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TRAVAILLER ENSEMBLE


Message de Léonard de Vinci





Léonard de Vinci a laissé plusieurs citations célèbres et l’une d’elles semble tout particulièrement destinée aux élèves du cours de mathématiques. Elle a été cryptée avec un code de César.
L’objectif de cet exercice est de trouver la clé de codage puis de déchiffrer cette phrase. Cette clé sera trouvée grâce à un trinôme dont il faut obtenir les trois coefficients.

Léonard de Vinci statue

Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

PARTIE 1 ★★★

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Un des coefficients du trinôme qui donnera la clé de codage est la racine entière positive du polynôme P\text{P} défini sur R\R par P(x)=10x337x213x+4.\mathrm{P}(x)=10 x^{3}-37 x^{2}-13 x+4.
1. Vérifier que 12\dfrac{-1}{2} est une racine de P.\text{P}.

2. On admet que P\text{P} est factorisable par (x+12)\left(x+\dfrac{1}{2}\right).
Déterminer trois réels aa , bb et cc tels que P(x)=(x+12)(ax2+bx+c)\mathrm{P}(x)=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left(a x^{2}+b x+c\right) pour tout xx réel.

3. Déterminer toutes les racines de P.\text{P}.

4. En déduire le coefficient demandé.

PARTIE 2 ★★

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Soit ff le trinôme défini sur R\R par f(x)=3x2+5x2.f(x)=3 x^{2}+5 x-2.
Soit gg le trinôme défini sur R\R par g(x)=2x2x10.g(x)=2 x^{2}-x-10.
Un des coefficients du trinôme qui donnera la clé de codage est le plus petit entier naturel d’un intervalle sur lequel ff et gg sont positives toutes les deux.
Retrouver ce nombre en étudiant le signe de ces fonctions.

PARTIE 3 ★★★

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ff est une fonction trinôme vérifiant :
f(1)=18;f(1)=18 \: ;
f(1)=2;f(-1)=2 \: ;
Δ=160.\Delta=160.
Un des coefficients du trinôme qui donnera la clé de codage est l’ordonnée du sommet de la parabole P\mathcal { P } représentant la fonction ff. Cette ordonnée est un nombre entier.
Déterminer ff à l’aide des indications ci-dessus et d’un système, puis déterminer le coefficient demandé.

Mise en commun

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Le trinôme recherché est de la forme ax2+bx+ca x^{2}+b x+ccc est la solution de la partie 1, aa est la solution de la partie 2 et bb est la solution de la partie 3.
1. Écrire l’expression du trinôme recherché.

2. La différence entre la somme et le produit des racines de ce trinôme est la clé permettant de décoder le message de Léonard de Vinci. Décoder le message.


Message codé

Pour aller plus loin

À l’aide de Python, effectuer un programme permettant de déchiffrer un message avec un code de César lorsque la clé est connue.


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