Activités




B
Signe d’un trinôme du second degré

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Bilan
Quels sont les éléments qui interviennent dans la détermination du signe d’un trinôme du second degré ?

AIDE

1a)
Les racines d’un trinôme ff sont les solutions de l’équation f(x)=0f(x)=0.

2
Soit gg, la fonction trinôme définie sur R\R par g(x)=12x2+2x+52.g(x)=-\dfrac{1}{2} x^{2}+2 x+\dfrac{5}{2}.
a) Déterminer les racines de g.g.

b) Voici la représentation graphique de la fonction g:g :
Signe d’un trinôme du second degré - Équation et inéquation du second degré

Dresser le tableau de signes de g(x)g(x) en fonction du réel x.x.
Couleurs
Formes
Dessinez ici

3
Soit hh, la fonction trinôme définie sur R\R par h(x)=2x2x+1h(x)=2 x^{2}-x+1.
a) Déterminer le discriminant de hh .

b) Représenter hh à l’aide de la calculatrice ou de GeoGebra puis dresser le tableau de signes de h(x)h(x) en fonction du réel x.x.
Lancer le module Geogebra
Couleurs
Formes
Dessinez ici

4
Soit \ell, la fonction trinôme définie sur R\R par (x)=x2+2x2\ell(x)=-x^{2}+2 x-2.
a) Déterminer le discriminant de .\ell .

b) Représenter \ell à l’aide de la calculatrice ou de GeoGebra puis dresser le tableau de signes de (x)\ell(x) en fonction du réel x.x.
Lancer le module Geogebra
Couleurs
Formes
Dessinez ici


Objectif
Découvrir les éléments importants qui permettent de déterminer le signe d’un trinôme.


On souhaite déterminer le signe de plusieurs trinômes en connaissant leurs éventuelles racines.

1
Soit ff, la fonction trinôme définie sur R\R par f(x)=2x2+x1f(x)=2 x^{2}+x-1.
a) Déterminer les racines de f.f.

b) Voici la représentation graphique de la fonction f:f :
Signe d’un trinôme du second degré - Équation et inéquation du second degré

Dresser le tableau de signes de f(x)f(x) en fonction du réel x.x.
Couleurs
Formes
Dessinez ici


A
Tour de magie


1
Pour tout xR,x \in \mathbb{R}, donner l’expression de f(x)f(x) en fonction de x.x.


2
Vérifier qu’en ayant pensé à 5,5, on trouve bien 1212 après le programme de calcul.


3
Déterminer les éventuels antécédents de 3.-3.


4
Déterminer les éventuels antécédents de 4.-4.


5
Montrer que f(x)=(x1)24f(x)=(x-1)^{2}-4 pour tout réel x.x. Expliquer alors la démarche du magicien.


6
Résoudre dans R\R l’équation f(x)=0f(x)=0 puis interpréter le résultat.

Tour de magie - activité - Équation et inéquation du second degré


Objectif
Utiliser la forme canonique d’un trinôme.

Voir les réponses


Bilan
Comment peut-on transformer l’écriture d’un trinôme ff pour résoudre l’équation f(x)=0f(x)=0 ?


Au cours d’un spectacle, un magicien propose à un spectateur le programme de calcul suivant.
« Pensez à un nombre entier positif.
Élevez ce nombre au carré.
Enlevez le double du nombre de départ.
Enlevez 3.3. »
Le spectateur annonce avoir trouvé 1212. Le magicien dit alors : « Vous pensiez au nombre 55 » et la foule applaudit.
On note xx le nombre choisi par le spectateur.
Le programme de calcul définit une fonction numérique que l’on peut noter f.f. On considère, dans les questions suivantes, que ff est définie sur R.\R.

C
Somme et produit de racines



4
Conjecturer une relation utilisant des opérations sur les coefficients aa, bb et cc des trinômes ax2+bx+ca x^{2}+b x+c précédents et leurs racines.


5
a) Vérifier, sans calculer le discriminant, que les nombres 1-1 et 44 sont les racines du trinôme 3x29x12.3 x^{2}-9 x-12.

b) La relation conjecturée à la question précédente semble-t-elle toujours valable ?


6
x1x_1 et x2x_2 sont deux nombres tels que x1+x2=2x_{1}+x_{2}=-2 et x1×x2=2.x_{1} \times x_{2}=2.
Trouver un trinôme du second degré ayant pour racines x1x_1 et x2.x_2.
Voir les réponses


Bilan
Lorsque l’on connaît les racines d’un trinôme, que peut-on dire de leur produit et de leur somme ?



Objectif
Découvrir le lien entre les racines et les coefficients d’un trinôme du second degré.


Voir les réponses
Il existe des relations simples liant les racines d’un trinôme et ses coefficients. On va les découvrir sur quelques exemples.

1
Déterminer les racines des fonctions trinômes suivantes.
a) f(x)=x27x+12.f(x)=x^{2}-7 x+12.

b) g(x)=x2+2x8.g(x)=x^{2}+2 x-8.


2
Conjecturer une relation entre les coefficients bb et cc des trinômes ax2+bx+ca x^{2}+b x+c précédents et leurs racines.


3
Déterminer les racines des fonctions trinômes suivantes.
a) h(x)=x2+7x10.h(x)=-x^{2}+7 x-10.

b) (x)=2x2+4x6.\ell(x)=2 x^{2}+4 x-6.
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