D’après le mathématicien Héron d’Alexandrie, déterminer

\sqrt { m }

revient à tracer un carré d’aire égale à

m.

Étudions le cas

m = 2 .

Dans l’ensemble de cette méthode les points ont des coordonnées positives.

1. Lancer GeoGebra et placer les points

\text{O} ( 0 \: ; 0 )

\mathrm { A } _ { 1 } ( m \: ; 0 ).

Tracer le rectangle

\mathrm { O } \mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { B } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 }

d’aire

m.

2. a. Placer

\text{A}_{2}

d’ordonnée

0

et d’abscisse

\dfrac { x _ { \mathrm { B } _ { 1 } } + y _ { \mathrm { B } _ { 1 } } } { 2 }.

b. Calculer la longueur

\mathrm { A } _ { 2 } \mathrm { B } _ { 2 }

pour que le rectangle

\mathrm { OA } _ { 2 } \mathrm { B } _ { 2 } \mathrm { C } _ { 2 }

soit d’aire

m.

Quelles sont les coordonnées de

\text{B}_{2} \: ?

3. a. Recommencer cette opération jusqu’à la construction de

\text{B}_{4}.

On commencera par calculer l’abscisse de

\text{A}_{3} \: :

\dfrac { x _ { \mathrm { B } _ { 2 } } + y _ { \mathrm { B } _ { 2 } } } { 2 }

b. Que remarque-t-on sur les coordonnées de

\mathrm { B } _ { k } ?

c. En déduire une valeur approchée de

\sqrt { 2 }.

4. a. En utilisant cette méthode, déterminer une valeur approchée de

\sqrt { 5 }.

b. En déduire des approximations des solutions de

- 2 ( x + 3 ) ^ { 2 } + 10 = 0.