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L'essentiel BAC




CARTE MENTALE

Carte mentale sur les trinômes du second degré

FICHE DE RÉVISION

1
aa, bb et cc sont trois réels tels que a0a \neq 0. ax2+bx+ca x^{2}+b x+c est un trinôme.
Son discriminant est Δ=b24ac.\Delta=b^{2}-4 a c.
Pour tout réel xx, la forme canonique de ax2+bx+ca x^{2}+b x+c est a[(x+b2a)2Δ4a2].a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\right]. Cela permet de :

✔ démontrer les autres propriétés.

2
• Si Δ<0\Delta\lt0, alors l’équation ax2+bx+c=0a x^{2}+b x+c=0 n’a pas de solution réelle. ax2+bx+c0a x^{2}+b x+c \neq 0 pour tout réel x.x. Il n’y a pas de factorisation possible.
• Si Δ=0\Delta=0, alors l’équation a une solution réelle : x0=b2ax_{0}=\dfrac{-b}{2 a}. Le trinôme s’écrit a(xx0)2.\boldsymbol{a}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{\mathbf{0}}\right)^{2}.
• Si Δ>0\Delta>0, l’équation a deux solutions réelles distinctes : x1=bΔ2ax_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} et x2=b+Δ2ax_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}. Le trinôme s’écrit a(xx1)(xx2)\boldsymbol{a}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{\mathbf{1}}\right)\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{\mathbf{2}}\right).
Cela permet de :

✔ résoudre des équations polynomiales du second degré ;
✔ étudier les variations d’une fonction ou la position relative de deux courbes par exemple ;
✔ simplifier des fractions rationnelles.

3
Le trinôme ax2+bx+ca x^{2}+b x+c est du signe de aa, sauf entre les racines s’il y en a. Cela permet de :

✔ donner le signe d’un trinôme ;
✔ résoudre des problèmes se ramenant à des inéquations du second degré.

4
Deux réels ont pour somme S\text{S} et pour produit P\text{P} si et seulement si ils sont solutions de l’équation x2Sx+P=0x^{2}-\mathrm{S }x+\mathrm{P}=0. On a alors S=ba\mathrm{S}=\dfrac{\boldsymbol{-b}}{\boldsymbol{a}} et P=ca\mathrm{P} =\dfrac{\mathbf{c}}{\boldsymbol{a}}. Cela permet de :

✔ trouver la deuxième racine lorsque la première est connue (racine évidente par exemple) ;
✔ trouver deux réels dont on connaît la somme et le produit.

5
Le sommet de la parabole représentant une fonction trinôme ff définie sur R\R par f(x)=ax2+bx+cf(x)=a x^{2}+b x+c a pour coordonnées (b2a ;Δ4a)\left(\dfrac{-b}{2 a}\text{ };\dfrac{-\Delta}{4 a}\right). Cela permet de :

✔ déterminer les coordonnées du sommet d’une parabole ;
✔ déterminer un maximum ou un minimum.
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