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COURS 1


1
Fonction valeur absolue




En seconde, la valeur absolue d’un nombre réel et la distance entre deux réels ont été étudiées.
Ces notions permettent de définir une nouvelle fonction.

Application et méthode


SOLUTION

1. Par lecture graphique, on obtient : x=3x = -3 ou x=3.x = 3 .
2. Par lecture graphique, on obtient 3<x<3-3 \lt x \lt 3 donc l’ensemble des solutions est ]3;3[.] - 3 \: ; 3[ .
3. Par lecture graphique, on obtient : x<3x \lt -3 ou x>3.x \gt 3 .
L’ensemble des solutions est donc ];3[]3;+[] - \infty \: ; - 3 [ \cup ] 3 \: ; + \infty [.

Pour s'entraîner : exercices 21 et 25 p. 59

Méthode

On trace la courbe représentative C\text{C} de la fonction valeur absolue et on trace la droite dd d’équation y=3.y = 3 .
1. Il suffit de lire les deux antécédents du nombre 3.3.
2. On lit les abscisses des points de C\text{C} situés strictement en dessous de d.d .
3. On lit les abscisses des points de C\text{C} situés strictement au-dessus de d.d .

Énoncé

En utilisant la représentation graphique de la fonction valeur absolue, résoudre l’équation et les inéquations suivantes.

1. x=3| x | = 3
2. x<3| x | \lt 3
3. x>3| x | \gt 3

Fonction valeur absolue - Définition et courbe représentative - Fonctions de référence

B
Sens de variation et extremum


Tableau de variation - Fonction valeur absolue - Sens de variation et extremum - Fonctions de référence

Propriété

La fonction valeur absolue ff est strictement décroissante sur ];0]] - \infty \: ; 0 ] et strictement croissante sur [0;+[.[ 0 \: ; + \infty [.
Son minimum sur R\mathbb { R } est 00 et il est atteint pour x=0.x = 0 .

DÉMONSTRATION

  • Sur ];0],] - \infty \: ; 0 ], ff est définie par f(x)=x.f(x) = -x . ff est décroissante sur ];0],] - \infty \: ; 0 ], puisque son coefficient directeur m=1m = -1 est négatif.
  • Sur [0;+[,[ 0 \: ; + \infty [, ff est définie par f(x)=xf(x) = x donc ff est croissante sur [0;+[.[ 0 \: ; + \infty [.
  • Pour tout réel x,x , on a f(x)=xf ( x ) = | x | et x0.| x | \geqslant 0. De plus, f(0)=0.f(0) = 0 .
Ainsi, pour tout réel x,x , f(x)f(0).f ( x ) \geqslant f ( 0 ).
ff admet 00 pour minimum sur R,\mathbb{R}, atteint au point d’abscisse 0.

Remarque

On peut également déduire les variations de ff sur [0;+[[ 0 \: ; + \infty [ en utilisant la symétrie de ff par rapport à l’axe des ordonnées.

Application et méthode

Énoncé

1. On considère un réel xx tel que 2x<5.2 \leqslant x \lt 5. Déterminer un encadrement de 23x.2 - 3 | x |.
2. On considère un réel xx tel que 2x<1.-2 \leqslant x \lt 1. Déterminer un encadrement de 5x3.5 | x |-3.

SOLUTION

1. On a : 2x<5.2 \leqslant x \lt 5.
La fonction valeur absolue est croissante sur [0;+[[ 0 \: ; + \infty [ donc :
2x<563x>15423x>13.\begin{array} { l } { 2 \leqslant | x | \lt 5 } \\ { \Leftrightarrow - 6 \geqslant - 3 | x | \gt - 15 } \\ { \Leftrightarrow - 4 \geqslant 2 - 3 | x | \gt - 13. } \end{array}
On obtient donc l’encadrement 423x>13.- 4 \geqslant 2 - 3 | x | \gt - 13.

2. On a : 2x<1.-2 \leqslant x \lt 1.
La fonction valeur absolue n’étant pas monotone sur [2;1],[ - 2 \: ; 1 ], on dresse son tableau de variations sur [2;1].[ - 2 \: ; 1 ].

Tableau de variation - Fonction valeur absolue - Sens de variation et extremum - Fonctions de référence

D’où :
0x205x1035x37\begin{array} { l } { 0 \leqslant | x | \leqslant 2 } \\ { \Leftrightarrow 0 \leqslant 5 | x | \leqslant 10 } \\ { \Leftrightarrow - 3 \leqslant 5 | x | - 3 \leqslant 7 } \end{array}
On obtient donc l’encadrement 35x37.- 3 \leqslant 5 | x | - 3 \leqslant 7.

Pour s'entraîner : exercices 46 et 47 p. 61

Méthode

  • On encadre ce qu’il y a dans la valeur absolue.
  • On utilise les variations de la fonction valeur absolue. Attention, il pourra être nécessaire de dresser son tableau de variations (lorsque celle-ci n’est pas monotone sur l’intervalle étudié).
  • On termine avec les propriétés opératoires sur les inégalités.


A
Définition et courbe représentative


Définition

La fonction valeur absolue est définie sur R\mathbb { R } par f(x)=x.f ( x ) = | x | .
On a f(x)={x si x<0x si x0f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l l } { - x } \hspace*{0.2cm} { \text { si } } \hspace*{0.2cm} { x \lt 0 } \\ { x } \hspace*{0.5cm} { \text { si } } \hspace*{0.2cm} { x \geqslant 0 } \end{array} \right.
Sa courbe représentative est donnée dans le graphique suivant.

Propriété

La fonction valeur absolue est paire. Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

DÉMONSTRATION

Pour tout réel x,x , on a : f(x)=x=x=f(x).f ( - x ) = | - x | = | x | = f ( x ). ff est donc bien une fonction paire et sa représentation graphique est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Remarque

Pour tout réel x,x , on a x2=x\sqrt { x ^ { 2 } } = | x | et pour tout réel x0,x \geqslant 0, (x)2=x.( \sqrt { x } ) ^ { 2 } = x.

Remarque

La fonction valeur absolue est une fonction affine par morceaux.

Rappel

Une fonction ff est paire lorsque son ensemble de définition D\mathcal { D } est symétrique par rapport à 00 et que, pour tout réel xD,x \in \mathcal { D }, f(x)=f(x).f(-x) = f(x).


Fonction valeur absolue - Définition et courbe représentative - Fonctions de référence
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