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Entrainement 2


Fonctions polynômes du second degré





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 39 ; 42 ; 46 ; 56 ; 63 ; 64 ; 78 ; 81 et 84
◉◉ Parcours 2 : exercices 40 ; 48 ; 59 ; 65 ; 67 ; 70 ; 72 ; 82 ; 87 et 91
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 60 ; 71 ; 75 ; 85 ; 86 et 88

51
ALGO
[Calculer.]
On considère un réel kk quelconque. On reprend l’algorithme de l’exercice 43, ci-dessous, afin d’obtenir les solutions éventuelles de l’équation x2=kx^2 = k avec kR.k \in \mathbb { R }.

Deˊfinir Solution (k) : Si k<0 alors : Retourner «  solution » Sinon Si ... alors : Retourner 0Sinon m...n...Retourner m et nFin SiFin Si \boxed{ \begin{array} { l } { \text {Définir Solution } (k) \text { : } } \\ \quad \text {Si } k \lt 0 \text { alors : } \\ \quad \quad\text{Retourner « … solution » } \\ \quad \text {Sinon } \\ \quad \quad \text {Si ... alors : } \\ \quad \quad \quad \text {Retourner } 0 \\ \quad \quad \text {Sinon } m \leftarrow \text {...} \\ \quad \quad \quad n \leftarrow \text {...} \\ \quad \quad \quad \text {Retourner } m \text { et } n\\ \quad \quad \text {Fin Si} \\ \quad \text {Fin Si} \\ \end{array} }


1. Recopier et compléter l’algorithme.

2. a. Programmer cet algorithme à l’aide de la calculatrice ou d’un ordinateur.
b. Tester l’algorithme avec : k=4,k = 4 , k=0k = 0 et k=3.k = -3 .




52
ALGO
[Calculer.]
On considère l’algorithme suivant, où xx désigne un réel.

yx2y3y+5x+1 \boxed{ \begin{array} { l } { y \leftarrow x^2} \\ y \leftarrow 3 y + 5 x + 1 \\ \end{array} }


1. Que contient la variable yy à la fin de l’exécution de l’algorithme lorsque la variable xx contient les valeurs suivantes avant l’exécution :
a. x=1?x = 1 \: ?

b. x=2?x = - 2 \: ?

c. x=13?x = \dfrac { 1 } { 3 } \: ?

2. Donner l’expression de la fonction ff qui, à tout nombre réel x,x , associe le nombre yy retourné en fin d’algorithme.

3. Quelle est la nature de cette fonction f?f \: ?

4. Recopier et compléter la traduction suivante de cet algorithme en langage Python.


def fonction_mystere(x):
	y = ...
  y = ...
  return y

53
[Calculer.]
On définit la fonction carré ff sur R\mathbb { R } par f(x)=x2.f(x) = x^2.
1. Développer et simplifier (57)2.( \sqrt { 5 } - 7 ) ^ { 2 }.

2. En déduire les antécédents du nombre réel (54145)( 54 - 14 \sqrt { 5 } ) par la fonction carré.

54
[Raisonner.]
On considère les fonctions ff et gg définies sur R\mathbb { R } par f(x)=x2f(x) = x^2 et g(x)=3x.g(x) = 3x. On note respectivement CfC_f et CgC_g les courbes représentatives des fonctions ff et gg dans un repère orthonormé.
1. a. Tracer, à l’aide d’une calculatrice ou de GeoGebra, les courbes CfC_f et Cg.C_g.
Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
b. Conjecturer alors les coordonnées des points d’intersection des courbes CfC_f et Cg.C_g.

2. Démontrer de manière algébrique la conjecture émise.

55
TABLEUR
[Représenter.]
Voici une feuille de calcul d’un tableur.

Fonctions polynômes du second degré - tableur - Fonctions de référence

1. Quelles formules sont à saisir pour respecter les notations de la ligne 1 dans les cellules B2, C2 et D2 ?

2. On définit la fonction ff sur [5;5][ - 5 \: ; 5 ] qui à xx associe y.y .
a. Déterminer l’expression de ff en fonction de x.x .

b. Quelle est la nature de cette fonction ?

56
[Calculer.] ◉◉
ff et gg sont des fonctions définies sur R\mathbb { R } par f(x)=(x3)2+2f ( x ) = ( x - 3 ) ^ { 2 } + 2 et g(x)=2(x1)2+8.g ( x ) = - 2 ( x - 1 ) ^ { 2 } + 8.
Déterminer les éventuels antécédents de 0,0, de 66 et de 88 par ff puis par g.g . On donnera les valeurs exactes.

57
[Raisonner.]
On considère les fonctions ff et gg définies sur R\mathbb { R } par f(x)=x2f ( x ) = x ^ { 2 } et g(x)=4x4.g ( x ) = 4 x - 4. On note respectivement CfC_f et CgC_g les courbes représentatives des fonctions ff et gg dans un repère orthonormé.
1. a. Tracer, à l’aide d’une calculatrice ou de GeoGebra, les courbes représentatives des fonctions ff et g.g.

Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
b. Conjecturer alors les coordonnées des éventuels points d’intersection des courbes CfC_f et Cg.C_g.

2. Démontrer de manière algébrique la conjecture émise.

58
[Raisonner.]
On considère les fonctions ff et gg définies sur R\mathbb { R } par f(x)=3x2xf ( x ) = 3 x ^ { 2 } - x et g(x)=23x.g ( x ) = \dfrac { 2 } { 3 } x. On note respectivement CfC_f et CgC_g les courbes représentatives des fonctions ff et gg dans un repère orthonormé.
1. a. Tracer, à l’aide d’une calculatrice ou de GeoGebra, les courbes représentatives des fonctions ff et g,g, notées respectivement CfC_f et Cg.C_g.

Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
b. Conjecturer alors les coordonnées des éventuels points d’intersection des courbes CfC_f et Cg.C_g.

2. Démontrer de manière algébrique la conjecture émise.

59
[Chercher.] ◉◉
ff est une fonction polynôme du second degré.
    On donne les informations suivantes :
  • Les antécédents de 00 par ff sont 2-2 et 3.3.
  • L’image de 44 par ff est 5.-5 .
Déterminer une expression de ff en fonction de x.x .

60
[Calculer.] ◉◉◉
ff est la fonction définie sur R\mathbb { R } par f(x)=5x2+2x7.f ( x ) = 5 x ^ { 2 } + 2 x - \sqrt { 7 }. On admet que l’équation f(x)=0f(x) = 0 a deux solutions, une positive λ\lambda et une négative μ.\mu. L’objectif est de trouver un encadrement d’amplitude 0,0010\text{,}001 de λ\lambda et μ.\mu. À l’aide d’une calculatrice :
1. a. Tracer la représentation graphique de f.f .

Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
b. Déterminer deux entiers consécutifs encadrants λ.\lambda.

2. a. Compléter le tableau de valeurs de ff avec un pas de 0,10\text{,}1 sur l’intervalle formé par les deux entiers de la question précédente.

 xx
 f(x)f(x)

b. En déduire un encadrement d’amplitude 0,10\text{,}1 de λ.\lambda.

c. Recommencer jusqu’à obtenir un encadrement d’amplitude 0,001.0\text{,}001.

3. Déterminer un encadrement d’amplitude 0,0010\text{,}001 de μ.\mu.

61
[Chercher.]
ff est la fonction définie sur R\mathbb { R } par f(x)=17x25x+3.f ( x ) = \dfrac { 1 } { 7 } x ^ { 2 } - \sqrt { 5 } x + 3.
On admet que l’équation f(x)=0f(x) = 0 admet deux solutions.
À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 10310 ^ { - 3 } près de chacune d’elles.

62
[Chercher.]
ff est une fonction polynôme du second degré. Sans essayer de trouver l’expression de f,f , compléter le tableau de valeurs suivant.

 xx -5 -1 2
 f(x)f(x) 66 18 4,56 3


 xx 4 4,6 7 11
 f(x)f(x) 3 4,56

63
[Chercher.] ◉◉
Voici la courbe représentative C,\text{C}, dans un repère orthogonal, d’une fonction polynôme du second degré ff définie sur R\mathbb { R } par les expressions suivantes :
  • f(x)=ax2+bx+cf ( x ) = a x ^ { 2 } + b x + c : forme développée ;
  • f(x)=a(xx1)(xx2)f ( x ) = a \left( x - x _ { 1 } \right) \left( x - x _ { 2 } \right) : forme factorisée ;
  • f(x)=a(xα)2+βf ( x ) = a ( x - \alpha ) ^ { 2 } + \beta : forme canonique.

Fonctions polynômes du second degré - Fonctions de référence

1. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.
a. Quel est le signe de a ?a ?

b. Donner les valeurs de c,c , x1,x _ { 1 } , x2,x _ { 2 } , α\alpha et β. \beta.

2. En déduire la valeur de a.a .
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