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TP / TICE 1


Nombre d’or et rectangles d’or





Objectif

Le but de cet exercice est de partir de cette propriété des rectangles d’or pour déterminer une valeur approchée ou la valeur exacte du nombre d’or, à l’aide d’une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
CALCULATRICE

On pourra utiliser le simulateur de calculatrice disponible ici.

On se place dans un repère orthonormal d’origine A\text{A}. Le rectangle ABCD\text{ABCD} représente le premier livre avec B(;0)\mathrm{B}(\text{L}\text{ }; 0) et C(;)\mathrm{C}(\text{L}\text{ }; \ell) et le rectangle BEFG\text{BEFG} représentele deuxième livre avec E[AB)\mathrm{E} \in[\mathrm{AB}). Les deux rectangles sont des rectangles d’or si et seulement si les points A\text{A} , C\text{C} et F\text{F} sont alignés.

1. Déterminer en fonction de L\text{L} et \ell, les coordonnées des points D\text{D}, E\text{E}, F\text{F} et G\text{G}.


2. En déduire, en fonction de L\text{L} et \ell, les coordonnées des vecteurs AC\overrightarrow{\text{AC}} et AF.\overrightarrow{\text{AF}}.


3. En utilisant la condition de colinéarité de deux vecteurs, montrer que les deux rectangles sont des rectangles d’or si et seulement si L2L2=0\text{L}^{2}-\ell \text{L}-\ell^{2}=0.


4. En fixant L=2\mathrm{L}=2, déterminer à l’aide d’une représentation, réalisée sur la calculatrice, une valeur approchée du rapport L\dfrac{\mathrm{L}}{\ell}.


5. On cherche la valeur exacte de φ\varphi.
a. Montrer que l’équation obtenue à la question 3. équivaut à (L)2L1=0.\left(\dfrac{\text{L}}{\ell}\right)^{2}-\dfrac{\mathrm{L}}{\ell}-1=0.

b. Résoudre dans R+\R^+ l’équation x2x1=0x^{2}-x-1=0 et en déduire la valeur exacte de φ.\varphi.


Énoncé

Le nombre d’or, noté φ\varphi, est un nombre étonnant qui fait parler de lui depuis l’Antiquité dans de très nombreux domaines tels que la géométrie, l’architecture, la peinture, etc.
Un rectangle d’or est un rectangle dont le rapport de la longueur sur la largeur est égal au nombre d’or. Il ressemble à un rectangle tout à fait quelconque que nous pourrions tracer dans n’importe quel cours de géométrie. Si nous prenons deux livres au format poche, que nous disposons le premier à l’horizontale et le second à la verticale et que nous les alignons selon leur base, nous aurons le résultat suivant : si nous traçons la diagonale du premier livre et la prolongeons sur le deuxième, elle aboutit exactement au sommet opposé de ce dernier. Ceci est une caractéristique des rectangles d’or.
On considère deux rectangles disposés comme les deux livres de l’image. On note L\text{L} la longueur des rectangles et \ell leur largeur.
Question préliminaire : Sur la photo, tracez la diagonale en question.


Couvertures romans
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA


GeoGebra va nous permettre de représenter les deux rectangles disposés comme les deux livres de l’image. La longueur L\text{L} des rectangles est fixée à 55. On va construire une droite qui passe par la diagonale du premier rectangle comme sur l’image et on va faire varier la largeur \ell, de sorte que cette droite passe par le sommet opposé du deuxième rectangle. Le rapport L\dfrac{\text{L}}{\ell}, nous donnera une valeur approchée de φ\varphi.
Nombre d’or et rectangles d’or - Équations et inéquations du second degré

1. Créer un curseur nommé \ell, variant de 11 à 55 avec une incrémentation de 0,0010\text{,}001.
2. Créer les points A(0 ;0)\mathrm{A}(0\text{ }; 0), B(5 ;0)\mathrm{B}(5\text{ }; 0), C(5 ;)\mathrm{C}(5\text{ }; \ell) et D(0 ;\mathrm{D}(0\text{ }; \ell) de sorte que ABCD\text{ABCD} forme le premier rectangle.
3. Créer les points E(5+ ;0)\mathrm{E}(5+\ell\text{ }; 0), F(5+ ;5)\mathrm{F}(5+\ell\text{ }; 5) et G(5 ;5)\mathrm{G}(5\text{ }; 5) pour former le deuxième rectangle BEFG\text{BEFG}.
4. Construire la droite (AC).(\text{AC}).
5. Faire varier \ell, jusqu’à ce que (AC)(\text{AC}) passe par F\text{F}.
En déduire une valeur approchée de φ\varphi en effectuant le quotient L.\dfrac{\text{L}}{\ell}.

Lancer le module Geogebra

Pour aller plus loin

Rechercher sur internet des oeuvres d’art (peinture, architecture, sculpture, etc.) qui font apparaître le nombre d’or.

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