COURS 3


3
Propriétés supplémentaires




B
Discriminant et sommet de parabole


DÉMONSTRATION

On a f(x)=a[(x+b2a)2Δ4a2]f(x)=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\right].
Le sommet S\text{S} de la parabole a pour abscisse b2a\dfrac{-b}{2 a}.
On a f(b2a)=a[(b2a+b2a)2Δ4a2]f\left(-\dfrac{b}{2 a}\right)=a\left[\left(-\dfrac{b}{2 a}+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\right]
=a(Δ4a2)=Δ4a.=a\left(-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\right)=-\dfrac{\Delta}{4 a}.
Donc S\text{S} a pour coordonnées (b2a;Δ4a).\left(-\dfrac{b}{2 a} \: ;-\dfrac{\Delta}{4 a}\right).

Propriété

La courbe représentative d’une fonction trinôme définie sur R\R par f(x)=ax2+bx+cf(x)=a x^{2}+b x+c est une parabole de sommet S\text{S} qui a pour coordonnées (b2a;Δ4a).\left(\dfrac{-b}{2 a} \: ;-\dfrac{\Delta}{4 a}\right).

Exemple

Soit ff la fonction trinôme définie par f(x)=3x29x+8f(x)=3 x^{2}-9 x+8.

On a b2a=(96)\dfrac{-b}{2 a}=-\left(\dfrac{-9}{6}\right), soit b2a=32\dfrac{-b}{2 a}=\dfrac{3}{2} et Δ=15\Delta=-15.

Donc Δ4a=1512\dfrac{-\Delta}{4 a}=\dfrac{15}{12}, soit Δ4a=54.\dfrac{-\Delta}{4 a}=\dfrac{5}{4}.
Ainsi, le sommet S\text{S} de la parabole représentant ff a pour coordonnées (32;54).\left(\dfrac{3}{2} \: ; \dfrac{5}{4}\right).

Remarque

Dans le chapitre 2, les coordonnées du sommet S\text{S} sont données par (α;β)(\alpha \: ; \beta). On a donc α=b2a\alpha=\dfrac{-b}{2 a} et β=Δ4a\beta=\dfrac{-\Delta}{4 a}.

Application et méthode


Méthode

• On utilise la propriété du cours. Les deux nombres, s’ils existent, sont solutions de l’équation x24x+1=0x^{2}-4 x+1=0.
• On résout l’équation.
• Les solutions, si elles existent, sont les nombres recherchés.

Énoncé

Trouver, s’ils existent, deux nombres réels dont la somme est 44 et le produit 11.

SOLUTION

S’ils existent, ces deux nombres sont solutions de l’équation x24x+1=0x^{2}-4 x+1=0.
On a Δ=12\Delta=12. Δ>0\Delta>0 donc l’équation admet deux solutions réelles distinctes :
x1=(4)122x_{1}=\dfrac{-(-4)-\sqrt{12}}{2} et x2=(4)+122x_{2}=\dfrac{-(-4)+\sqrt{12}}{2}.
Or 12=4×3=4×3=23\sqrt{12}=\sqrt{4 \times 3}=\sqrt{4} \times \sqrt{3}=2 \sqrt{3}.
Donc on a : x1=4232x_{1}=\dfrac{4-2 \sqrt{3}}{2} et x2=4+232x_{2}=\dfrac{4+2 \sqrt{3}}{2}, soit
x1=2(23)2x_{1}=\dfrac{2(2-\sqrt{3})}{2} et x2=2(2+3)2x_{2}=\dfrac{2(2+\sqrt{3})}{2}.
Ainsi x1=23x_{1}=2-\sqrt{3} et x2=2+3x_{2}=2+\sqrt{3}.
Les nombres recherchés sont 232-\sqrt{3} et 2+32+\sqrt{3}.

Pour s'entraîner : exercices 29 et 30 p. 87

A
Somme et produit de racines


Exemple

L’équation 2x2x1=02 x^{2}-x-1=0 admet x1=1x_{1}=1 comme solution évidente.
L’autre solution x2x_2 vérifie donc 1×x2=121 \times x_{2}=\dfrac{-1}{2}. D’où x2=12.x_{2}=\dfrac{-1}{2}.

Propriété

Deux réels ont pour somme S\text{S} et pour produit P\text{P} si et seulement si ils sont solutions de l’équation x2Sx+P=0x^{2}-\mathrm{S} x+\mathrm{P}=0.

Théorème

Si le trinôme ax2+bx+ca x^{2}+b x+c admet deux racines distinctes ou confondues, alors leur somme S\text{S} et leur produit P\text{P} vérifient : S=ba\text{S}=\dfrac{-b}{a} et P=ca\text{P}=\dfrac{c}{a}.

LOGIQUE

Il s’agit d’une équivalence. Pour démontrer cette propriété, on montre un sens puis la réciproque.

Remarque

On parle de solution évidente lorsqu’un réel « simple‑» est solution de l’équation considérée. On teste quelques nombres comme 00 ; 11 ; 1-1 ; 22 et 2.-2.

DÉMONSTRATION

• Si deux réels x1x_1 et x2x_2 vérifient x1+x2=Sx_{1}+x_{2}=\mathrm{S} et x1x2=Px_{1} x_{2}=\mathrm{P}, alors : x2=Sx1x_{2}=\mathrm{S}-x_{1} et P=x1(Sx1)\mathrm{P}=x_{1}\left(\mathrm{S}-x_{1}\right) et donc x12Sx1+P=0x_{1}^{2}-\mathrm{S} x_{1}+\mathrm{P}=0. Dans ce cas, x1x_1 est bien solution de x2Sx+Px^{2}-\mathrm{S} x+\mathrm{P}. La démonstration est la même pour x2x_2.
• Réciproquement, si x1x_1 et x2x_2 sont solutions de x2Sx+P=0x^{2}-\mathrm{S} x+\mathrm{P}=0, alors, d’après le théorème précédent, x1+x2=S1x_{1}+x_{2}=\dfrac{\mathrm{S}}{1}, soit x1+x2=Sx_{1}+x_{2}=\mathrm{S} et x1x2=P1x_{1} x_{2}=\dfrac{\mathrm{P}}{1}, ainsi x1x2=P.x_{1} x_{2} \: = \: \mathrm{P}.

DÉMONSTRATION

Dans la première démonstration de la partie 2, on a établi que si x1x_1 et x2x_2 sont les racines d’un trinôme (éventuellement confondues), alors x1+x2=bax_{1}+x_{2}=\dfrac{-b}{a} et x1×x2=cax_{1} \times x_{2}=\dfrac{c}{a}.

Application et méthode


SOLUTION

Ici a=2a = 2 , b=2b = -2 et c=3c = 3. On a b2a=12\dfrac{-b}{2 a}=\dfrac{1}{2} et Δ=20\Delta=-20.
Donc Δ4a=(208)=52.\dfrac{-\Delta}{4 a}=-\left(\dfrac{-20}{8}\right)=\dfrac{5}{2}.
Par conséquent, ff est représentée par une parabole de sommet S(12;52).\text{S}\left(\dfrac{1}{2} \: ; \dfrac{5}{2}\right).
Étant donné que a>0a>0, voici le tableau de variations de ff.
Discriminant et sommet de parabole - Propriétés supplémentaires - Équations et inéquations du second degré


Pour s'entraîner : exercices 31 p. 87 ; et 85 et 86 p. 93

Énoncé

Dresser le tableau de variations de la fonction ff définie sur R\R par f(x)=2x22x+3.f(x)=2 x^{2}-2 x+3.

Méthode

1. On détermine les coordonnées du sommet de la parabole.
2. On regarde le signe de aa pour déterminer le sens de variation de ff.
3. On dresse le tableau de variations.
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