Synthèse





107
[Calculer.]
Soit nN.n \in \mathbb{N}^{*}. On souhaite calculer la somme des nn premiers entiers naturels et la somme de leur carré.
On note S1=1+2+3++(n1)+n\mathrm{S}_{1}=1+2+3+\ldots+(n-1)+n et S2=12+22+32++(n1)2+n2.\mathrm{S}_{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+(n-1)^{2}+n^{2}.
1. Soit P\text{P} un trinôme tel que, pour tout réel x,x, P(x)=ax2+bx+c\text{P}(x)=a x^{2}+b x+caa , bb et cc sont des réels et a0.a \neq 0.

a. Pour tout réel xx, exprimer P(x+1)P(x)\mathrm{P}(x+1)-\mathrm{P}(x) en fonction de xx, aa, bb et c.c.

b. Déterminer aa, bb et cc pour que, pour tout xRx \in \R, P(x+1)P(x)=x.\mathrm{P}(x+1)-\mathrm{P}(x)=x.

c. Démontrer que S1=P(n+1)P(1)\mathrm{S}_1 =\mathrm{P}(n+1)-\mathrm{P}(1) et en déduire que S1=n(n+1)2.\mathrm{S}_{1}=\dfrac{n(n+1)}{2}.

2. Soit Q\text{Q} un polynôme de degré 3 tel que, pour tout réel xx, Q(x)=ax3+bx2+cx+d\text{Q}(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d, où aa , bb , cc et dd sont des réels et a0a \neq 0.

a. Déterminer aa, bb, cc et dd pour que, pour tout xRx \in \R,
Q(x+1)Q(x)=x2.\text{Q}(x+1)-\text{Q}(x)=x^{2}.

b. Démontrer que S2=Q(n+1)Q(1)\mathrm{S}_{2}=\mathrm{Q}(n+1)-\mathrm{Q}(1) et en déduire que S2=n(n+1)(2n+1)6.S_{2}=\dfrac{n(n+1)(2 n+1)}{6}.

3. En s’inspirant des questions précédentes, trouver une formule pour la somme
S3=13+23+33++(n1)3+n3.\mathrm{S}_{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+(n-1)^{3}+n^{3}.



106
[Chercher.] ◉◉◉
MAT.1re.3.SYNT.coffre-retouche
Albert, un vieil oncle un peu excentrique et féru de mathématiques, a laissé en héritage à ses quatre neveux, Thomas, Paolo, Leïla et Sarah, un coffre contenant toute sa fortune. Ce coffre est verrouillé par un code numérique. Albert voulait faire en sorte que le code ne puisse être révélé en l’absence d’un des neveux. Chacun reçut donc par testament une lettre avec un indice et seule leur mise en commun pouvait permettre de trouver le code.
• Sur la lettre de Thomas était écrit A(9;1673).\mathrm{A}(9 \: ; 1 \,673).
• Sur celle de Paolo, il y avait inscrit B(18;1862).\mathrm{B}(-18 \: ; 1 \,862).
• Sur celle de Leïla était noté C(54;4598).\mathrm{C}(54 \: ; 4 \,598).
• Sur celle de Sarah, il était indiqué qu’elle devrait utiliser le nombre de quatre chiffres formé en accolant le jour et le mois de naissance d’Albert. Ce dernier est né un 14 février.
L’exécuteur testamentaire leur remit alors une lettre commune écrite par Albert. La voici :

« Mes chers petits,
Vous voici chacun en possession d’un indice. Si vous unissez vos forces, vous pourrez découvrir mon trésor. Pardonnez à un vieil homme amoureux des mathématiques de vous proposer un petit exercice. Les trois points dont vous avez les coordonnées sont situés sur une même parabole dont vous devez trouver une équation. Une fois cela fait, le code qui ouvrira mon coffre est l’image par le trinôme en question du nombre indiqué dans la lettre de Sarah. À vous de jouer ! »

1. Déterminer une équation de la parabole qui passe par les points A\text{A}, B\text{B} et C.\text{C}.

2. Déterminer le long code qui permet d’ouvrir le coffre.


99
[Calculer.] ◉◉
Pour chacune des fonctions trinômes ff suivantes :
a. donner son tableau de variations ;
b. déterminer son nombre de racines et, le cas échéant, les calculer ;
c. étudier le signe de f(x)f(x) en fonction de xx ;
d. tracer sa représentation graphique dans un repère orthogonal.

1. f(x)=x2+x+1 f(x)=x^{2}+x+1
a.
Couleurs
Formes
Dessinez ici


b.

c.

d.
Equations et inéquations du second degré
2. f(x)=2x2+4x+2 f(x)=-2 x^{2}+4 x+2
a.
Couleurs
Formes
Dessinez ici


b.

c.

d.
Equations et inéquations du second degré
3. f(x)=x2+5f(x)=-x^{2}+5
a.
Couleurs
Formes
Dessinez ici


b.

c.

d.
Equations et inéquations du second degré
4. 4x220x+254 x^{2}-20 x+25
a.
Couleurs
Formes
Dessinez ici


b.

c.

d.
Equations et inéquations du second degré

105
[Calculer.]
Méthode de Tschirnhaus.
L’objectif de cet exercice est de donner une méthode pour résoudre une équation polynomiale de degré 33 de la forme ax3+bx2+cx+d=0(E),a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0 \: (\text{E}),a,a, b,b, cc et dd des réels quelconques avec a0.a \neq 0.
L’idée est de se ramener, à l’aide d’un changement de variable, à une équation de la forme x3+px+q=0x^{3}+p x+q=0 avec pp et qq des réels (méthode de Tschirnhaus) puis d’utiliser la méthode de Cardan vue dans l’exercice précédent pour résoudre cette nouvelle équation.

1. uu et vv étant des réels, développer (u+v)3.(u+v)^{3}.

2. Montrer qu’en utilisant le changement de variable X=x+b3ax=Xb3a\mathrm{X}=x+\dfrac{b}{3 a} \Leftrightarrow x=\mathrm{X}-\dfrac{b}{3 a} on obtient, à partir de l’équation (E),(\mathrm{E}), une équation de la forme X3+pX+q=0.\mathrm{X}^{3}+p \mathrm{X}+q=0.
On donnera une expression de pp et qq en fonction de a,a, b,b, cc et d.d.


102
GEOGEBRA
[Raisonner.]
Soit ff la fonction trinôme définie par f(x)=x22f(x)=x^{2}-2 et soit P\mathcal{P} la parabole représentant ff dans un plan rapporté à un repère orthonormé.
Soient mm un réel différent de 00 et (Dm)\left(\mathrm{D}_{m}\right) la droite d'équation y=mx.y=mx.
1. Prouver que, pour tout réel mm différent de 00, (Dm)\left(\mathrm{D}_{m}\right) et P\mathcal{P} ont deux points d’intersection. On note ces points Am\mathrm{A}_{m} et Bm.\mathrm{B}_{m}.

2. Pour m0m \neq 0, on note Im\text{I}_{m} le milieu du segment [AmBm]\left[\mathrm{A}_{m} \mathrm{B}_{m}\right].
a. Déterminer, en fonction de mm, les coordonnées des points Am\mathrm{A}_{m} et Bm.\mathrm{B}_{m}.

b. Déterminer, en fonction de mm, les coordonnées du point Im.\mathrm{I}_{m}.

c. Justifier que les coordonnées de Im\mathrm{I}_{m} vérifient l’équation y=2x2.y=2 x^{2}.

3. À l’aide de GeoGebra, définir un curseur mm qui varie entre 10-10 et 1010 puis tracer la droite (Dm)\left(\mathrm{D}_{m}\right) ainsi que P.\mathcal{P}.
4. Faire afficher la trace de Im\mathrm{I}_{m} lorsque mm varie et retrouver le résultat démontré à la question 2..
Lancer le module Geogebra

109
EN PHYSIQUE
[Chercher.] ◉◉
Rappels de physique : On rappelle que dans un montage en parallèle (figure 1), la résistance équivalente (en ohms) est déterminée par 1Req=1R1+1R2.\dfrac{1}{\mathrm{R}_{\mathrm{eq}}}=\dfrac{1}{\mathrm{R}_{1}}+\dfrac{1}{\mathrm{R}_{2}}.
Équations et inéquations du second degré
Dans un montage en série (figure 2), la résistance équivalente est donnée par Req=R1+R2.\mathrm{R}_{\mathrm{eq}}=\mathrm{R}_{1}+\mathrm{R}_{2}.
Équations et inéquations du second degré
On considère les montages ci-dessous (figure 3) où xx est un réel strictement positif.
Équations et inéquations du second degré

1. Déterminer la résistance équivalente Req1\mathrm{R}_{\mathrm{eq}_{1}} pour le premier montage en fonction de xx et R\text{R}.

2. Déterminer la résistance équivalente Req2\mathrm{R}_{\mathrm{eq}_{2}} pour le second montage en fonction de xx et R\text{R}.

3. Déterminer une équation dont xx est solution sachant que Req1=Req2.\mathrm{R}_{\mathrm{eq}_{1}}=\mathrm{R}_{\mathrm{eq}_{\mathrm{2}}}.

4. Sachant que R\text{R} = 100 ohms, déterminer xx.

Histoire des maths

Evariste Gallois

Une méthode de résolution générale des équations de degré 4 fut publiée dans l’Ars Magna du mathématicien italien Cardan en 1545, en même temps que celle des équations de degré 3. En effet, dès 1540, Ludovico Ferrari, un élève de Cardan, avait découvert une méthode permettant de trouver les solutions d’une équation polynomiale de degré 4 dès lors que l’on sait résoudre les équations de degré 3.
Pour les équations de degré 5 ou plus, au début du XIXe siècle, Évariste Galois, mathématicien français mort à 20 ans au cours d’un duel, publia une démonstration prouvant l’impossibilité de résoudre l’équation générale du cinquième degré par radicaux. Cela conduisit à la théorie de Galois, théorie révolutionnaire que les mathématiciens mirent plusieurs décennies à comprendre.

101
[Calculer.]
Après avoir donné l’ensemble de résolution, résoudre les équations ou inéquations suivantes.
1. x1=2x+3\sqrt{x-1}=-2 x+3

2. x2+18=2x2+8x2\sqrt{x^{2}+18}=\sqrt{2 x^{2}+8 x-2}

3. x+5x2x2\sqrt{x+5} \leqslant \sqrt{x^{2}-x-2}

4. 1x+2>4x+3\dfrac{1}{x+2}>4 x+3

5. 3x252x2+x30\dfrac{3 x^{2}-5}{2 x^{2}+x-3} \leqslant 0

100
[Chercher.]
Les courbes ci-dessous sont des paraboles représentant chacune une fonction trinôme f:xax2+bx+cf : x \mapsto a x^{2}+b x+c dans un repère orthogonal.

MAT1_CH3_p95_EX100

1.Dans chaque cas, donner le signe de aa ainsi que le signe du discriminant Δ\Delta. Donner également le signe de bb et de c.c.

2. En déduire pour chaque cas le signe de la somme et du produit des éventuelles racines.


108
[Calculer.] ◉◉◉
En utilisant un changement de variables, résoudre les équations suivantes.
1. x2x3=0x-2 \sqrt{x}-3=0

2. (xx1)25x2x2+1=0\left(\dfrac{x}{x-1}\right)^{2}-\dfrac{5 x}{2 x-2}+1=0

3. (x2x1)23x2+3x1=0\left(x^{2}-x-1\right)^{2}-3 x^{2}+3 x-1=0

4. 2x27x4=02 x^{2}-7|x|-4=0

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 41 ; 42 ; 49 ; 61 ; 66 ; 80 ; 83 et 99
◉◉ Parcours 2 : exercices 46 ; 51 ; 53 ; 56 ; 65 ; 72 ; 88 et 109 ;
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 60 ; 71 ; 91 ; 103 ; 106 et 108 ;

104
[Calculer.]
Méthode de Cardan.
L’objectif de cet exercice est de découvrir la méthode de Cardan pour résoudre des équations polynomiales de degré 3 de la forme : x3+px+q=0x^{3}+p x+q=0 pour pp et qq des réels quelconques.
Soient pp et qq deux réels quelconques. On appelle (E)(\mathrm{E}) l’équation : x3+px+q=0x^{3}+p x+q=0.
1. Soit uu et vv deux réels. Montrer que :
(u+v)33u×v(u+v)(u3+v3)=0.(u+v)^{3}-3 u \times v(u+v)-\left(u^{3}+v^{3}\right)=0.

2. Ainsi, en posant le changement de variable x=u+vx=u+v, on obtient l'équation (E)\left(\mathrm{E}^{\prime}\right) :
x33×u×v×x(u3+v3)=0.x^{3}-3 \times u \times v \times x-\left(u^{3}+v^{3}\right)=0.
On cherche donc uu et vv tels que u×v=p3u \times v=\dfrac{-p}{3} et u3+v3=q.u^{3}+v^{3}=-q.
Ou encore, on cherche uu et vv tels que u3×v3=p327u^{3} \times v^{3}=-\dfrac{p^{3}}{27} et u3+v3=q.u^{3}+v^{3}=-q.
Si on pose α=u3\alpha=u^{3} et β=v3\beta=v^{3}, cela revient à chercher α\alpha et β\beta dont on connaît la somme S\text{S} et le produit P\text{P} :
P=αβ=p327\mathrm{P}=\alpha \beta=-\dfrac{p^{3}}{27} et S=α+β=q.\mathrm{S}=\alpha+\beta=-q.
a. Donner une équation du second degré dont α\alpha et β\beta sont solutions.

b. Déterminer, en fonction de pp et qq , le discriminant Δ\Delta de cette équation.

c. Dans le cas où Δ0\Delta \geqslant 0