Approximation des racines par la méthode de Héron

D’après le mathématicien Héron d’Alexandrie, déterminer $\sqrt{m}$ revient à tracer un carré d’aire égale à $m.$ Étudions le cas $m=2.$ Dans l’ensemble de cette méthode les points ont des coordonnées positives.

1. Lancer GeoGebra et placer les points $\text{O}(0;0)$ et ${\mathrm{A}}_1(m;0).$ Tracer le rectangle $\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$ d’aire $m.$

2. a. Placer ${\text{A}}_2$ d’ordonnée $0$ et d’abscisse $\frac{x_{{\mathrm{B}}_1}+y_{{\mathrm{B}}_1}}{2}.$
b. Calculer la longueur ${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2$ pour que le rectangle ${\mathrm{O}\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2$ soit d’aire $m.$ Quelles sont les coordonnées de ${\text{B}}_2?$

3. a. Recommencer cette opération jusqu’à la construction de ${\text{B}}_4.$
On commencera par calculer l’abscisse de ${\text{A}}_3:$ $\frac{x_{{\mathrm{B}}_2}+y_{{\mathrm{B}}_2}}{2}$

b. Que remarque-t-on sur les coordonnées de ${\mathrm{B}}_k?$

c. En déduire une valeur approchée de $\sqrt{2}.$

4. a. En utilisant cette méthode, déterminer une valeur approchée de $\sqrt{5}.$

b. En déduire des approximations des solutions de $-2(x+3{)}^2+10=0.$

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Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l’algorithme de Héron suivant.

Étape 1 : $x_0=m$ et $x_1=\frac{x_0+\frac{m}{x_0}}{2}$

Étape 2 : $x_2=\frac{x_1+\frac{m}{x_1}}{2}$

Étape 3 : $x_3=\frac{x_2+\frac{m}{x_2}}{2}$
...
Étape $n$ : $x_n=\frac{x_{n-1}+\frac{m}{x_{n-1}}}{2}$

1. Compléter l’algorithme suivant afin d’obtenir l’affichage de $x_n$ pour $n$ et $m$ donnés.

$\boxed{\begin{array}{l}\text{Fonction Heron}(m,n)\\ \text{X }\leftarrow m\\ \text{Pour }k\text{ allant de ... aˋ ... }\\ \text{X }\leftarrow \text{...}\\ \text{Fin Pour}\\ \text{Retourner X}\\ \text{Fin Fonction}\end{array}}$

2. a. Expliquer les lignes de cet algorithme.

b. Modifier cet algorithme pour que l’ensemble des valeurs $x_k$ pour $k$ allant de $1$ à $n$ soient affichées.

3. a. Programmer cet algorithme avec Python et le tester pour $m=2$ et $n=4.$
b. Qu’observe-t-on sur les différentes valeurs affichées ?

c. En déduire une valeur approchée de $\sqrt{2}.$

4. a. En utilisant cet algorithme, déterminer une valeur approchée de $\sqrt{5}.$

b. En déduire des approximations des solutions de $-2(x+3{)}^2+10=0.$