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Entrainement 1


Fonction valeur absolue





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 39 ; 42 ; 46 ; 56 ; 63 ; 64 ; 78 ; 81 et 84
◉◉ Parcours 2 : exercices 40 ; 48 ; 59 ; 65 ; 67 ; 70 ; 72 ; 82 ; 87 et 91
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 60 ; 71 ; 75 ; 85 ; 86 et 88

39
[Calculer.] ◉◉
Sans utiliser la calculatrice, exprimer les nombres suivants sans le symbole valeur absolue.

1. 35| 3 - 5 |



2. 237\left| 2 - \dfrac { 3 } { 7 } \right|



3. π1| \pi - 1 |



4. 423| 4 - \sqrt { 23 } |



5. 1252\left| \dfrac { 1 - \sqrt { 2 } } { \sqrt { 5 } - 2 } \right|


40
[Raisonner.] ◉◉
ff est la fonction définie sur R\mathbb { R } par f(x)=53x.f ( x ) = 5 - 3 | x |.
1. Étudier la parité de f.f .

2. En déduire une interprétation graphique.

41
[Raisonner.]
Dans chaque cas, préciser en justifiant si l’affirmation est vraie ou fausse. Dans le cas où l’affirmation est fausse, la rectifier pour qu’elle soit vraie.
1. L’image de 63\sqrt { 6 } - 3 par la fonction valeur absolue est 36.3 - \sqrt { 6 }.

2. L’image de 55 par la fonction valeur absolue est 5.-5 .

3. Si x<3,| x | \lt 3 , alors x]3;3[.x \in ] - 3 \: ; 3 [.

4. Pour tout réel x,x , on a : x2=x.\sqrt { x ^ { 2 } } = x.

42
[Calculer.] ◉◉
Résoudre les inéquations suivantes.
1. x<2| x | \lt 2

2. 3x4 3 \leqslant | x | \leqslant 4

3. x35| x - 3 | \leqslant 5

4. x+4>5| x + 4 | > 5

43
ALGO
[Calculer.]
On considère un réel kk quelconque. Voici un algorithme incomplet permettant d’obtenir les solutions éventuelles de l’équation x=k:| x | = k :

Deˊfinir Solution (k) : Si k<0 alors : Retourner «  solution » Sinon Si ... alors : Retourner 0Sinon m...n...Retourner m et nFin SiFin Si \boxed{ \begin{array} { l } { \text {Définir Solution } (k) \text { : } } \\ \quad \text {Si } k \lt 0 \text { alors : } \\ \quad \quad\text{Retourner « … solution » } \\ \quad \text {Sinon } \\ \quad \quad \text {Si ... alors : } \\ \quad \quad \quad \text {Retourner } 0 \\ \quad \quad \text {Sinon } m \leftarrow \text {...} \\ \quad \quad \quad n \leftarrow \text {...} \\ \quad \quad \quad \text {Retourner } m \text { et } n\\ \quad \quad \text {Fin Si} \\ \quad \text {Fin Si} \\ \end{array} }


1. Recopier et compléter l’algorithme.

2. a. Programmer cet algorithme à l’aide de la calculatrice ou d’un ordinateur.
b. Tester l’algorithme avec : k=4,k = 4 , k=0k = 0 et k=3.k = -3 .




44
DÉMO
[Raisonner.]
Soit a0.a \geqslant 0. On se propose de trouver une condition nécessaire et suffisante sur le réel xx pour que xa(I).| x | \leqslant a \:\: ( \mathrm { I } ).
1. Résoudre l’inéquation (I)( \mathrm { I } ) sur [0;+[.[ 0 \: ; + \infty [.

2. Résoudre l’inéquation (I)( \mathrm { I } ) sur ];0].] - \infty \: ; 0 ].

3. Conclure.

45
[Représenter.]
1. À partir de la représentation de la fonction valeur absolue faite à la calculatrice, résoudre :

Représentation de la fonction valeur absolue faite à la calculatrice

a. x=2| x | = 2

b. x<2| x | \lt 2

c.x>2| x | \gt 2

2. En déduire alors la résolution de l’inéquation x+42.| x + 4 | \geqslant 2.

46
[Raisonner.] ◉◉
xx est un réel tel que 2<x5.2 \lt x \leqslant 5. Déterminer un encadrement des expressions suivantes.
1. x| x |

2. 3x 3 | x |

3. x1| x | - 1

4. 4x+2 4 | x |+2

5. 15x1-5 | x |

6. 4x24-| x -2|

47
[Raisonner.]
Reprendre l’exercice précédent pour xx vérifiant les conditions suivantes.
1. 4x3- 4 \leqslant x \leqslant - 3

2. 5<x3- 5 \lt x \leqslant 3

48
[Calculer.] ◉◉
Dans chaque cas, donner un encadrement de x.| x |. On pourra éventuellement se référer à la courbe représentative de la fonction valeur absolue.
1. 3x<2- 3 \leqslant x \lt - 2

2. 5x75 \leqslant x \leqslant 7

3. π<x<2π- \pi \lt x \lt 2 \pi

4. 3<x2- 3 \lt x \leqslant 2

49
DÉMO
[Raisonner.]
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb { R } par f(x)=x2.f ( x ) = \sqrt { x ^ { 2 } }.
1. Justifier que ff est définie sur Df=R.\mathcal { D } _ { f } = \mathbb { R }.

2. Déterminer l’image par ff de quatre nombres réels appartenant à l’intervalle [10 ;10][ - 10 ; 10 ] en prenant soin de ne pas choisir que des nombres de même signe.

3. Que peut-on conjecturer ? Démontrer cette conjecture.

50
[Raisonner.]
Le but de l’exercice est d’établir un lien entre x×y| x | \times | y | et xy,| x y |, pour tous réels xx et y.y.
1. a. Choisir deux réels xx et yy quelconques.

b. Calculer x×y| x | \times | y | et xy.| x y |.

c. Reproduire l’opération plusieurs fois pour établir une conjecture.

2. xx et yy sont maintenant des réels quelconques. Montrer la conjecture dans les quatre cas suivants.
a. x=0x = 0 ou y=0y = 0

b. x<0x \lt 0 et y<0y \lt 0

c. x<0x \lt 0 et y>0y \gt 0

d. x>0x \gt 0 et y>0y \gt 0

3. Conclure.
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