Activités




B
À la découverte des jets d’eau d’une fontaine


5
Revenons à la fontaine. Répondre aux questions suivantes en utilisant la modélisation ci-dessus.

a) Quel est le signe de a ?a ?


b) On donne c=3,5c = -3\text{,}5 et x29,4.x _ { 2 } \approx 9\text{,}4. Donner une interprétation graphique.


c) Déterminer α,\alpha , β\beta et x1.x _ { 1 }.


d) Le point S\text{S} de coordonnées (α;β)(\alpha \: ; \beta) correspond à une particularité de la parabole. Laquelle ?


e) À quoi correspondent x1x _ { 1 } et x2x _ { 2 } pour le jet ?


Fontaine du Bosquet des Trois-Fontaines, parc du château de
Versailles - Activité À la découverte des jets d’eau d’une fontaine - Fonctions de référence

Fontaine du Bosquet des Trois-Fontaines, parc du château de Versailles.


Objectif
Découvrir et utiliser les différentes expressions des fonctions polynômes du second degré.

AIDE

1
Utiliser le bouton
MAT.1re.2.ACT2.a2-retouche

2
a) Créer la fonction ff d’expression développée f(x)=ax2+bx+c.f(x) = ax^2 + bx + c.

b) Si a=0,a = 0, quelle est la nature de f ?f ?


c) Faire varier a,a, bb et cc et noter l’influence de chaque paramètre sur la parabole.


d) Quelle valeur parmi a,a, bb et cc peut-on déterminer directement par lecture graphique ?


3
a) Créer la fonction gg d’expression canonique g(x)=a(xα)2+β.g ( x ) = a ( x - \alpha ) ^ { 2 } + \beta.

b) Faire varier α\alpha et β\beta et noter l’influence de chaque paramètre sur la parabole.


c) Comment retrouver α\alpha et β\beta sur le graphique ?


4
a) Créer la fonction hh d’expression factorisée h(x)=a(xx1)(xx2).h ( x ) = a \left( x - x _ { 1 } \right) \left( x - x _ { 2 } \right).

b) Faire varier x1x _ { 1 } et x2x _ { 2 } et noter l’influence de chaque paramètre sur la parabole.


c) Comment retrouver x1x _ { 1 } et x2x _ { 2 } sur le graphique ?

Dans le parc du château de Versailles, on peut admirer une des fontaines du Bosquet des Trois-Fontaines. On peut observer que ses jets forment des paraboles. Afin de construire le bassin adéquat et éviter d’arroser le public flânant dans le jardin, partons à la découverte des paraboles.
À l’aide de GeoGebra, découvrons les expressions d’une fonction polynôme du second degré et leurs liens avec le graphique.

Lancer le module Geogebra
Voir les réponses


Bilan
Quelle est la hauteur maximale du jet ? L’unité étant le mètre, quel devrait être le diamètre minimal du bassin pour que ce jet n’arrose pas les promeneurs ?



Représentation graphique d’un des jets de la fontaine. - Activité À la découverte des jets d’eau d’une fontaine - Fonctions de référence

Représentation graphique d’un des jets de la fontaine.

1
a) Créer sept curseurs a,a, b,b, c,c, α,\alpha, β,\beta, x1x _ { 1 } et x2x _ { 2 } allant de 5–5 à 55 avec un pas de 0,1.0\text{,}1.

A
La valeur absolue dans tous ses états


Voir les réponses
En classe de seconde, la valeur absolue d’un nombre réel x,x, notée x| x |, a été définie comme la distance entre l’origine O\text{O} sur la droite des réels et le point M\text{M} d’abscisse x.x .
Partons désormais à la découverte de la fonction valeur absolue ff définie sur R\R par f(x)=x.f(x) = | x |.

1
Déterminer la valeur exacte de 3,| - 3 | , π| \pi | et 325.| 3 \sqrt { 2 } - 5 |.


2
Voici la courbe représentative, dans un repère orthonormé du plan, de la fonction f.f .
La valeur absolue dans tous ses états - Activité - Fonctions de référence

a) Déterminer l’expression de ff en fonction de xx lorsque x0.x \leqslant 0 .


b) Déterminer l’expression de ff en fonction de xx lorsque x0.x \geqslant 0 .

3
Écrire un algorithme en langage naturel, puis en Python, permettant de calculer la valeur absolue de xx selon son signe.





Dans la vie professionnelle

	Économiste - dans la vie professionnelle

L’économiste étudie les richesses à l’échelle de la société. Son étude peut porter sur la macro ou la microéconomie ou bien encore sur le marché du travail. Elle peut concerner différentes variantes de l’économie : financière, monétaire, environnementale, institutionnelle, etc. Lorsque l’économiste étudie les biens de consommation, il/elle prend en compte l’élasticité E\text{E} de ce bien pour savoir si E<1| \text{E} | \lt 1 ou E>1.| \text{E} | \gt 1 . Par ailleurs, l’économiste peut avoir besoin de calculer un écart moyen Em \text{E}_m en statistique, différent de l’écart-type : Em=i=1nxix.\mathrm { E } _ { m } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left| x _ { i } - \overline { x } \right|.


Objectif
Découvrir la fonction valeur absolue par différentes approches et en déduire une étude qualitative.


Voir les réponses
5
On définit les fonctions gg et hh par g(x)=x2g ( x ) = x ^ { 2 } et h(x)=x.h ( x ) = \sqrt { x }.
a) Déterminer les ensembles de définition des fonctions gg et h.h .


b) On remarque que : g[h(3)]=g(3)=(3)2=3.g [ h ( 3 ) ] = g ( \sqrt { 3 } ) = ( \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } = 3. Écrire de façon simple l’expression de g[h(x)].g [ h ( x ) ]. Pour quelle valeur de xx cette expression existe-t-elle ?


c) Écrire l’expression de h[g(x)]h [ g ( x ) ] en précisant les valeurs de xx pour lequelles elle existe.

Voir les réponses
4
En utilisant le graphique ci-dessus :
a) dresser le tableau de variations de la fonction valeur absolue f ;f ;

Couleurs
Formes
Dessinez ici


b) donner l’extremum de ff sur R ;\mathbb { R } ;


c) dire si ff est paire ou impaire.

Remarque

5
La fonction xg[h(x)]x \mapsto g [ h ( x ) ] est appelée fonction composée de hh suivie de g,g , notée gh,g \circ h, soit (gh)(x)=g[h(x)]( g \circ h ) ( x ) = g [ h ( x ) ].
Voir les réponses


Bilan
Quelles sont les propriétés de la fonction valeur absolue ?

Remarque

2
On vient donc de déterminer l’expression de la fonction valeur absolue en fonction de xx sur les intervalles ];0] ] - \infty \: ; 0 ] et [0;+[.[ 0 \: ; + \infty [. On dit que la fonction valeur absolue est une fonction affine par morceaux.
Connectez-vous pour ajouter des favoris

Pour pouvoir ajouter ou retrouver des favoris, nous devons les lier à votre compte.Et c’est gratuit !

Se connecter

Livre du professeur

Pour pouvoir consulter le livre du professeur, vous devez être connecté avec un compte professeur et avoir validé votre adresse email académique.

Votre avis nous intéresse !
Recommanderiez-vous notre site web à un(e) collègue ?

Peu probable
Très probable

Cliquez sur le score que vous voulez donner.

Dites-nous qui vous êtes !

Pour assurer la meilleure qualité de service, nous avons besoin de vous connaître !
Cliquez sur l'un des choix ci-dessus qui vous correspond le mieux.

Nous envoyer un message




Nous contacter?