Équations et inéquations du second degré

1

$a$, $b$ et $c$ sont trois réels tels que $a\ne 0$. $a{x}^2+bx+c$ est un trinôme. Son discriminant est $\Delta =b^2-4ac.$
Pour tout réel $x$, la forme canonique de $a{x}^2+bx+c$ est $a\left[{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{\Delta }{4a^2}\right].$ Cela permet de :

✔ démontrer les autres propriétés.

2

• Si $\Delta <0$, alors l'équation $a{x}^2+bx+c=0$ n'a pas de solution réelle. $a{x}^2+bx+c\ne 0$ pour tout réel $x.$ Il n'y a pas de factorisation possible.
• Si $\Delta =0$, alors l'équation a une solution réelle : $x_0=\frac{-b}{2a}$. Le trinôme s'écrit $\mathbf{a}{\left(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_0\right)}^2.$
• Si $\Delta >0$, l'équation a deux solutions réelles distinctes : $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$. Le trinôme s'écrit $\mathbf{a}\left(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_1\right)\left(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_2\right)$.
Cela permet de :

✔ résoudre des équations polynomiales du second degré ;
✔ étudier les variations d'une fonction ou la position relative de deux courbes par exemple ;
✔ simplifier des fractions rationnelles.

3

Le trinôme $a{x}^2+bx+c$ est du signe de $a$, sauf entre les racines s'il y en a. Cela permet de :

✔ donner le signe d'un trinôme ;
✔ résoudre des problèmes se ramenant à des inéquations du second degré.

4

Deux réels ont pour somme $\text{S}$ et pour produit $\text{P}$ si et seulement si ils sont solutions de l'équation $x^2-\mathrm{S}x+\mathrm{P}=0$. On a alors $\mathrm{S}=\frac{-\mathbf{b}}{\mathbf{a}}$ et $\mathrm{P}=\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{a}}$. Cela permet de :

✔ trouver la deuxième racine lorsque la première est connue (racine évidente par exemple) ;
✔ trouver deux réels dont on connaît la somme et le produit.

5

Le sommet de la parabole représentant une fonction trinôme $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=a{x}^2+bx+c$ a pour coordonnées $\left(\frac{-b}{2a};\frac{-\Delta }{4a}\right)$. Cela permet de :

✔ déterminer les coordonnées du sommet d'une parabole ;
✔ déterminer un maximum ou un minimum.