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Méthode de Hörner
P.85

TP / TICE 2


Méthode de Hörner




Énoncé

Soient un polynôme quelconque et un réel.
L’algorithme de Hörner (ou schéma de Hörner) est un algorithme permettant de calculer avec un nombre d’opérations réduit par rapport à la méthode classique. Dans le cas où est une racine du polynôme , les coefficients obtenus, appelés coefficients de Hörner, permettent de factoriser .

Questions préliminaires : On suppose que est un polynôme de degré et on note et sont des réels tels que .
1. Démontrer que . L’algorithme décrit par la figure permet donc de calculer .

2. Montrer que si est une racine de , alors


Les coefficients de Hörner sont donc


Méthode de Hörner - Méthode 2 - Équations et inéquations du second degré

Objectif

Découvrir la méthode de Hörner pour factoriser un polynôme dont on connaît une racine en utilisant une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
PYTHON

1. Programmer dans la console ci-dessous, à l’aide de Python, l’algorithme de Hörner pour calculer est un polynôme de degré donné et un réel donné.

2. Utiliser l’algorithme de Hörner pour calculer l’image de , et par les polynômes suivants :




3. Comment modifier cet algorithme pour obtenir les coefficients de Hörner lorsque est une racine de ?

4. Utiliser l’algorithme modifié pour obtenir à la main une factorisation de

5. Déterminer toutes les racines de .
Aide : La fonction créée prend comme arguments les coefficients de et
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR


On considère un polynôme défini par Il s’agit d’utiliser un tableur pour calculer les coefficients de Hörner et pour calculer pour un donné.
Méthode de Hörner - Méthode 2 - Équations et inéquations du second degré
Une ligne du tableur contiendra les coefficients de . Une cellule à part contiendra la valeur de . Sur une ligne devront apparaître les calculs intermédiaires en commençant par la valeur pour initialiser le processus.
Une autre ligne contiendra les coefficients de Hörner (on pourra commencer également par la valeur ) et la dernière cellule de cette ligne contiendra
1. Déterminer les formules à entrer dans les lignes 3 et 4 pour obtenir les résultats voulus en étirant les formules vers la droite, puis entrez-les dans le tableur. Où lit-on

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2. Utiliser la feuille de calcul pour calculer l’image de , et par les polynômes suivants :




3. Donner une racine du polynôme

4. Utiliser les coefficients de Hörner donnés par la feuille de calcul pour obtenir une factorisation de puis déterminer toutes les racines de
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