Mathématiques 1re Spécialité
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Chapitre 2
TP / TICE 2
Approximation des racines par la méthode de Héron
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Énoncé
On sait depuis la classe de seconde que le nombre \sqrt { m } est un nombre irrationnel pour certaines valeurs de m
strictement positives. C'est le cas par exemple de \sqrt { 2 } ou \sqrt { 5 } .
La méthode de Héron permet de calculer une valeur approchée de \sqrt { m } avec une précision assez élevée et en peu d'opérations.
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Objectif
Trouver une approximation de \sqrt { 2 } et de \sqrt { 5 } à l'aide d'une des deux méthodes.
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Méthode 1GeoGebra
D'après le mathématicien Héron d'Alexandrie, déterminer \sqrt { m } revient à tracer un carré d'aire égale à m.
Étudions le cas m = 2 .
Dans l'ensemble de cette méthode les points ont des coordonnées positives.
1. Lancer GeoGebra et placer les points \text{O} ( 0 \: ; 0 ) et \mathrm { A } _ { 1 } ( m \: ; 0 ).
Tracer le rectangle \mathrm { O } \mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { B } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 } d'aire m.
2. a. Placer \text{A}_{2} d'ordonnée 0 et d'abscisse \dfrac { x _ { \mathrm { B } _ { 1 } } + y _ { \mathrm { B } _ { 1 } } } { 2 }.
b. Calculer la longueur \mathrm { A } _ { 2 } \mathrm { B } _ { 2 } pour que le rectangle \mathrm { OA } _ { 2 } \mathrm { B } _ { 2 } \mathrm { C } _ { 2 } soit d'aire m. Quelles sont les coordonnées de \text{B}_{2} \: ?
3. a. Recommencer cette opération jusqu'à la construction de \text{B}_{4}.
On commencera par calculer l'abscisse de \text{A}_{3} \: : \dfrac { x _ { \mathrm { B } _ { 2 } } + y _ { \mathrm { B } _ { 2 } } } { 2 }
b. Que remarque-t-on sur les coordonnées de \mathrm { B } _ { k } ?
c. En déduire une valeur approchée de \sqrt { 2 }.
2. a. Placer \text{A}_{2} d'ordonnée 0 et d'abscisse \dfrac { x _ { \mathrm { B } _ { 1 } } + y _ { \mathrm { B } _ { 1 } } } { 2 }.
b. Calculer la longueur \mathrm { A } _ { 2 } \mathrm { B } _ { 2 } pour que le rectangle \mathrm { OA } _ { 2 } \mathrm { B } _ { 2 } \mathrm { C } _ { 2 } soit d'aire m. Quelles sont les coordonnées de \text{B}_{2} \: ?
3. a. Recommencer cette opération jusqu'à la construction de \text{B}_{4}.
On commencera par calculer l'abscisse de \text{A}_{3} \: : \dfrac { x _ { \mathrm { B } _ { 2 } } + y _ { \mathrm { B } _ { 2 } } } { 2 }
b. Que remarque-t-on sur les coordonnées de \mathrm { B } _ { k } ?
c. En déduire une valeur approchée de \sqrt { 2 }.
4. a. En utilisant cette méthode, déterminer une
valeur approchée de \sqrt { 5 }.
b. En déduire des approximations des solutions de - 2 ( x + 3 ) ^ { 2 } + 10 = 0.
b. En déduire des approximations des solutions de - 2 ( x + 3 ) ^ { 2 } + 10 = 0.
GeoGebra
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Méthode 2Python
Soit n un entier naturel non nul. On considère l'algorithme de Héron suivant.
Étape 1 : x _ { 0 } = m et x _ { 1 } = \dfrac { x _ { 0 } + \dfrac { m } { x _ { 0 } } } { 2 }
Étape 2 : x _ { 2 } = \dfrac { x _ { 1 } + \dfrac { m } { x _ { 1 } } } { 2 }
Étape 3 : x _ { 3 } = \dfrac { x _ { 2 } + \dfrac { m } { x _ { 2 } } } { 2 }
...
Étape n : x _ { n } = \dfrac { x _ { n - 1 } + \dfrac { m } { x _ { n - 1 } } } { 2 }
Étape 2 : x _ { 2 } = \dfrac { x _ { 1 } + \dfrac { m } { x _ { 1 } } } { 2 }
Étape 3 : x _ { 3 } = \dfrac { x _ { 2 } + \dfrac { m } { x _ { 2 } } } { 2 }
...
Étape n : x _ { n } = \dfrac { x _ { n - 1 } + \dfrac { m } { x _ { n - 1 } } } { 2 }
1. Compléter l'algorithme suivant afin d'obtenir l'affichage de x_ { n } pour n et m donnés.
2. a. Expliquer les lignes de cet algorithme.
b. Modifier cet algorithme pour que l'ensemble des valeurs x_{k} pour k allant de 1 à n soient affichées.
3. a. Programmer cet algorithme avec Python et le tester pour m = 2 et n = 4 .
b. Qu'observe-t-on sur les différentes valeurs affichées ?
c. En déduire une valeur approchée de \sqrt { 2 }.
\boxed{
\begin{array} { l } \text {Fonction Heron}(m, n) \\
\quad \text {X } \leftarrow m \\
\quad \quad \text {Pour } k \text { allant de ... à ... } \\
\quad \quad \quad \text {X } \leftarrow \text {...} \\
\quad \quad \text {Fin Pour} \\
\quad \text {Retourner X} \\
\text {Fin Fonction}
\end{array}
}
2. a. Expliquer les lignes de cet algorithme.
b. Modifier cet algorithme pour que l'ensemble des valeurs x_{k} pour k allant de 1 à n soient affichées.
3. a. Programmer cet algorithme avec Python et le tester pour m = 2 et n = 4 .
c. En déduire une valeur approchée de \sqrt { 2 }.
4. a. En utilisant cet algorithme, déterminer une valeur approchée de \sqrt { 5 }.
b. En déduire des approximations des solutions de - 2 ( x + 3 ) ^ { 2 } + 10 = 0.
b. En déduire des approximations des solutions de - 2 ( x + 3 ) ^ { 2 } + 10 = 0.
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