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Approximation des racines par la méthode de Héron
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TP / TICE 2


Approximation des racines par la méthode de Héron




Énoncé

On sait depuis la classe de seconde que le nombre m\sqrt { m } est un nombre irrationnel pour certaines valeurs de mm strictement positives. C’est le cas par exemple de 2\sqrt { 2 } ou 5.\sqrt { 5 } .
La méthode de Héron permet de calculer une valeur approchée de m\sqrt { m } avec une précision assez élevée et en peu d’opérations.

Objectif

Trouver une approximation de 2\sqrt { 2 } et de 5 \sqrt { 5 } à l’aide d’une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

D’après le mathématicien Héron d’Alexandrie, déterminer m\sqrt { m } revient à tracer un carré d’aire égale à m.m. Étudions le cas m=2.m = 2 . Dans l’ensemble de cette méthode les points ont des coordonnées positives.

1. Lancer GeoGebra et placer les points O(0;0)\text{O} ( 0 \: ; 0 ) et A1(m;0).\mathrm { A } _ { 1 } ( m \: ; 0 ). Tracer le rectangle OA1B1C1\mathrm { O } \mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { B } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 } d’aire m.m.

Approximation des racines par la méthode de Héron - TP/TICE - Fonctions de références


2. a. Placer A2\text{A}_{2} d’ordonnée 00 et d’abscisse xB1+yB12.\dfrac { x _ { \mathrm { B } _ { 1 } } + y _ { \mathrm { B } _ { 1 } } } { 2 }.
b. Calculer la longueur A2B2\mathrm { A } _ { 2 } \mathrm { B } _ { 2 } pour que le rectangle OA2B2C2\mathrm { OA } _ { 2 } \mathrm { B } _ { 2 } \mathrm { C } _ { 2 } soit d’aire m.m. Quelles sont les coordonnées de B2?\text{B}_{2} \: ?

3. a. Recommencer cette opération jusqu’à la construction de B4.\text{B}_{4}.
On commencera par calculer l’abscisse de A3:\text{A}_{3} \: : xB2+yB22\dfrac { x _ { \mathrm { B } _ { 2 } } + y _ { \mathrm { B } _ { 2 } } } { 2 }

b. Que remarque-t-on sur les coordonnées de Bk ?\mathrm { B } _ { k } ?

c. En déduire une valeur approchée de 2.\sqrt { 2 }.

4. a. En utilisant cette méthode, déterminer une valeur approchée de 5.\sqrt { 5 }.

b. En déduire des approximations des solutions de 2(x+3)2+10=0.- 2 ( x + 3 ) ^ { 2 } + 10 = 0.

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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

Soit nn un entier naturel non nul. On considère l’algorithme de Héron suivant.

Étape 1 : x0=mx _ { 0 } = m et x1=x0+mx02x _ { 1 } = \dfrac { x _ { 0 } + \dfrac { m } { x _ { 0 } } } { 2 }

Étape 2 : x2=x1+mx12x _ { 2 } = \dfrac { x _ { 1 } + \dfrac { m } { x _ { 1 } } } { 2 }

Étape 3 : x3=x2+mx22x _ { 3 } = \dfrac { x _ { 2 } + \dfrac { m } { x _ { 2 } } } { 2 }
...
Étape nn : xn=xn1+mxn12x _ { n } = \dfrac { x _ { n - 1 } + \dfrac { m } { x _ { n - 1 } } } { 2 }

1. Compléter l’algorithme suivant afin d’obtenir l’affichage de xn x_ { n } pour nn et mm donnés.

Fonction Heron(m,n)mPour k allant de ... aˋ ... ...Fin PourRetourner XFin Fonction \boxed{ \begin{array} { l } \text {Fonction Heron}(m, n) \\ \quad \text {X } \leftarrow m \\ \quad \quad \text {Pour } k \text { allant de ... à ... } \\ \quad \quad \quad \text {X } \leftarrow \text {...} \\ \quad \quad \text {Fin Pour} \\ \quad \text {Retourner X} \\ \text {Fin Fonction} \end{array} }


2. a. Expliquer les lignes de cet algorithme.

b. Modifier cet algorithme pour que l’ensemble des valeurs xkx_{k} pour kk allant de 11 à nn soient affichées.

3. a. Programmer cet algorithme avec Python et le tester pour m=2m = 2 et n=4.n = 4 .
b. Qu’observe-t-on sur les différentes valeurs affichées ?

c. En déduire une valeur approchée de 2.\sqrt { 2 }.

4. a. En utilisant cet algorithme, déterminer une valeur approchée de 5.\sqrt { 5 }.

b. En déduire des approximations des solutions de 2(x+3)2+10=0.- 2 ( x + 3 ) ^ { 2 } + 10 = 0.
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Python



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