Entrainement 3


Propriétés supplémentaires





93
[Chercher.]
Marie-Lou et Charlotte veulent fabriquer une boîte à bijoux cylindrique pour la fête des mères. Elles disposent d’un ruban d’une longueur de 1,10 m avec lequel elles veulent entourer la boîte pour l’offrir. Elles auront besoin de 50 cm pour faire le noeud. Elles aimeraient en outre que la boîte ait la plus grande aire latérale possible pour la décorer d’un dessin.
On considère uniquement l’aire latérale A\mathrm{A} du cylindre sans fond ni couvercle et, dans ce cas, A=2πr×h\mathrm{A}=2 \pi r \times h.
Déterminer le rayon et la hauteur de la boîte vérifiant ces conditions.


équations et inéquations du second degré

89
[Chercher.]
Soit ff une fonction trinôme. ff admet 12\dfrac{-1}{2} et 3-3 comme racines. De plus, ff admet 258\dfrac{-25}{8} comme extremum.

Déterminer l’expression de f(x)f(x) en fonction de xx.

84
[Chercher.]
Un rectangle a pour périmètre 36 cm et pour aire 32 cm2.
Déterminer les dimensions de ce rectangle.

96
[Chercher.]
On considère une fonction trinôme du second degré ff telle que :
f(0)=2f(0)=2 et f(1)=1; f(1)=1 \: ;
• la somme de ses racines est égale à 3.-3 .

Déterminer l’expression de f(x)f(x)

87
[Modéliser.]
Grégoire, 10 ans, veut délimiter dans son jardin un enclos rectangulaire pour son lapin nain. Son père lui donne 18 m de grillage.
1. Déterminer les dimensions de cet enclos rectangulaire qui donnent une aire maximale.

2. Quelle est alors la valeur de cette aire ?

88
[Représenter.] ◉◉
ff et gg sont deux fonctions trinômes du second degré.
L’écran de la calculatrice est abîmé et on ne peut pas lire l’expression de g(x)g(x) en fonction de xx.

Propriétés supplémentaires
équations et inéquations du second degré

1. Déterminer la deuxième solution de l’équationf(x)=g(x).f(x)=g(x).

2.En déduire le coefficient manquant dans l’expression de g(x)g(x).


94
[Chercher.]
La différence entre deux nombres est 12. Déterminer ces deux nombres sachant que la somme de leur carré est minimale.

83
[Chercher.] ◉◉
Existe-t-il deux nombres réels dont la somme est 12 et le produit est 42 ?

90
[Chercher.]
La figure ci-dessous représente le logo d’une entreprise. ABCD\text{ABCD} est un carré de côté 4 cm. AFKE\text{AFKE} et KHCG\text{KHCG} sont des carrés. Le créateur de ce logo souhaite que l’aire de la surface en bleu soit la plus petite possible.

équations et inéquations du second degré

Pour quelle valeur de xx, la partie bleue a-t-elle la plus petite aire ?

85
[Calculer.]
Pour chacune des fonctions trinômes suivantes, calculer le discriminant ainsi que les coordonnées du sommet de sa parabole, et dresser son tableau de variations sur R\R.
1. f(x)=x2+4x1f(x)=-x^{2}+4 x-1

Couleurs
Formes
Dessinez ici
2. g(x)=4x2+16x+12g(x)=4 x^{2}+16 x+12

Couleurs
Formes
Dessinez ici
3. h(x)=2x2+20x50h(x)=-2 x^{2}+20 x-50

Couleurs
Formes
Dessinez ici
4. k(x)=10x230x+572k(x)=10 x^{2}-30 x+\dfrac{57}{2}

Couleurs
Formes
Dessinez ici

86
[Chercher.]
Soit bb un nombre réel et soit ff la fonction trinôme définie par f(x)=x2+bx5f(x)=-x^{2}+b x-5. On sait que ff admet un extremum en 44.
1. Préciser s’il s’agit d’un minimum ou d’un maximum.

2. Déterminer la valeur de cet extremum.

80
[Calculer.] ◉◉
Pour chaque équation, déterminer une solution évidente et en déduire l’autre sans calculer le discriminant.
1. 2x2+x3=02 x^{2}+x-3=0

2. 3x2+10x+7=03 x^{2}+10 x+7=0

3. x2+(31)x3=0x^{2}+(\sqrt{3}-1) x-\sqrt{3}=0

4. x2+45x25=0x^{2}+4 \sqrt{5} x-25=0


82
[Chercher.]
Trouver deux nombres dont la somme est 24 et le produit est 58.

97
[Raisonner.]
On donne ci-dessous les courbes représentatives de trois fonctions trinômes du second degré ff en vert, gg en rouge et hh en bleu.

équations et inéquations du second degré

1. En utilisant la forme factorisée de f(x)f(x), déterminer l’expression de f(x)f(x) en fonction de xx.

2. Déterminer, de même, les expressions de g(x)g(x) et h(x)h(x).

3. Les courbes représentatives des fonctions f,f, gg et hh ont-elles un point commun ? Si oui, déterminer ses coordonnées.

92
[Chercher.]
Le sponsor d’une célèbre équipe de football vend des maillots aux couleurs de l’équipe. Il achète ces maillots à son fournisseur au prix de 10 € l’unité. Il en vend 200 unités par jour à 50 € chacune. Au vu des bons résultats de l’équipe au cours de la saison, il souhaite augmenter le prix de ces maillots. Il réalise une étude de marché qui montre que toute augmentation de 1 € fera baisser la vente de deux maillots par jour. On admet que le nombre de maillots achetés au fournisseur est le même que le nombre de maillots vendus, quel que soit le prix.

Déterminer le nouveau prix que devra fixer le sponsor pour réaliser un bénéfice maximum.

98
[Raisonner.]
ABCD\text{ABCD} est un carré de côté 4.4. Soit x[0;4]x \in[0 \: ; 4]. E\text{E} est le point de [AB][\mathrm{AB}] tel que AE=x\mathrm{AE}=x et F\text{F} est le point de [AD][\mathrm{AD}] tel que DF=x\mathrm{DF}=x.
équations et inéquations du second degré
Déterminer la valeur de xx pour que l’aire du triangle FEC\text{FEC} soit minimale.


95
[Chercher.]
On considère la fonction trinôme du second degré ff telle que :
f(0)=3f(0)=3 et f(1)=1;f(1)=-1 \: ;
• le produit de ses racines est égal à 32\dfrac{3}{2}.
Déterminer l’expression de f(x)f(x).

91
[Chercher.] ◉◉◉
Un club de vacances organise un week-end avec des activités de plein air. Le nombre maximum de participants est fixé à 60. Le prix par personne est de 50 € pour les 30 premiers. Pour tout participant supplémentaire, chaque personne bénéficie d’une remise de 1 €. Par exemple, si 35 personnes s’inscrivent à ce week-end, le prix par personne sera de 45 €.
Pour quel nombre de participants, le club de vacances gagnera-t-il le plus d’argent ?

81
[Chercher.]
Trouver deux nombres dont la somme est 10 et le produit est 13.

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 41 ; 42 ; 49 ; 61 ; 66 ; 80 ; 83 et 99
◉◉ Parcours 2 : exercices 46 ; 51 ; 53 ; 56 ; 65 ; 72 ; 88 et 109 ;
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 60 ; 71 ; 91 ; 103 ; 106 et 108 ;
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