Préparer le BAC - Algèbre





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[D’après Bac S - Pondichéry - 2018.]
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de 1 000 °C. À la fin de la cuisson, il est éteint et il refroidit.
On s’intéresse à la phase de refroidissement du four, qui débute dès l’instant où il est éteint. La température du four est exprimée en degré Celsius (°C). La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à 70 °C. Sinon les céramiques peuvent se fissurer, voire se casser.

Partie A :
Pour un nombre entier naturel n,n , on note Tn\mathrm{T}_{n} la température en degré Celsius du four au bout de nn heures écoulées à partir de l’instant où il a été éteint.
On a donc T0=1000.\mathrm{T}_{0}=1\:000.
La température Tn\mathrm{T}_{n} est calculée par l’algorithme suivant :

 T  1 000  Pour i allant de 1 aˋ n : T 0,82×T+3,6 Fin Pour  \boxed{ \begin{array} { l } \text { T } \leftarrow \text { 1 000 } \\ \text{ Pour i allant de 1 à n :} \\ \quad \text { T } \leftarrow 0\text{,}82 \times \text{T}+3\text{,}6 \\ \text { Fin Pour } \\ \end{array} }

1. Déterminer la température du four, arrondie à l’unité, au bout de 4 heures de refroidissement.

2. D’après l’algorithme précédent, exprimer Tn+1\mathrm{T}_{n+1} en fonction de Tn.\mathrm{T}_{n}. Dans la suite, on admet que, pour tout nombre entier naturel n, n , on a :
Tn=980×0,82n+20.\mathrm{T}_{n}=980 \times 0\text{,}82^{n}+20.

3. À l’aide d’une calculatrice, déterminer au bout de combien d’heures le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques.


Partie B :
Dans cette partie, on note tt le temps (en heure) écoulé depuis l’instant où le four a été éteint. La température du four (en degré Celsius) à l’instant tt est donnée par la fonction ff définie, pour tout nombre réel tt positif, par f(t)=aet/5+b,f(t)=a e^{-t/5}+b,aa et bb sont deux nombres réels. On admet que ff vérifie la relation suivante :
f(t)+15f(t)=4f^{\prime}(t)+\dfrac{1}{5} f(t)=4
1. Déterminer les valeurs de aa et bb sachant qu’initialement, la température du four est de 1 000 °C, c’est-à-dire que f(0)=1000.f(0)=1\:000.

2. Pour la suite, on admet que, pour tout nombre réel positif t,f(t)=980et/5+20.t, f(t)=980 e^{-t/5}+20.
a. Étudier les variations de ff sur [0;+[.[0\: ;+\infty[.

b. Avec ce modèle et à l’aide d’une calculatrice, après combien de minutes le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques ?

3. Dans cette question, on s’intéresse à l’abaissement de température (en degré Celsius) du four au cours d’une heure, soit entre deux instants tt et (t+1).(t+1). Cet abaissement est donné par la fonction dd définie, pour tout nombre réel tt positif, par : d(t)=f(t)f(t+1)d(t)=f(t)-f(t+1)
a. Vérifier que, pour tout nombre réel tt positif :
d(t)=980(1e1/5)et/5.d(t)=980\left(1-e^{-1/5}\right) e^{-t/5}.

b. À l’aide d’une calculatrice, que peut-on dire des valeurs de d(t)d(t) lorsque tt devient de plus en plus grand.
Quelle interprétation peut-on en donner ?


7
[D’après Bac S - Pondichéry - 2010.]
On considère la suite (un)\left(u_{n}\right) définie par u0=1u_{0}=1 et pour tout nN, un+1=13un+n2.n \in \mathbb{N},\text{ } u_{n+1}=\dfrac{1}{3} u_{n}+n-2.

1. Calculer u1,u2u_{1}, u_{2} et u3.u_{3}.

2. À l’aide de la calculatrice, conjecturer la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right) lorsque nn devient très grand.

3. On définit la suite (vn)\left(v_{n}\right) par : pour tout nN,n \in \mathbb{N},
vn=2un+3n212.v_{n}=-2 u_{n}+3 n-\dfrac{21}{2}.
a. Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n}\right) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.

b. En déduire que, pour tout nN,n \in \mathbb{N}, un=254(13)n+32n214.u_{n}=\dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}+\dfrac{3}{2} n-\dfrac{21}{4}.

c. Soit Sn\text{S}_{n} la somme définie pour tout entier naturel nn par : Sn=k=0nuk=u0+u1++un.\mathrm{S}_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} u_{k}=u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n}.
Déterminer l’expression de Sn\text{S}_n en fonction de n.n .


10
[D’après Bac S - Centres étrangers - 2013.]
L’objet de cet exercice est l’étude de la suite (un)\left(u_{n}\right) définie par son premier terme u1=32u_{1}=\dfrac{3}{2} et la relation de récurrence un+1=nun+12(n+1).u_{n+1}=\dfrac{n u_{n}+1}{2(n+1)}.

Partie A : Algorithmique et conjectures
Pour calculer et afficher le terme u9u_{9} de la suite, un élève propose l’algorithme ci-dessous. Il a oublié de compléter deux lignes.

 n  1  u  1,5  Tant que n<9: u  ...  n  ...  Fin Tant que \boxed{ \begin{array} { l } \text { n } \leftarrow \text { 1 } \\ \text { u } \leftarrow \text { 1,5 } \\ \text{ Tant que n} \lt \text{9}: \\ \quad \text { u } \leftarrow \text { ... } \\ \quad \text { n } \leftarrow \text { ... } \\ \text { Fin Tant que} \end{array} }

1. Recopier et compléter les deux lignes de l’algorithme où figurent des points de suspension.

2. Avec cet algorithme, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième :

 nn 1 2 3 4 5 6 ... 99 100
 unu_n 1,5 0,625 0,375 0,2656 0,2063 0,1693 ... 0,0102 0,0101

Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite (un).\left(u_{n}\right).


Partie B : Étude mathématique
On définit une suite auxiliaire (vn)\left(v_{n}\right) par : pour tout entier n1,vn=nun1.n \geqslant 1, v_{n}=n u_{n}-1.
1. Montrer que la suite (vn)\left(v_{n}\right) est géométrique ; préciser la raison et son premier terme.

2. En déduire que, pour tout entier naturel n1,n \geqslant 1, on a :
un=1+(0,5)nn.u_{n}=\dfrac{1+(0\text{,}5)^{n}}{n}.

3. Démontrer que, pour tout entier naturel n1,n \geqslant 1, on a :
un+1un=1+(1+0,5n)(0,5)nn(n+1)u_{n+1}-u_{n}=-\dfrac{1+(1+0\text{,}5 n)(0\text{,}5)^{n}}{n(n+1)}.
En déduire le sens de variation de la suite (un)(u_n).


Partie C : Retour à l’algorithmique
En s’inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer le plus petit entier nn tel que un<0,001.u_{n}\lt0\text{,}001.



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[D’après Bac S - Centres étrangers - 2018.]
Un détaillant en fruits et légumes étudie l’évolution de ses ventes de melons afin de pouvoir anticiper ses commandes. Le détaillant réalise une étude sur ses clients.
Il constate que :
  • parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, 90 % d’entre eux achètent un melon la semaine suivante ;
  • parmi les clients qui n’achètent pas de melon une semaine donnée, 60 % d’entre eux n’achètent pas de melon la semaine suivante.
On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine 1 et, pour n1,n \geqslant 1, on note An\mathrm{A}_{n} l’événement : « le client achète un melon au cours de la semaine nn ». On a ainsi P(A1)=1.\text{P}\left(\text{A}_{1}\right)=1.

1. a. Complétez l’arbre de probabilité relatif aux trois premières semaines ci-dessous (vous pouvez utiliser l'outil de dessin en mode zoom).

PRÉPARER LE BAC - ALGÈBRE

b. Démontrer que P(A3)=0,85.\text{P}\left(A_{3}\right)=0{,}85.

c. Sachant que le client achète un melon au cours de la semaine 3, quelle est la probabilité qu’il en ait acheté un au cours de la semaine 2 ? Arrondir au centième.

Dans la suite, on pose pour tout entier n1:n \geqslant 1 :
pn=P(An).p_{n}=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{n}\right). On a ainsi p1=1p_{1}=1
2. Démontrer que, pour tout entier n1:n \geqslant 1 :
pn+1=0,5pn+0,4.p_{n+1}=0\text{,}5 p_{n}+0\text{,}4.

3. a. On admet que, pour tout entier n1,pn>0,8.n \geqslant 1, \: p_{n}>0\text{,}8.
Démontrer que la suite (pn)\left(p_{n}\right) est décroissante.

b. À l’aide de la calculatrice, conjecturer la limite de la suite (pn)\left(p_{n}\right).

4. On pose, pour tout entier n1:vn=pn0,8.\: n \geqslant 1 : v_{n}=p_{n}-0\text{,}8.
a. Démontrer que (vn)\left(v_{n}\right) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme v1v_1 et la raison.

b. Exprimer vnv_n en fonction de n.n .

c. En déduire que, pour tout entier n1:n \geqslant 1\::
pn=0,8+0,2×0,5n1.p_{n}=0\text{,}8+0\text{,}2 \times 0\text{,}5^{n-1}.

d. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le comportement de (pn)\left(p_{n}\right) lorsque nn devient très grand.
Interpréter le résultat.


9
[D’après Bac S - Liban - 2013.]
On considère la suite numérique (vn)\left(v_{n}\right) définie pour tout entier naturel nn par v0=1v_{0}=1 et vn+1=96vn.v_{n+1}=\dfrac{9}{6-v_{n}}.
Partie A :
1. On souhaite écrire un algorithme calculant, pour un entier naturel nn donné, tous les termes de la suite, du rang 00 au rang n.n. Parmi les deux algorithmes suivants, un seul convient.
Préciser lequel en justifiant la réponse.

 Algorithme 1  v  1  Pour i variant de 1 aˋ n :v96vFin Pour \boxed{ \begin{array} { l } { } \\ \quad \text { Algorithme 1 }\\ \text { v } \leftarrow \text { 1 } \\ \text { Pour i variant de 1 à n }: \\ \quad \text {v} \leftarrow \dfrac{9}{6-\text{v}} \\ \text {Fin Pour} \end{array} }  Algorithme 2  Pour i variant de 1 aˋ n : v  1 v96vFin Pour \boxed{ \begin{array} { l } { } \\ \quad \text { Algorithme 2 }\\ \text { Pour i variant de 1 à n }: \\ \quad \text { v } \leftarrow \text { 1 } \\ \quad \text {v} \leftarrow \dfrac{9}{6-\text{v}} \\ \text {Fin Pour} \end{array} }

2. Pour n=10n = 10 on obtient les valeurs suivantes :

1 1,8 2,143 2,333 2,455 2,538 2,6 2,647 2,684 2,714

Pour n=100,n = 100 , les derniers termes calculés sont :

2,967 2,968 2,968 2,969 2,969 2,969 2,970 2,970 2,970 2,970

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (vn)?\left(v_{n}\right)\:?

3. On admet que, pour tout entier naturel n,0<vn<3.n, 0\lt v_{n}\lt3.
Démontrer que, pour tout entier naturel n,n ,
vn+1vn=(3vn)26vn.v_{n+1}-v_{n}=\dfrac{\left(3-v_{n}\right)^{2}}{6-v_{n}}. La suite (vn)\left(v_{n}\right) est-elle monotone ?


Partie B : Recherche de l’expression de la suite
On considère la suite (wn)\left(w_{n}\right) définie pour tout nn entier naturel par wn=1vn3.w_{n}=\dfrac{1}{v_{n}-3}.
1. Démontrer que (wn)\left(w_{n}\right) est une suite arithmétique de raison (13).\left(-\dfrac{1}{3}\right).

2. En déduire l’expression de (wn),\left(w_{n}\right), puis celle de (vn) \left(v_{n}\right) en fonction de n.n .


5
[D’après Bac S - Nouvelle-Calédonie - 2017.]
Soit (un)\left(u_{n}\right) la suite définie par u0=3,u1=6u_{0}=3, u_{1}=6 et, pour tout entier naturel n:un+2=54un+114un.n : u_{n+2}=\dfrac{5}{4} u_{n+1}-\dfrac{1}{4} u_{n}.
Partie A :
On souhaite calculer les valeurs des premiers termes de la suite (un)\left(u_{n}\right) à l’aide d’un tableur.
On a reproduit ci-dessous une partie d’une feuille de calcul où figurent les valeurs de u0u_0 et de u1.u_1 .

PRÉPARER LE BAC - ALGÈBRE

1. Donner une formule qui, saisie dans la cellule B4 puis recopiée vers le bas, permet d’obtenir des valeurs de la suite (un)\left(u_{n}\right) dans la colonne B.

2. Recopier et compléter le tableau ci-dessus. On donnera des valeurs approchées à 10-3 près de unu_{n} pour nn allant de 2 à 5.

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3. Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite (un)?\left(u_{n}\right) ?


Partie B : Étude de la suite
On considère les suites (vn) \left(v_{n}\right) et (wn) \left(w_{n}\right) définies pour tout entier naturel nn par :
vn=un+114unv_{n}=u_{n+1}-\frac{1}{4} u_{n} et wn=un7. w_{n}=u_{n}-7.
1. a. Démontrer que (vn)\left(v_{n}\right) est une suite constante.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n,n , un+1=14un+214.u_{n+1}=\dfrac{1}{4} u_{n}+\dfrac{21}{4}.

2. a. Démontrer que (wn)\left(w_{n}\right) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n,n , un=7(14)n1.u_{n}=7-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}.

c. Quel lien peut-on faire avec la question 3. de la partie A ?

Exercice guidé

1
[D’après Bac S - France métropolitaine - 2013.]
On considère la suite (un)\left(u_{n}\right) définie sur N\N par u0=2u_{0}=2 et, pour tout entier naturel nN,n \in \N,
un+1=un+22un+1.u_{n+1}=\dfrac{u_{n}+2}{2 u_{n}+1}.
On admet que, pour tout entier naturel n,un>0.n, u_{n}>0.

1. a. Calculer u1,u2,u3u_{1}, u_{2}, u_{3} et u4. u_{4}. On pourra en donner une valeur approchée à 10-2 près.


Aide
Dans cette question, il faut réaliser un calcul. La suite (un)\left(u_{n}\right) est définie par récurrence. Pour calculer, u1,u_1 , il faut donc utiliser u0u_0 et la relation de récurrence :
u1=u0+22u0+1.u_{1}=\dfrac{u_{0}+2}{2 u_{0}+1}.

On raisonne de la même façon pour u2,u3u_{2}, u_{3} et u4.u_4.


b. Vérifier que si nn est l’un des entiers 0;1;2;30\: ; 1\: ; 2\: ; 3 ou 4<