Chargement de l'audio en cours
Cacher

Cacher la barre d'outils

Plus

Plus


Entrainement 2


Factorisation et signe du trinôme





69
[Calculer.]
1. (3x2+x+2)(x+3)0\left(-3 x^{2}+x+2\right)(x+3) \geqslant 0

2. (5x2x+3)(32x)<0\left(5 x^{2}-x+3\right)(3-2 x)\lt0

3. (3x1)(2x2+3x5)>0(3 x-1)\left(2 x^{2}+3 x-5\right)>0

4. (x2)(x2+x2)0(x-2)\left(-x^{2}+x-2\right) \leqslant 0

5. (5x2+3x2)(x+1)>0\left(5 x^{2}+3 x-2\right)(x+1)>0


Pour les exercices
66
à
70


Résoudre les inéquations suivantes dans R\R.

64
[Représenter.]
On a obtenu la courbe de la fonction ff sur l’écran de la calculatrice.

Équation du second degré

1. Par lecture graphique, donner les solutions entières de l’équation f(x)=0f(x) =0.

2. En utilisant l’autre information disponible sur l’écran, déterminer f(x)f(x) en fonction de xx.

68
[Calculer.]
1. x24>0-x^{2}-4>0

2. 16+(x1)2<016+(x-1)^{2}\lt0

3. (2x5)29(2 x-5)^{2} \geqslant 9

4. 4x2+480-4 x^{2}+48 \leqslant 0

77
EN PHYSIQUE
[Modéliser.]
Lors d’un freinage d’urgence, la distance que parcourt le véhicule avant l’arrêt total se décompose en deux parties : la distance parcourue pendant le temps de réaction du conducteur et la distance de freinage parcourue au cours du freinage du véhicule.
1. Le temps de réaction du conducteur, c’est-à-dire le temps nécessaire pour prendre conscience de la situation et appuyer sur le frein, est d’environ une seconde.
Si on appelle vv la vitesse du véhicule en km·h–1, montrer que la distance drd_r, en mètre, parcourue pendant ce temps de réaction vérifie :
dr=v3,6.d_{r}=\dfrac{v}{3{,}6}.

2. Pour la distance de freinage df d_f, exprimée en mètre, on donne la formule suivante df=v2200.d_{f}=\dfrac{v^{2}}{200}.
La distance d’arrêt est donc égale à da=dr+dfd_{a}=d_{r}+d_{f}.
Une voiture roule à 110 km·h–1. Quelle est sa distance d’arrêt (on arrondira au centième près) ?

3. Quelles sont les vitesses qui permettent de s’arrêter en moins de 15 m ?


65
[Calculer.] ◉◉
On cherche à résoudre l’équation (E)(\text{E}) suivante.
x3+5x2x5=0x^{3}+5 x^{2}-x-5=0. Pour tout xRx \in \mathbb{R}, on pose A(x)=x3+5x2x5.\mathrm{A}(x)=x^{3}+5 x^{2}-x-5.
1. Montrer que, pour tout xRx \in \R,
A(x)=(x+1)3+2(x22x3).\mathrm{A}(x)=(x+1)^{3}+2\left(x^{2}-2 x-3\right).

2. Pour tout xRx \in \R, on pose B(x)=x22x3.\mathrm{B}(x)=x^{2}-2 x-3.
Factoriser B(x)\mathrm{B}(x).

3. En utilisant les questions 1. et 2., résoudre l’équation (E)(\text{E}).

72
[Calculer.] ◉◉
Résoudre les inéquations suivantes après avoir donné l’ensemble de résolution.
1. x34x2+x0x^{3}-4 x^{2}+x \geqslant 0

2. 3x2+x2x2<0\dfrac{3 x^{2}+x-2}{x-2}\lt0

3. 2x25x+3x24x5<0\dfrac{-2 x^{2}-5 x+3}{x^{2}-4 x-5}\lt0

4. x2+x+12x25x+7<0\dfrac{x^{2}+x+1}{2 x^{2}-5 x+7}\lt0

5. x+43x52x14x+5\dfrac{-x+4}{3 x-5} \geqslant \dfrac{2 x-1}{4 x+5}

6. 1+23x+1<1x51+\dfrac{2}{3 x+1}\lt\dfrac{1}{x-5}

76
[Chercher.]
Soit P\mathcal{P} la courbe d’équation y=x2y=x^{2} et D\mathcal{D} la droite d’équation y=12x+12y=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}. Étudier la position relative de ces deux courbes.

62
[Calculer.]
On considère la fraction rationnelle suivante :
f(x)=2x3x2+11x10f(x)=\dfrac{2-x}{-3 x^{2}+11 x-10}
1. Donner l’ensemble de définition de f.f.

2. Factoriser le dénominateur puis simplifier l’écriture de f(x).f(x).

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 41 ; 42 ; 49 ; 61 ; 66 ; 80 ; 83 et 99
◉◉ Parcours 2 : exercices 46 ; 51 ; 53 ; 56 ; 65 ; 72 ; 88 et 109 ;
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 60 ; 71 ; 91 ; 103 ; 106 et 108 ;

79
[Calculer.]
Pour chacun des polynômes suivants :
• vérifier que 1 est une racine ;
• factoriser le polynôme par x1x - 1 en utilisant l’exercice précédent ;
• déterminer toutes les racines du polynôme.

1. P1(x)=2x37x2+2x+3\mathrm{P}_{1}(x)=2 x^{3}-7 x^{2}+2 x+3

2. P2(x)=x39x2+24x16\mathrm{P}_{2}(x)=x^{3}-9 x^{2}+24 x-16

3. P3(x)=4x3+8x22x10\mathrm{P}_{3}(x)=4 x^{3}+8 x^{2}-2 x-10

67
[Calculer.]
1. 2x2402 x^{2}-4 \geqslant 0

2. x2+1<0x^{2}+1\lt0

3. 5x2>(3x+1)(x+2)-5 x^{2}>(-3 x+1)(x+2)

4. x25x0-x^{2}-5 x \leqslant 0

5. (x1)(x2+3)>(x+1)(5x3)(x-1)\left(x^{2}+3\right)>(x+1)(5 x-3)

6. 4(x3)2(7+4x)24(x-3)^{2} \geqslant(7+4 x)^{2}

78
DÉMO
[Raisonner.]
Soient aa , bb , cc et dd quatre réels tels que a0a \neq 0. On note P\text{P} le polynôme de degré 3 défini par P(x)=ax3+bx2+cx+d\mathrm{P}(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d.
1. Démontrer que, pour tous réels xx et α\alpha,
x3α3=(xα)(x2+xα+α2).x^{3}-\alpha^{3}=(x-\alpha)\left(x^{2}+x \alpha+\alpha^{2}\right).

2. On suppose maintenant que α\alpha est une racine de P\text{P}.
a. Justifier que l’on peut écrire, pour tout xRx \in \R,
P(x)=P(x)P(α).\mathrm{P}(x)=\mathrm{P}(x)-\mathrm{P}(\alpha).

b. En déduire alors que, pour tout réel xx,
P(x)=a(x3α3)+b(x2α2)+c(xα).\mathrm{P}(x)=a\left(x^{3}-\alpha^{3}\right)+b\left(x^{2}-\alpha^{2}\right)+c(x-\alpha).

3. Justifier alors que P(x)\text{P}(x) est factorisable par (xα)(x - \alpha) et donner cette factorisation.

66
[Calculer.] ◉◉
1. x23x+1<0x^{2}-3 x+1\lt0

2. 2x2+5x702 x^{2}+5 x-7 \geqslant 0

3. 9x2+12x+4>09 x^{2}+12 x+4>0

4. 3x2x+103 x^{2}-x+1 \leqslant 0

5. x2+5x7<0-x^{2}+5 x-7\lt0

6. 4x2+20x250-4 x^{2}+20 x-25 \geqslant 0

70
[Calculer.]
1. (3x22x+8)(5x2+2x3)0\left(-3 x^{2}-2 x+8\right)\left(5 x^{2}+2 x-3\right) \geqslant 0

2. (x2+3x4)(3x25x+2)0\left(x^{2}+3 x-4\right)\left(3 x^{2}-5 x+2\right) \geqslant 0

3. (x2+2x1)(2x2x6)<0\left(-x^{2}+2 x-1\right)\left(2 x^{2}-x-6\right)\lt0

4. (x2+x7)(3x2x+2)0\left(-x^{2}+x-7\right)\left(3 x^{2}-x+2\right) \geqslant 0

63
[Calculer.]
Reprendre l’exercice précédent avec les fractions rationnelles suivantes.
1. g(x)=9x2169x29x4g(x)=\dfrac{9 x^{2}-16}{9 x^{2}-9 x-4}

2. h(x)=x27x185x2+3x14h(x)=\dfrac{x^{2}-7 x-18}{5 x^{2}+3 x-14}

74
EN SVT
[Modéliser.]
D’après Bac ES - Polynésie - 2014
On étudie la concentration dans le sang en fonction du temps d’un antibiotique injecté en une seule prise à un patient. On modélise cette concentration par la fonction gg définie sur l’intervalle [0;10][0 \: ; 10] par g(t)=4tt2+1.g(t)=\dfrac{4 t}{t^{2}+1}.
g(t)g(t) représente la concentration en mg·L-1 de l’antibiotique lorsque tt heures se sont écoulées. Répondre aux questions suivantes de façon algébrique puis vérifier à l’aide d’un graphique à la calculatrice.

1. Dans quel intervalle de temps la concentration sera-t-elle supérieure ou égale à 1,6 mg·L-1 ?

2. La concentration peut-elle être strictement supérieure à 2 mg·L-1 ?


75
[Chercher.]
Un miroir peut être représenté par la figure ci-dessous. Le rectangle ABCD\text{ABCD} symbolise le cadre du miroir. AEFD\text{AEFD} est un trapèze et constitue le miroir proprement dit. Les deux triangles ABE\text{ABE} et DFC\text{DFC} sont des pièces de bois ouvragées.
L’unité est le centimètre. On pose EF=x\mathrm{EF}=x et on a BE=FC\mathrm{BE}=\mathrm{FC}, AB=x+20\mathrm{AB}=x+20 et AD=30\mathrm{AD}=30.
Équation du second degré

Quelle est la valeur minimale à donner à xx pour que le miroir AEFD\text{AEFD} ait une aire supérieure aux neuf dixièmes de l’aire totale de ABCD?\text{ABCD} \: ?

71
[Calculer.] ◉◉◉
Déterminer les valeurs de xx pour lesquelles les encadrements suivants sont vérifiés.
1. 3x22x151-3 \leqslant x^{2}-2 x-15 \leqslant 1

2. 2<3x2+1x+7<72\lt\dfrac{3 x^{2}+1}{-x+7}\lt7

73
[Calculer.]
Donner le domaine de définition des fonctions suivantes.

1. f:xx2+4x5f : x \mapsto \sqrt{x^{2}+4 x-5}

2. g:x3x7x22x5g : x \mapsto \dfrac{3}{x \sqrt{7 x^{2}-2 x-5}}


3. h:xx3x213x+4h : x \mapsto \sqrt{\dfrac{x}{3 x^{2}-13 x+4}}


4. l:xx23x10+xl : x \mapsto \sqrt{x^{2}-3 x-10}+\sqrt{x}

61
[Calculer.] ◉◉
On pose A(x)=x+1x23x4.\mathrm{A}(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}-3 x-4}.
1. Déterminer les racines de x23x4.x^{2}-3 x-4.

2. Factoriser x23x4.x^{2}-3 x-4.

3. Après avoir précisé l’ensemble des réels xx pour lesquels A(x)\text{A}(x) existe, simplifier l’écriture de A(x)\text{A}(x).
Connectez-vous pour ajouter des favoris

Pour pouvoir ajouter ou retrouver des favoris, nous devons les lier à votre compte.Et c’est gratuit !

Livre du professeur

Pour pouvoir consulter le livre du professeur, vous devez être connecté avec un compte professeur et avoir validé votre adresse email académique.

Votre avis nous intéresse !
Recommanderiez-vous notre site web à un(e) collègue ?

Peu probable
Très probable

Cliquez sur le score que vous voulez donner.

Dites-nous qui vous êtes !

Pour assurer la meilleure qualité de service, nous avons besoin de vous connaître !
Cliquez sur l'un des choix ci-dessus qui vous correspond le mieux.

Nous envoyer un message




Nous contacter?