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Nouvelle épreuve Bac

Algèbre

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Ch. 1
Suites numériques

Ch. 2
Fonctions de référence

Ch. 3
Équations et inéquations du second degré

Analyse

Ch. 4
Dérivation

Ch. 5
Applications de la dérivation

Ch. 6
Fonction exponentielle

Ch. 7
Trigonométrie

Ch. 8
Fonctions trigonométriques

Géométrie

Ch. 9
Produit scalaire

Ch. 10
Configurations géométriques

Probabilités et statistiques

Ch. 11
Probabilités conditionnelles

Ch. 12
Variables aléatoires réelles

Annexes

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

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Chapitre 3

Entraînement 2

Factorisation et signe du trinôme

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Différenciation

Parcours 1 : exercices

;

Parcours 2 : exercices

;

109

;

Parcours 3 : exercices

;

103

;

106

108

;

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61
[Calculer.]

On pose

A (x) = \frac{x + 1}{x ^{2} - 3 x - 4} .

1. Déterminer les racines de

x^{2} - 3 x - 4.

2. Factoriser

x^{2} - 3 x - 4.

3. Après avoir précisé l'ensemble des réels

x

pour lesquels

A (x)

existe, simplifier l'écriture de

A (x)

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62
[Calculer.]
On considère la fraction rationnelle suivante :

f (x) = \frac{2 - x}{- 3 x ^{2} + 11 x - 10}

1. Donner l'ensemble de définition de

f .

2. Factoriser le dénominateur puis simplifier l'écriture de

f (x) .

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63
[Calculer.]
Reprendre l'exercice précédent avec les fractions rationnelles suivantes. 1.

g (x) = \frac{9 x ^{2} - 16}{9 x ^{2} - 9 x - 4}

h (x) = \frac{x ^{2} - 7 x - 18}{5 x ^{2} + 3 x - 14}

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64
[Représenter.]

On a obtenu la courbe de la fonction

f

sur l'écran de la calculatrice.

Graphique de fonction du second degré : parabole rouge avec minimum en (0,-6).

1. Par lecture graphique, donner les solutions entières de l'équation

f (x) = 0

2. En utilisant l'autre information disponible sur l'écran, déterminer

f (x)

en fonction de

x

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65
[Calculer.]

On cherche à résoudre l'équation

(E)

suivante.

x^{3} + 5 x^{2} - x - 5 = 0

. Pour tout

x \in R

, on pose

A (x) = x^{3} + 5 x^{2} - x - 5.

1. Montrer que, pour tout

x \in R

A (x) = (x + 1)^{3} + 2 (x^{2} - 2 x - 3) .

2. Pour tout

x \in R

, on pose

B (x) = x^{2} - 2 x - 3.

Factoriser

B (x)

3. En utilisant les questions 1. et 2., résoudre l'équation

(E)

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Pour les exercices
66
à
70

Résoudre les inéquations suivantes dans

R

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66
[Calculer.]

x^{2} - 3 x + 1 < 0

2 x^{2} + 5 x - 7 ⩾ 0

9 x^{2} + 12 x + 4 > 0

3 x^{2} - x + 1 ⩽ 0

- x^{2} + 5 x - 7 < 0

- 4 x^{2} + 20 x - 25 ⩾ 0

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67
[Calculer.]
1.

2 x^{2} - 4 ⩾ 0

x^{2} + 1 < 0

- 5 x^{2} > (- 3 x + 1) (x + 2)

- x^{2} - 5 x ⩽ 0

(x - 1) (x^{2} + 3) > (x - 1) (5 x - 3)

4 (x - 3)^{2} ⩾ (7 + 4 x)^{2}

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68
[Calculer.]
1.

- x^{2} - 4 > 0

16 + (x - 1)^{2} < 0

(2 x - 5)^{2} ⩾ 9

- 4 x^{2} + 48 ⩽ 0

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70
[Calculer.]
1.

(- 3 x^{2} - 2 x + 8) (5 x^{2} + 2 x - 3) ⩾ 0

(x^{2} + 3 x - 4) (3 x^{2} - 5 x + 2) ⩾ 0

(- x^{2} + 2 x - 1) (2 x^{2} - x - 6) < 0

(- x^{2} + x - 7) (3 x^{2} - x + 2) ⩾ 0

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69
[Calculer.]
1.

(- 3 x^{2} + x + 2) (x + 3) ⩾ 0

(5 x^{2} - x + 3) (3 - 2 x) < 0

(3 x - 1) (2 x^{2} + 3 x - 5) > 0

(x - 2) (- x^{2} + x - 2) ⩽ 0

(5 x^{2} + 3 x - 2) (x + 1) > 0

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71
[Calculer.]

Déterminer les valeurs de

x

pour lesquelles les encadrements suivants sont vérifiés. 1.

- 3 ⩽ x^{2} - 2 x - 15 ⩽ 1

2 < \frac{3 x ^{2} + 1}{- x + 7} < 7

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72
[Calculer.]

Résoudre les inéquations suivantes après avoir donné l'ensemble de résolution.

x^{3} - 4 x^{2} + x ⩾ 0

\frac{3 x ^{2} + x - 2}{x - 2} < 0

\frac{- 2 x ^{2} - 5 x + 3}{x ^{2} - 4 x - 5} < 0

\frac{x ^{2} + x + 1}{2 x ^{2} - 5 x + 7} < 0

\frac{- x + 4}{3 x - 5} ⩾ \frac{2 x - 1}{4 x + 5}

1 + \frac{2}{3 x + 1} < \frac{1}{x - 5}

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73
[Calculer.]
Donner le domaine de définition des fonctions suivantes.

f : x \mapsto x^{2} + 4 x - 5

g : x \mapsto \frac{3}{x 7 x ^{2} - 2 x - 5}

h : x \mapsto \frac{x}{3 x ^{2} - 13 x + 4}

l : x \mapsto x^{2} - 3 x - 10 + x

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74
En SVT
[Modéliser.]
D'après Bac ES - Polynésie - 2014
On étudie la concentration dans le sang en fonction du temps d'un antibiotique injecté en une seule prise à un patient. On modélise cette concentration par la fonction

g

définie sur l'intervalle

[0; 10]

par

g (t) = \frac{4 t}{t ^{2} + 1} .

g (t)

représente la concentration en mg·L^-1 de l'antibiotique lorsque

t

heures se sont écoulées. Répondre aux questions suivantes de façon algébrique puis vérifier à l'aide d'un graphique à la calculatrice. 1. Dans quel intervalle de temps la concentration sera-t-elle supérieure ou égale à 1,6 mg·L^-1 ?

2. La concentration peut-elle être strictement supérieure à 2 mg·L^-1 ?

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75
[Chercher.]

Un miroir peut être représenté par la figure ci-dessous. Le rectangle

ABCD

symbolise le cadre du miroir.

AEFD

est un trapèze et constitue le miroir proprement dit. Les deux triangles

ABE

DFC

sont des pièces de bois ouvragées.
L'unité est le centimètre. On pose

EF = x

et on a

BE = FC

AB = x + 20

AD = 30

Quelle est la valeur minimale à donner à

x

pour que le miroir

AEFD

ait une aire supérieure aux neuf dixièmes de l'aire totale de

ABCD ?

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76
[Chercher.]
Soit

P

la courbe d'équation

y = x^{2}

D

la droite d'équation

y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}

. Étudier la position relative de ces deux courbes.

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77
En physique
[Modéliser.]
Lors d'un freinage d'urgence, la distance que parcourt le véhicule avant l'arrêt total se décompose en deux parties : la distance parcourue pendant le temps de réaction du conducteur et la distance de freinage parcourue au cours du freinage du véhicule. 1. Le temps de réaction du conducteur, c'est-à-dire le temps nécessaire pour prendre conscience de la situation et appuyer sur le frein, est d'environ une seconde.
Si on appelle

v

la vitesse du véhicule en km·h^–1, montrer que la distance

d_{r}

, en mètre, parcourue pendant ce temps de réaction vérifie :

d_{r} = \frac{v}{3 , 6} .

2. Pour la distance de freinage

d_{f}

, exprimée en mètre, on donne la formule suivante

d_{f} = \frac{v ^{2}}{200} .

La distance d'arrêt est donc égale à

d_{a} = d_{r} + d_{f} .

Une voiture roule à 110 km·h^–1. Quelle est sa distance d'arrêt (on arrondira au centième près) ?

3. Quelles sont les vitesses qui permettent de s'arrêter en moins de 15 m ?

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78
Démo
[Raisonner.]
Soient

a

b

c

d

quatre réels tels que

a \neq = 0

. On note

P

le polynôme de degré 3 défini par

P (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

. 1. Démontrer que, pour tous réels

x

α

x^{3} - α^{3} = (x - α) (x^{2} + xα + α^{2}) .

2. On suppose maintenant que

α

est une racine de

P

.
a. Justifier que l'on peut écrire, pour tout

x \in R

P (x) = P (x) - P (α) .

b. En déduire alors que, pour tout réel

x

P (x) = a (x^{3} - α^{3}) + b (x^{2} - α^{2}) + c (x - α) .

3. Justifier alors que

P (x)

est factorisable par

(x - α)

et donner cette factorisation.

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79
[Calculer.]
Pour chacun des polynômes suivants :

vérifier que 1 est une racine ;
factoriser le polynôme par $x - 1$ en utilisant l'exercice précédent ;
déterminer toutes les racines du polynôme.

P_{1} (x) = 2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3

P_{2} (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16

P_{3} (x) = 4 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x - 10

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Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

Factorisation et signe du trinôme

Pour les exercices 66 à 70

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