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Chapitre 3


Équations et inéquations du second degré





Rollercoaster, Équations et inéquations du second degré


La forme de ce manège peut être assimilée à une parabole, courbe représentative de fonctions polynômes du second degré. Il est possible, grâce aux formules du cours, de calculer la hauteur atteinte par le manège.

Capacités attendues - chapitre 3

1. Résoudre une équation du second degré.
2. Résoudre une inéquation du second degré.
3. Factoriser et étudier le signe d’une fonction polynôme du second degré.
4. Déterminer la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré à l’aide du discriminant.
5. Déterminer deux nombres réels connaissant leur somme et leur produit.
6. Choisir une forme adaptée d’une fonction polynôme du second degré dans le cadre de la résolution d’un problème.

Avant de commencer

Prérequis

1. Savoir développer et factoriser une expression littérale.
2. Connaître et savoir manipuler les identités remarquables.
3. Connaître les propriétés des racines carrées.
4. Savoir construire et analyser des tableaux de signes.
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1
Développer et factoriser

Les expressions suivantes sont définies pour tout réel xx .
1. Développer et réduire.
a. A(x)=12x+3(x2)7(2x5)\mathrm{A}(x)=12 x+3(x-2)-7(2 x-5)

b. B(x)=(x+5)(3x2)+(x+5)(5x+3)\mathrm{B}(x)=(x+5)(3 x-2)+(x+5)(5 x+3)

c. C(x)=5x(x+2)(3x1)(x+2)\mathrm{C}(x)=5 x(x+2)-(3 x-1)(x+2)

2. Factoriser.
a. D(x)=10x45x2\mathrm{D}(x)=10 x^{4}-5 x^{2}

b. E(x)=(3x1)(4x+7)(4x+7)(5x2)\mathrm{E}(x)=(3 x-1)(4 x+7)-(4 x+7)(5 x-2)

c. F(x)=5x(62x)(x3)(x+7)\mathrm{F}(x)=5 x(6-2 x)-(x-3)(x+7)
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2
Factoriser avec ou sans identités remarquables

Factoriser les expressions suivantes définies pour tout réel xx.
1. A(x)=(3x1)29\mathrm{A}(x)=(3 x-1)^{2}-9

2. B(x)=x2+4x+4(5x3)(x+2)\mathrm{B}(x)=x^{2}+4 x+4-(5 x-3)(x+2)

3. C(x)=4(1+2x)29x2\mathrm{C}(x)=4(1+2 x)^{2}-9 x^{2}

4. D(x)=(x+32)2(13x+23)2\mathrm{D}(x)=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{1}{3} x+\dfrac{2}{3}\right)^{2}
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3
Résoudre des équations simples

1. Résoudre dans R\R les équations suivantes.
a. 3x+4=03 x+4=0

b. (2x1)(x+5)=0(2 x-1)(x+5)=0

c. x24=0x^{2}-4=0

d. 9x26x+1=09 x^{2}-6 x+1=0

2. Résoudre dans R\R les équations suivantes.
a. Démontrer que, pour tout xR,x \in \R, (2x5)(3x+1)=6x213x5.(2 x-5)(3 x+1)=6 x^{2}-13 x-5.

b. En déduire les solutions réelles de 6x213x5=0.6 x^{2}-13 x-5=0.
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4
Résoudre des inéquations simples

Résoudre dans R\R les inéquations suivantes.
1. 3x+4>03 x+4>0

2. (2x1)(x+5)0(2 x-1)(x+5) \geqslant 0

3. x24>0x^{2}-4>0

4. 9x26x+1<09 x^{2}-6 x+1\lt0

5. 2x53x+10\dfrac{2 x-5}{3 x+1} \geqslant 0
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5
Simplifier des racines carrées

Sans calculatrice, simplifier l’écriture des nombres suivants et donner le résultat sous la forme aba \sqrt{b} avec aa et bb entiers, bb le plus petit possible.
1. 12\sqrt{12}

2. 27\sqrt{27}

3. 48\sqrt{48}

4. 128\sqrt{128}
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6
Déterminer le signe d’une fonction

Soit ff la fonction définie sur R\R par :
f(x)=x33x210x+24f(x)=x^{3}-3 x^{2}-10 x+24.
1. Tracer, à l’aide de la calculatrice ou de GeoGebra, la représentation graphique de ff (on choisira une fenêtre graphique adaptée).
Lancer le module Geogebra

2. À l’aide du graphique, dresser le tableau de signes de ff sur R\R .
Couleurs
Formes
Dessinez ici
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7
Utiliser une représentation graphique

À l’aide de la calculatrice, on a représenté en rouge une fonction ff et en bleu une fonction g,g, toutes les deux définies sur R.\R.
Équations et inéquations du second degré
En utilisant cette représentation graphique, conjecturer le tableau de signes de la fonction fgf - g sur R.\R.
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8
Problème

Pour tout réel xx , on pose :
A(x)=16x2253(4x+5)(x2)\mathrm{A}(x)=16 x^{2}-25-3(4 x+5)(x-2)
1. Développer A(x).\text{A}(x).

2. Factoriser A(x).\text{A}(x).


3. Résoudre dans R\R les équations et inéquations suivantes.
a. A(x)=0\mathrm{A}(x)=0

b. A(x)5=0\mathrm{A}(x)-5=0

c. A(x)9x=0\mathrm{A}(x)-9 x=0

d. A(x)>0\mathrm{A}(x)>0

e. A(x)0\mathrm{A}(x) \leqslant 0

Anecdote

Au IXe siècle, les mathématiciens arabes écrivaient les équations en toutes lettres. L’inconnue était appelée « la chose » et le carré de l’inconnue « le carré ».
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