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Nouvelle épreuve Bac

Algèbre

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 1
Suites numériques

Ch. 2
Fonctions de référence

Ch. 3
Équations et inéquations du second degré

Analyse

Ch. 4
Dérivation

Ch. 5
Applications de la dérivation

Ch. 6
Fonction exponentielle

Ch. 7
Trigonométrie

Ch. 8
Fonctions trigonométriques

Géométrie

Ch. 9
Produit scalaire

Ch. 10
Configurations géométriques

Probabilités et statistiques

Ch. 11
Probabilités conditionnelles

Ch. 12
Variables aléatoires réelles

Annexes

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

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Chapitre 3

Cours 3

Propriétés supplémentaires

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A
Somme et produit de racines

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Théorème

Si le trinôme

a x^{2} + b x + c

admet deux racines distinctes ou confondues, alors leur somme

S

et leur produit

P

vérifient :

S = \frac{- b}{a}

P = \frac{c}{a}

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Démonstration

Dans la première démonstration de la partie 2, on a établi que si

x_{1}

x_{2}

sont les racines d'un trinôme (éventuellement confondues), alors

x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}

x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a}

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Propriété

Deux réels ont pour somme

S

et pour produit

P

si et seulement si ils sont solutions de l'équation

x^{2} - S x + P = 0

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Logique

Il s'agit d'une équivalence. Pour démontrer cette propriété, on montre un sens puis la réciproque.

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Démonstration

Si deux réels $x_{1}$ et $x_{2}$ vérifient $x_{1} + x_{2} = S$ et $x_{1} x_{2} = P$ , alors : $x_{2} = S - x_{1}$ et $P = x_{1} (S - x_{1})$ et donc $x_{1}^{2} - S x_{1} + P = 0$ . Dans ce cas, $x_{1}$ est bien solution de $x^{2} - S x + P$ . La démonstration est la même pour $x_{2}$ .
Réciproquement, si $x_{1}$ et $x_{2}$ sont solutions de $x^{2} - S x + P = 0$ , alors, d'après le théorème précédent, $x_{1} + x_{2} = \frac{S}{1}$ , soit $x_{1} + x_{2} = S$ et $x_{1} x_{2} = \frac{P}{1}$ , ainsi $x_{1} x_{2} = P .$

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Exemple

L'équation

2 x^{2} - x - 1 = 0

admet

x_{1} = 1

comme solution évidente.
L'autre solution

x_{2}

vérifie donc

1 \times x_{2} = \frac{- 1}{2}

. D'où

x_{2} = \frac{- 1}{2} .

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Remarque

On parle de solution évidente lorsqu'un réel « simple‑» est solution de l'équation considérée. On teste quelques nombres comme

0

;

1

;

- 1

;

2

- 2.

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Application et méthode

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Énoncé

Trouver, s'ils existent, deux nombres réels dont la somme est

4

et le produit

1

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Méthode

On utilise la propriété du cours. Les deux nombres, s'ils existent, sont solutions de l'équation $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ .
On résout l'équation.
Les solutions, si elles existent, sont les nombres recherchés.

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Solution

S'ils existent, ces deux nombres sont solutions de l'équation

x^{2} - 4 x + 1 = 0

.
On a

Δ = 12

Δ > 0

donc l'équation admet deux solutions réelles distinctes :

x_{1} = \frac{- ( - 4 ) - 12}{2}

x_{2} = \frac{- ( - 4 ) + 12}{2}

.
Or

12 = 4 \times 3 = 4 \times 3 = 23

.
Donc on a :

x_{1} = \frac{4 - 2 3}{2}

x_{2} = \frac{4 + 2 3}{2}

, soit

x_{1} = \frac{2 ( 2 - 3 )}{2}

x_{2} = \frac{2 ( 2 + 3 )}{2}

.
Ainsi

x_{1} = 2 - 3

x_{2} = 2 + 3

.
Les nombres recherchés sont

2 - 3

2 + 3

Pour s'entraîner

Exercices 29
et 30
p. 87

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B
Discriminant et sommet de parabole

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Propriété

La courbe représentative d'une fonction trinôme définie sur

R

par

f (x) = a x^{2} + b x + c

est une parabole de sommet

S

qui a pour coordonnées

(\frac{- b}{2 a}; - \frac{Δ}{4 a}) .

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Remarque

Dans le chapitre 2, les coordonnées du sommet

S

sont données par

(α; β)

. On a donc

α = \frac{- b}{2 a}

β = \frac{- Δ}{4 a}

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Démonstration

On a

f (x) = a [(x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a ^{2}}]

.
Le sommet

S

de la parabole a pour abscisse

\frac{- b}{2 a}

.
On a

f (- \frac{b}{2 a}) = a [(- \frac{b}{2 a} + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a ^{2}}]

= a (- \frac{Δ}{4 a ^{2}}) = - \frac{Δ}{4 a} .

Donc

S

a pour coordonnées

(- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ}{4 a}) .

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Exemple

Soit

f

la fonction trinôme définie par

f (x) = 3 x^{2} - 9 x + 8

.

On a

\frac{- b}{2 a} = - (\frac{- 9}{6})

, soit

\frac{- b}{2 a} = \frac{3}{2}

Δ = - 15

.

Donc

\frac{- Δ}{4 a} = \frac{15}{12}

, soit

\frac{- Δ}{4 a} = \frac{5}{4} .

Ainsi, le sommet

S

de la parabole représentant

f

a pour coordonnées

(\frac{3}{2}; \frac{5}{4}) .

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Application et méthode

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Énoncé

Dresser le tableau de variations de la fonction

f

définie sur

R

par

f (x) = 2 x^{2} - 2 x + 3.

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Méthode

1. On détermine les coordonnées du sommet de la parabole.
2. On regarde le signe de

a

pour déterminer le sens de variation de

f

.
3. On dresse le tableau de variations.

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Solution

Ici

a = 2

b = - 2

c = 3

. On a

\frac{- b}{2 a} = \frac{1}{2}

Δ = - 20

.
Donc

\frac{- Δ}{4 a} = - (\frac{- 20}{8}) = \frac{5}{2} .

Par conséquent,

f

est représentée par une parabole de sommet

S (\frac{1}{2}; \frac{5}{2}) .

Étant donné que

a > 0

, voici le tableau de variations de

f

Schéma: parabole, variations de f(x) selon x. Minimum en x=1/2, f(x)=-5/2.

Pour s'entraîner

Exercices 31
p. 87 ; et 85
et 86
p. 93

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