On sait depuis la classe de seconde que le nombre m est un nombre irrationnel pour certaines valeurs de m
strictement positives. C’est le cas par exemple de 2 ou 5.
La méthode de Héron permet de calculer une valeur approchée de m avec une précision assez élevée et en peu d’opérations.
Objectif
Trouver une approximation de 2 et de 5 à l’aide d’une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA
D’après le mathématicien Héron d’Alexandrie, déterminer m revient à tracer un carré d’aire égale à m.
Étudions le cas m=2.
Dans l’ensemble de cette méthode les points ont des coordonnées positives.
1. Lancer GeoGebra et placer les points O(0;0) et A1(m;0).
Tracer le rectangle OA1B1C1 d’aire m.
2.a. Placer A2 d’ordonnée 0 et d’abscisse 2xB1+yB1. b. Calculer la longueur A2B2 pour que le rectangle OA2B2C2 soit d’aire m. Quelles sont les coordonnées de B2?
3.a. Recommencer cette opération jusqu’à la construction de B4.
On commencera par calculer l’abscisse de A3:2xB2+yB2
b. Que remarque-t-on sur les coordonnées de Bk?
c. En déduire une valeur approchée de 2.
4.a. En utilisant cette méthode, déterminer une
valeur approchée de 5.
b. En déduire des approximations des solutions de −2(x+3)2+10=0.
GeoGebra
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON
Soit n un entier naturel non nul. On considère l’algorithme de Héron suivant.
Étape 1 : x0=m et x1=2x0+x0m
Étape 2 : x2=2x1+x1m
Étape 3 : x3=2x2+x2m
...
Étape n : xn=2xn−1+xn−1m
1. Compléter l’algorithme suivant afin d’obtenir l’affichage de xn pour n et m donnés.
Fonction Heron(m,n)X ←mPour k allant de ... aˋ ... X ←...Fin PourRetourner XFin Fonction
2.a. Expliquer les lignes de cet algorithme.
b. Modifier cet algorithme pour que l’ensemble des
valeurs xk pour k allant de 1 à n soient affichées.
3.a. Programmer cet algorithme avec Python et le
tester pour m=2 et n=4. b. Qu’observe-t-on sur les différentes valeurs affichées ?
c. En déduire une valeur approchée de 2.
4.a. En utilisant cet algorithme, déterminer une valeur approchée de 5.
b. En déduire des approximations des solutions de −2(x+3)2+10=0.
Python
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