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COURS 1


1
Fonction valeur absolue




En seconde, la valeur absolue d’un nombre réel et la distance entre deux réels ont été étudiées.
Ces notions permettent de définir une nouvelle fonction.

A
Définition et courbe représentative


Définition

La fonction valeur absolue est définie sur R\mathbb { R } par f(x)=x.f ( x ) = | x | .
On a f(x)={x si x<0x si x0f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l l } { - x } \hspace*{0.2cm} { \text { si } } \hspace*{0.2cm} { x \lt 0 } \\ { x } \hspace*{0.5cm} { \text { si } } \hspace*{0.2cm} { x \geqslant 0 } \end{array} \right.
Sa courbe représentative est donnée dans le graphique suivant.


Fonction valeur absolue - Définition et courbe représentative - Fonctions de référence

Remarque

Pour tout réel x,x , on a x2=x\sqrt { x ^ { 2 } } = | x | et pour tout réel x0,x \geqslant 0, (x)2=x.( \sqrt { x } ) ^ { 2 } = x.

Remarque

La fonction valeur absolue est une fonction affine par morceaux.

Propriété

La fonction valeur absolue est paire. Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Rappel

Une fonction ff est paire lorsque son ensemble de définition D\mathcal { D } est symétrique par rapport à 00 et que, pour tout réel xD,x \in \mathcal { D }, f(x)=f(x).f(-x) = f(x).

DÉMONSTRATION

Pour tout réel x,x , on a : f(x)=x=x=f(x).f ( - x ) = | - x | = | x | = f ( x ). ff est donc bien une fonction paire et sa représentation graphique est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Application et méthode

Énoncé

En utilisant la représentation graphique de la fonction valeur absolue, résoudre l’équation et les inéquations suivantes.

1. x=3| x | = 3
2. x<3| x | \lt 3
3. x>3| x | \gt 3

Méthode

On trace la courbe représentative C\text{C} de la fonction valeur absolue et on trace la droite dd d’équation y=3.y = 3 .
1. Il suffit de lire les deux antécédents du nombre 3.3.
2. On lit les abscisses des points de C\text{C} situés strictement en dessous de d.d .
3. On lit les abscisses des points de C\text{C} situés strictement au-dessus de d.d .

SOLUTION

1. Par lecture graphique, on obtient : x=3x = -3 ou x=3.x = 3 .
2. Par lecture graphique, on obtient 3<x<3-3 \lt x \lt 3 donc l’ensemble des solutions est ]3;3[.] - 3 \: ; 3[ .
3. Par lecture graphique, on obtient : x<3x \lt -3 ou x>3.x \gt 3 .
L’ensemble des solutions est donc ];3[]3;+[] - \infty \: ; - 3 [ \cup ] 3 \: ; + \infty [.

Pour s'entraîner : exercices 21 et 25 p. 59

Fonction valeur absolue - Définition et courbe représentative - Fonctions de référence

B
Sens de variation et extremum


Propriété

La fonction valeur absolue ff est strictement décroissante sur ];0]] - \infty \: ; 0 ] et strictement croissante sur [0;+[.[ 0 \: ; + \infty [.
Son minimum sur R\mathbb { R } est 00 et il est atteint pour x=0.x = 0 .

Tableau de variation - Fonction valeur absolue - Sens de variation et extremum - Fonctions de référence

DÉMONSTRATION

  • Sur ];0],] - \infty \: ; 0 ], ff est définie par f(x)=x.f(x) = -x . ff est décroissante sur ];0],] - \infty \: ; 0 ], puisque son coefficient directeur m=1m = -1 est négatif.
  • Sur [0;+[,[ 0 \: ; + \infty [, ff est définie par f(x)=xf(x) = x donc ff est croissante sur [0;+[.[ 0 \: ; + \infty [.
  • Pour tout réel x,x , on a f(x)=xf ( x ) = | x | et x0.| x | \geqslant 0. De plus, f(0)=0.f(0) = 0 .
Ainsi, pour tout réel x,x , f(x)f(0).f ( x ) \geqslant f ( 0 ).
ff admet 00 pour minimum sur R,\mathbb{R}, atteint au point d’abscisse 0.

Remarque

On peut également déduire les variations de ff sur [0;+[[ 0 \: ; + \infty [ en utilisant la symétrie de ff par rapport à l’axe des ordonnées.

Application et méthode

Énoncé

1. On considère un réel xx tel que 2x<5.2 \leqslant x \lt 5. Déterminer un encadrement de 23x.2 - 3 | x |.
2. On considère un réel xx tel que 2x<1.-2 \leqslant x \lt 1. Déterminer un encadrement de 5x3.5 | x |-3.

Méthode

  • On encadre ce qu’il y a dans la valeur absolue.
  • On utilise les variations de la fonction valeur absolue. Attention, il pourra être nécessaire de dresser son tableau de variations (lorsque celle-ci n’est pas monotone sur l’intervalle étudié).
  • On termine avec les propriétés opératoires sur les inégalités.



SOLUTION

1. On a : 2x<5.2 \leqslant x \lt 5.
La fonction valeur absolue est croissante sur [0;+[[ 0 \: ; + \infty [ donc :
2x<563x>15423x>13.\begin{array} { l } { 2 \leqslant | x | \lt 5 } \\ { \Leftrightarrow - 6 \geqslant - 3 | x | \gt - 15 } \\ { \Leftrightarrow - 4 \geqslant 2 - 3 | x | \gt - 13. } \end{array}
On obtient donc l’encadrement 423x>13.- 4 \geqslant 2 - 3 | x | \gt - 13.

2. On a : 2x<1.-2 \leqslant x \lt 1.
La fonction valeur absolue n’étant pas monotone sur [2;1],[ - 2 \: ; 1 ], on dresse son tableau de variations sur [2;1].[ - 2 \: ; 1 ].

Tableau de variation - Fonction valeur absolue - Sens de variation et extremum - Fonctions de référence

D’où :
0x205x1035x37\begin{array} { l } { 0 \leqslant | x | \leqslant 2 } \\ { \Leftrightarrow 0 \leqslant 5 | x | \leqslant 10 } \\ { \Leftrightarrow - 3 \leqslant 5 | x | - 3 \leqslant 7 } \end{array}
On obtient donc l’encadrement 35x37.- 3 \leqslant 5 | x | - 3 \leqslant 7.

Pour s'entraîner : exercices 46 et 47 p. 61
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