de solutions de l'équation (\mathrm{E}).

2. Écrire en Python dans la console une fonction delta (a, b, c) qui retourne le discriminant de (\mathrm{E}).


3. En Python, à quoi sert l'instruction elif ?

4. Compléter les lignes 4 ; 5 et 8 du programme ci-dessous.
 def nombre_solutions(a, b, c):
    discriminant = delta(a, b, c)
    if discriminant < 0:
      return ...
    elif discriminant ...:
      return 1
    else:
      return ...
 

5. Écrire dans la console un autre programme qui donne les solutions lorsqu'elles existent.
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51
[Chercher.]

Julie a saisi l'expression des fonctions f et g sur sa calculatrice et a obtenu les écrans suivants.

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Déterminer l'ordonnée des deux points d'intersection des courbes représentatives des fonctions f et g.
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52
[Calculer.]
Soit m un nombre réel différent de 0. On considère l'équation (\mathrm{E}) suivante : m x^{2}+x+1=0. Pour quelle valeur de m l'équation (\mathrm{E}) admet-elle une solution double ?
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53
[Calculer.]

Soit m un nombre réel. On considère l'équation (\mathrm{E}) suivante : 2 x^{2}+x+m-1=0.

1. Déterminer, en fonction de m, le discriminant de l'équation (\mathrm{E}).

2. En déduire, en fonction de m, le nombre de solutions de l'équation (\mathrm{E}).

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54
DÉMO
[Raisonner.]
On considère l'équation du second degré : a x^{2}+b x+c=0a, b et c sont des nombres réels tels que a \neq 0 et c \neq 0.
Démontrer que si a et c sont de signes contraires, alors cette équation admet deux solutions réelles distinctes.
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55
[Chercher.]
Un architecte travaille sur le plan d'une maison. Le plan de l'étage est schématisé par la figure ci-dessous. \text{ABCD} et \text{BGFE} sont deux carrés.
Le rectangle \text{EFHC}, d'une largeur de 1,15 m, représente le balcon sur lequel donne la chambre principale.
On appelle x la longueur (en mètre) du côté du plus petit des deux carrés. L'étage doit avoir une surface de plancher de 80 m2. Le balcon n'est pas pris en compte.

 Équation du second degré
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Déterminer la valeur de x.
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56
[Chercher.]

On pourra éventuellement se servir de GeoGebra.
Soit \mathcal{H} la courbe d'équation y=\dfrac{1}{2 x+3} définie pour x \neq-\dfrac{3}{2} et \mathcal{D} la droite d'équation y=x-1.
Le but de cet exercice est de déterminer les coordonnées des points d'intersection de ces deux courbes.

1. Construire \mathcal{H} et \mathcal{D} à l'aide de la calculatrice ou de GeoGebra.
Logo Geogebra

GeoGebra

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2. Déterminer graphiquement les valeurs approchées des coordonnées des points d'intersection des deux courbes.

3. Par le calcul, déterminer les coordonnées exactes de ces points d'intersection.
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57
[Calculer.]
Équation bicarrée
On cherche à résoudre l'équation (\mathrm{E}) suivante.
x^{4}-11 x^{2}+18=0.

1. On pose \mathrm{X}=x^{2}.
Montrer que x est solution de (\mathrm{E}) si et seulement si \text{X} est solution de l'équation (\mathrm{E'}) du second degré :
\mathrm{X}^{2}-11 \mathrm{X}+18=0.

2. Résoudre (\mathrm{E'}).

3. En déduire les solutions de (\mathrm{E}).

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58
[Calculer.]
Équation bicarrée
Résoudre les équations suivantes.

1. 2 x^{4}-3 x^{2}+1=0

2. x^{4}+2 x^{2}-3=0

3. 3 x^{4}+5 x^{2}+2=0

4. 3 x^{4}-x^{2}+5=0

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59
[Raisonner.]
Bac ES - Asie - 2015
Soit f la fonction définie sur [0 \: ; 1] par f(x)=2-2 x.
On a tracé ci-dessous la droite \mathrm{D}_{f}, représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \mathrm{I}, \mathrm{J}) du plan.
Le point \text{C} a pour coordonnées (0 \: ; 2).
\Delta est la partie du plan intérieure au triangle \text{OIC}.
Soit a un nombre réel compris entre 0 et 1 . On note \text{A} le point de coordonnées (a \: ; 0) et \text{B} le point de \mathrm{D}_{f} de coordonnées (a \: ; f(a)).
Le but de cet exercice est de trouver la valeur de a telle que le segment [\text{AB}] partage \Delta en deux parties de même aire.

 Équation du second degré
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Déterminer la valeur exacte de a , puis une valeur approchée au centième.
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60
[Chercher.]

Un propriétaire paie pour son appartement une taxe foncière de 750 € en 2016. En 2017, cette taxe foncière augmente de t %. L'année suivante, elle augmente de (t + 5) %. Le propriétaire paie à présent 834,30 €.
Calculer la valeur de t .
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