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TP / TICE 2


Méthode de Hörner




MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
PYTHON

1. Programmer dans la console ci-dessous, à l’aide de Python, l’algorithme de Hörner pour calculer P(α)\mathrm{P}(\alpha)P\text{P} est un polynôme de degré 33 donné et α\alpha un réel donné.

2. Utiliser l’algorithme de Hörner pour calculer l’image de 11, 3-3 et 2\sqrt{2} par les polynômes suivants :
P1(x)=x32x2x+1\text{P}_{1}(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+1
P2(x)=2x3+x23x3\text{P}_{2}(x)=-2 x^{3}+x^{2}-3 x-3
P3(x)=x3+x23x+1\mathrm{P}_{3}(x)=x^{3}+x^{2}-3 x+1

3. Comment modifier cet algorithme pour obtenir les coefficients de Hörner lorsque α\alpha est une racine de P\text{P} ?

4. Utiliser l’algorithme modifié pour obtenir à la main une factorisation de P3.\mathrm{P}_{3}.

5. Déterminer toutes les racines de P3\mathrm{P}_{3}.
Aide : La fonction créée prend comme arguments les coefficients de P\text{P} et α.\alpha.

Objectif

Découvrir la méthode de Hörner pour factoriser un polynôme dont on connaît une racine en utilisant une des deux méthodes.


Méthode de Hörner - Méthode 2 - Équations et inéquations du second degré

Énoncé

Soient P\text{P} un polynôme quelconque et α\alpha un réel.
L’algorithme de Hörner (ou schéma de Hörner) est un algorithme permettant de calculer P(α)\text{P}(\alpha) avec un nombre d’opérations réduit par rapport à la méthode classique. Dans le cas où α\alpha est une racine du polynôme P\text{P}, les coefficients obtenus, appelés coefficients de Hörner, permettent de factoriser P\text{P}.

Questions préliminaires : On suppose que P\text{P} est un polynôme de degré 33 et on note P(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0\mathrm{P}(x)=a_{3} x^{3}+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}a3,a2,a1a_{3}, a_{2}, a_{1} et a0 a_{0} sont des réels tels que a30a_{3} \neq 0.
1. Démontrer que P(α)=a0+α[a1+α(a2+αa3)]\mathrm{P}(\alpha)=a_{0}+\alpha\left[a_{1}+\alpha\left(a_{2}+\alpha a_{3}\right)\right]. L’algorithme décrit par la figure permet donc de calculer P(α)\mathrm{P}(\alpha).

2. Montrer que si α\alpha est une racine de P\text{P}, alors
P(x)=(xα)[a3x2+(a2+αa3)x+a1+α(a2+αa3)].\mathrm{P}(x)=(x-\alpha)\left[\textcolor{orange}{a_{3}} x^{2}+\left(\textcolor{orange}{a_{2}+\alpha a_{3}}\right) x+\textcolor{orange}{a_{1}+\alpha\left(a_{2}+\alpha a_{3}\right)}\right].

Les coefficients de Hörner sont donc a3;a2+αa3;a1+α(a2+αa3).a_{3} \: ; a_{2}+\alpha a_{3} \: ; a_{1}+\alpha\left(a_{2}+\alpha a_{3}\right).
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR


On considère un polynôme P\text{P} défini par P(x)=x32x2x+1.\mathrm{P}(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+1. Il s’agit d’utiliser un tableur pour calculer les coefficients de Hörner et pour calculer P(α)\mathrm{P}(\alpha) pour un α\alpha donné.
Méthode de Hörner - Méthode 2 - Équations et inéquations du second degré
Une ligne du tableur contiendra les coefficients de P\text{P}. Une cellule à part contiendra la valeur de α\alpha. Sur une ligne devront apparaître les calculs intermédiaires en commençant par la valeur 00 pour initialiser le processus.
Une autre ligne contiendra les coefficients de Hörner (on pourra commencer également par la valeur 00) et la dernière cellule de cette ligne contiendra P(α).\mathrm{P}(\alpha).
1. Déterminer les formules à entrer dans les lignes 3 et 4 pour obtenir les résultats voulus en étirant les formules vers la droite, puis entrez-les dans le tableur. Où lit-on P(α)?\mathrm{P}(\alpha) \: ?

Lancer le module Geogebra

2. Utiliser la feuille de calcul pour calculer l’image de 11, 3-3 et 2\sqrt{2} par les polynômes suivants :
P1(x)=x32x2x+1\text{P}_{1}(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+1
P2(x)=2x3+x23x3\text{P}_{2}(x)=-2 x^{3}+x^{2}-3 x-3
P3(x)=x3+x23x+1\mathrm{P}_{3}(x)=x^{3}+x^{2}-3 x+1

3. Donner une racine du polynôme P3.\text{P}_3.

4. Utiliser les coefficients de Hörner donnés par la feuille de calcul pour obtenir une factorisation de P3\text{P}_3 puis déterminer toutes les racines de P3.\text{P}_3.
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