Équations et inéquations du second degré

Au cours d'un spectacle, un magicien propose à un spectateur le programme de calcul suivant.
« Pensez à un nombre entier positif.
Élevez ce nombre au carré.
Enlevez le double du nombre de départ.
Enlevez $3.$ »
Le spectateur annonce avoir trouvé $12$. Le magicien dit alors : « Vous pensiez au nombre $5$ » et la foule applaudit.
On note $x$ le nombre choisi par le spectateur.
Le programme de calcul définit une fonction numérique que l'on peut noter $f.$ On considère, dans les questions suivantes, que $f$ est définie sur $\mathbb{R}.$

1

Pour tout $x\in \mathbb{R},$ donner l'expression de $f(x)$ en fonction de $x.$

2

Vérifier qu'en ayant pensé à $5,$ on trouve bien $12$ après le programme de calcul.

3

Déterminer les éventuels antécédents de $-3.$

4

Déterminer les éventuels antécédents de $-4.$

5

Montrer que $f(x)=(x-1{)}^2-4$ pour tout réel $x.$ Expliquer alors la démarche du magicien.

6

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x)=0$ puis interpréter le résultat.

Soit $f$, la fonction trinôme définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^2+x-1$.
a) Déterminer les racines de $f.$

Aide

Les racines d'un trinôme $f$ sont les solutions de l'équation $f(x)=0$.

b) Voici la représentation graphique de la fonction $f:$


Dresser le tableau de signes de $f(x)$ en fonction du réel $x.$
Soit $g$, la fonction trinôme définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=-\frac{1}{2}{x}^2+2x+\frac{5}{2}.$
a) Déterminer les racines de $g.$

b) Voici la représentation graphique de la fonction $g:$


Dresser le tableau de signes de $g(x)$ en fonction du réel $x.$

Soit $h$, la fonction trinôme définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=2x^2-x+1$.
a) Déterminer le discriminant de $h$.

b) Représenter $h$ à l'aide de la calculatrice ou de GeoGebra puis dresser le tableau de signes de $h(x)$ en fonction du réel $x.$

Soit $\ell$, la fonction trinôme définie sur $\mathbb{R}$ par $\ell (x)=-x^2+2x-2$.
a) Déterminer le discriminant de $\ell .$

b) Représenter $\ell$ à l'aide de la calculatrice ou de GeoGebra puis dresser le tableau de signes de $\ell (x)$ en fonction du réel $x.$

Déterminer les racines des fonctions trinômes suivantes.
a) $f(x)=x^2-7x+12.$

b) $g(x)=x^2+2x-8.$

2

Conjecturer une relation entre les coefficients $b$ et $c$ des trinômes $a{x}^2+bx+c$ précédents et leurs racines.

Déterminer les racines des fonctions trinômes suivantes.
a) $h(x)=-x^2+7x-10.$

b) $\ell (x)=2x^2+4x-6.$

4

Conjecturer une relation utilisant des opérations sur les coefficients $a$, $b$ et $c$ des trinômes $a{x}^2+bx+c$ précédents et leurs racines.

5

a) Vérifier, sans calculer le discriminant, que les nombres $-1$ et $4$ sont les racines du trinôme $3x^2-9x-12.$

b) La relation conjecturée à la question précédente semble-t-elle toujours valable ?

6

$x_1$ et $x_2$ sont deux nombres tels que $x_1+x_2=-2$ et $x_1\times x_2=2.$
Trouver un trinôme du second degré ayant pour racines $x_1$ et $x_2.$