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Entrainement 1


Équation du second degré





45
[Calculer.]
1. x1x=3x-\dfrac{1}{x}=3

2. x+12+1x4=1\dfrac{x+1}{2}+\dfrac{1}{x-4}=1

3. 1x+1x+2=4\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+2}=4

Pour les exercices
44
à
46


Résoudre les équations données dans R\R après avoir donné le domaine de résolution.

53
[Calculer.] ◉◉
Soit mm un nombre réel. On considère l’équation (E)(\mathrm{E}) suivante : 2x2+x+m1=0.2 x^{2}+x+m-1=0.
1. Déterminer, en fonction de mm, le discriminant de l’équation (E).(\mathrm{E}).

2. En déduire, en fonction de mm, le nombre de solutions de l’équation (E).(\mathrm{E}).


40
[Calculer.]
1. 13x2x1=0\dfrac{1}{3} x^{2}-x-1=0

2. x2+3x+3=0-x^{2}+\sqrt{3} x+3=0

3. (2x1)22=3\dfrac{(2 x-1)^{2}}{2}=3

4. 2x2+x4=1-2 x^{2}+\dfrac{x}{4}=1

54
DÉMO
[Raisonner.]
On considère l’équation du second degré : ax2+bx+c=0a x^{2}+b x+c=0aa, bb et cc sont des nombres réels tels que a0a \neq 0 et c0.c \neq 0.
Démontrer que si aa et cc sont de signes contraires, alors cette équation admet deux solutions réelles distinctes.

37
[Calculer.]
On donne ci-dessous des expressions sous la forme ax2+2axa x^{2}+2 a xxx et aa sont des réels tels que a0.a \neq 0.
Faire apparaître l’identité remarquable associée pour écrire une égalité vraie comme dans l’exemple suivant :
3x2+6x=3(x+1)23.3 x^{2}+6 x=3(x+1)^{2}-3.
1. 2x2+4x2 x^{2}+4 x

2. 5x2+10x5 x^{2}+10 x

3. 3x26x-3 x^{2}-6 x

4. 7x214x-7 x^{2}-14 x

46
[Calculer.] ◉◉
1. x2+4x1x+1=3x+1\dfrac{x^{2}+4 x-1}{x+1}=3 x+1

2. 1x14x+2=53\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{4}{x+2}=-\dfrac{5}{3}

3. 3x+21x24=12\dfrac{3}{x+2}-\dfrac{1}{x^{2}-4}=\dfrac{1}{2}

38
[Calculer.]
Même consigne que précédemment mais les expressions sont cette fois de la forme ax2+bxa x^{2}+b xbb est un réel.
1. x2+4xx^{2}+4 x

2. 2x2+8x2 x^{2}+8 x

3. 3x224x3 x^{2}-24 x

4. 5x220x-5 x^{2}-20 x

59
[Raisonner.]
Bac ES - Asie - 2015
Soit ff la fonction définie sur [0;1][0 \: ; 1] par f(x)=22x.f(x)=2-2 x.
On a tracé ci-dessous la droite Df\mathrm{D}_{f}, représentation graphique de la fonction ff dans un repère orthonormé (O;I,J)(\mathrm{O} ; \mathrm{I}, \mathrm{J}) du plan.
Le point C\text{C} a pour coordonnées (0;2)(0 \: ; 2).
Δ\Delta est la partie du plan intérieure au triangle OIC.\text{OIC}.
Soit aa un nombre réel compris entre 00 et 11 . On note A\text{A} le point de coordonnées (a;0)(a \: ; 0) et B\text{B} le point de Df\mathrm{D}_{f} de coordonnées (a;f(a))(a \: ; f(a)).

 Équation du second degré

Le but de cet exercice est de trouver la valeur de aa telle que le segment [AB][\text{AB}] partage Δ\Delta en deux parties de même aire.
Déterminer la valeur exacte de aa , puis une valeur approchée au centième.

41
[Calculer.] ◉◉
1. 3x2+22x25=03 x^{2}+22 x-25=0

2. 34x2+51x85=034 x^{2}+51 x-85=0

3. x22x1=0x^{2}-\sqrt{2} x-1=0

56
[Chercher.] ◉◉
On pourra éventuellement se servir de GeoGebra.
Soit H\mathcal{H} la courbe d’équation y=12x+3y=\dfrac{1}{2 x+3} définie pour x32x \neq-\dfrac{3}{2} et D\mathcal{D} la droite d’équation y=x1.y=x-1.
Le but de cet exercice est de déterminer les coordonnées des points d’intersection de ces deux courbes.

1. Construire H\mathcal{H} et D\mathcal{D} à l’aide de la calculatrice ou de GeoGebra.
Lancer le module Geogebra

2. Déterminer graphiquement les valeurs approchées des coordonnées des points d’intersection des deux courbes.

3. Par le calcul, déterminer les coordonnées exactes de ces points d’intersection.


51
[Chercher.] ◉◉
Julie a saisi l’expression des fonctions ff et gg sur sa calculatrice et a obtenu les écrans suivants.

équations et inéquations du second degré

 Équation du second degré

Déterminer l’ordonnée des deux points d’intersection des courbes représentatives des fonctions ff et gg.

48
[Calculer.]
On considère la parabole P\mathcal{P} d’équation y=ax2+bx+cy=a x^{2}+b x+caa, bb et cc sont trois réels tels que a0.a \neq 0.
1. a. Déterminer le point d’intersection de P\mathcal{P} avec l’axe des ordonnées.

b. On considère une droite d1d_{1} d’équation x=kx = kkk est un réel quelconque.
Justifier que, pour toute valeur de kk, la droite d1d_{1} coupe la parabole P\mathcal{P} en un seul point. Déterminer alors les coordonnées de ce point.

2. a. Dans quels cas existe-t-il au moins un point d’intersection entre P\mathcal{P} et l’axe des abscisses ? Justifier.

b. On considère une droite d2d_{2} d’équation y=ky = kkk est un réel quelconque. On s’intéresse aux éventuels points d’intersection entre d2d_{2} et P\mathcal{P}. Déterminer, en justifiant, tous les cas possibles. Pour chacun des cas, exprimer la condition respectée par kk en fonction de Δ\Delta et a.a.

58
[Calculer.]
Équation bicarrée
Résoudre les équations suivantes.
1. 2x43x2+1=02 x^{4}-3 x^{2}+1=0

2. x4+2x23=0x^{4}+2 x^{2}-3=0

3. 3x4+5x2+2=03 x^{4}+5 x^{2}+2=0

4. 3x4x2+5=03 x^{4}-x^{2}+5=0


Pour les exercices
40
à
43


Résoudre les équations données dans R\R .

39
[Calculer.]
Écrire les trinômes suivants sous forme canonique en utilisant la méthode des deux exercices précédents.
1. 2x2+8x62 x^{2}+8 x-6

2. 4x2+48x44-4 x^{2}+48 x-44

47
[Calculer.]
Donner le domaine de définition des fonctions suivantes.
1. f:x12x2+3x5f : x \mapsto \dfrac{1}{2 x^{2}+3 x-5}

2. g:x7xx2+x3g : x \mapsto \dfrac{7-x}{-x^{2}+x-3}

3. h:x34x3x23xh : x \mapsto \dfrac{3}{4 x^{3}-x^{2}-3 x}

4. :xxx2+x5\ell : x \mapsto \dfrac{\sqrt{x}}{x^{2}+x-5}


50
PYTHON
[Modéliser.]
On considère l’équation (E):ax2+bx+c=0(\mathrm{E}) : a x^{2}+b x+c=0aa, bb et cc sont des réels tels que a0.a \neq 0.
1. Écrire un algorithme en langage naturel qui retourne le nombre de solutions de l’équation (E).(\mathrm{E}).

2. Écrire en Python dans la console une fonction delta (a, b, c) qui retourne le discriminant de (E).(\mathrm{E}).



3. En Python, à quoi sert l’instruction elif ?

4. Compléter les lignes 4 ; 5 et 8 du programme ci-dessous.

 def nombre_solutions(a, b, c):
    discriminant = delta(a, b, c)
    if discriminant < 0:
      return ...
    elif discriminant ...:
      return 1
    else:
      return ...
 

5. Écrire dans la console un autre programme qui donne les solutions lorsqu’elles existent.

55
[Chercher.]
Un architecte travaille sur le plan d’une maison. Le plan de l’étage est schématisé par la figure ci-dessous. ABCD\text{ABCD} et BGFE\text{BGFE} sont deux carrés.
Le rectangle EFHC\text{EFHC}, d’une largeur de 1,15 m, représente le balcon sur lequel donne la chambre principale.
 Équation du second degré

On appelle xx la longueur (en mètre) du côté du plus petit des deux carrés. L’étage doit avoir une surface de plancher de 80 m2. Le balcon n’est pas pris en compte.
Déterminer la valeur de xx.

52
[Calculer.]
Soit mm un nombre réel différent de 00. On considère l’équation (E)(\mathrm{E}) suivante : mx2+x+1=0.m x^{2}+x+1=0. Pour quelle valeur de mm l’équation (E)(\mathrm{E}) admet-elle une solution double ?

44
[Calculer.]
1. x(2x+1)=x23x(2 x+1)=x^{2}-3

2. x35x2+4x=0x^{3}-5 x^{2}+4 x=0

3. 2x2+3x5x1=0\dfrac{2 x^{2}+3 x-5}{x-1}=0

57
[Calculer.]
Équation bicarrée
On cherche à résoudre l’équation (E)(\mathrm{E}) suivante.
x411x2+18=0.x^{4}-11 x^{2}+18=0.
1. On pose X=x2.\mathrm{X}=x^{2}.
Montrer que xx est solution de (E)(\mathrm{E}) si et seulement si X\text{X} est solution de l’équation (E)(\mathrm{E'}) du second degré :
X211X+18=0.\mathrm{X}^{2}-11 \mathrm{X}+18=0.

2. Résoudre (E).(\mathrm{E'}).

3. En déduire les solutions de (E).(\mathrm{E}).


42
[Calculer.] ◉◉
1. x23=0x^{2}-3=0

2. 2x2+5=02 x^{2}+5=0

3. x2=3x+1 x^{2}=3 x+1

4. x3x2=0x-3 x^{2}=0

5. 4x2+8x12=04 x^{2}+8 x-12=0

6. 9(x+1)2(2x+3)2=09(x+1)^{2}-(2 x+3)^{2}=0


43
[Calculer.]
1. 5x(23x)=49x25 x(2-3 x)=4-9 x^{2}

2. 12x2+12x+3=012 x^{2}+12 x+3=0

3. 3(x+5)2=483(x+5)^{2}=48

4. 2(x3)2+(2x7)2=02(x-3)^{2}+(2 x-7)^{2}=0

5. 8x3+5=(2x3)3(x+1)28 x^{3}+5=(2 x-3)^{3}-(x+1)^{2}

6. (x1)(x2+2)(2x2)(x2+5x1)=0(x-1)\left(x^{2}+2\right)-(2 x-2)\left(-x^{2}+5 x-1\right)=0

49
[Raisonner.] ◉◉
Noam a saisi l’expression de la fonction ff sur sa calculatrice et a obtenu la courbe suivante.
équations et inéquations du second degré

équations et inéquations du second degré

1. Conjecturer le nombre de solutions de l’équation f(x)=0f(x)=0 sur [10;10][-10 \: ; 10].

2. Vérifier cette conjecture en modifiant le zoom sur la calculatrice.

3. Démontrer cette conjecture.


60
[Chercher.] ◉◉◉
Un propriétaire paie pour son appartement une taxe foncière de 750 € en 2016. En 2017, cette taxe foncière augmente de tt %. L’année suivante, elle augmente de (t+5)(t + 5) %. Le propriétaire paie à présent 834,30 €.
Calculer la valeur de tt .

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 41 ; 42 ; 49 ; 61 ; 66 ; 80 ; 83 et 99
◉◉ Parcours 2 : exercices 46 ; 51 ; 53 ; 56 ; 65 ; 72 ; 88 et 109 ;
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 60 ; 71 ; 91 ; 103 ; 106 et 108 ;
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