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COURS 2


2
Fonctions polynômes du second degré




Le plan est muni d’un repère orthonormé.

A
Définition et courbe représentative


Définitions

Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur R\mathbb{R} dont une expression est de la forme ax2+bx+c,ax^2 + bx + c ,a,a, bb et cc sont des réels tels que a0.a \neq 0. Sa courbe représentative P\mathcal { P } est appelée parabole.


a>0a \gt 0

Fonctions polynômes du second degré - Définition et courbe représentative - Fonctions de référence


a<0a \lt 0

Fonctions polynômes du second degré - Définition et courbe représentative - Fonctions de référence

Remarque

La fonction carré est une fonction polynôme du second degré avec a=1a = 1 et b=c=0.b = c = 0 .

Remarque

On impose seulement a0 ;a \neq 0 ; il est possible d’avoir b=0b = 0 ainsi que c=0.c = 0 .
Exemples : g(x)=5x2+2xg ( x ) = 5 x ^ { 2 } + 2 x ( a=5a = 5 , b=2,b = 2 , c=0c = 0 ) ;
h(x)=7x22h ( x ) = 7 x ^ { 2 } - \sqrt { 2 }
( a=7,a = 7 , b=0,b = 0, c=2c = - \sqrt { 2 } ).

Définition

Le point « le plus haut » ( a<0a \lt 0 ) ou « le plus bas » ( a>0a \gt 0 ) est appelé sommet de la parabole P.\mathcal { P }.

Remarque

Le sommet peut aussi être défini comme le point d’intersection entre la parabole et son axe de symétrie.

Propriété

cc est l’ordonnée du point de P\mathcal { P } qui a pour abscisse 0 ;0 ; autrement dit, c’est l’ordonnée du point d’intersection de P\mathcal { P } et de l’axe des ordonnées.


Fonctions polynômes du second degré - Définition et courbe représentative - Fonctions de référence

DÉMONSTRATION

On a : f(0)=a×02+b×0+c=a×0+b×0+c=0+0+c=c.f ( 0 ) = a \times 0 ^ { 2 } + b \times 0 + c = a \times 0 + b \times 0 + c = 0 + 0 + c = c.
Ainsi, c est bien l’ordonnée du point de P\mathcal { P } qui a pour abscisse 0.0.

Exemples

La fonction définie sur R\mathbb { R } par f(x)=3x2+5x12f ( x ) = - 3 x ^ { 2 } + 5 x - \dfrac { 1 } { 2 } est une fonction polynôme du second degré avec a=3,a = - 3 , b=5b = 5 et c=12.c = - \dfrac { 1 } { 2 }.
La fonction \ell définie par (x)=2x2x\ell ( x ) = 2 x ^ { 2 } - \sqrt { x } n’est pas une fonction polynôme du second degré.

Application et méthode

Énoncé

Voici la représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+c.f(x) = ax^2 + bx + c.
Déterminer l’expression de f.f .


Fonctions polynômes du second degré - Définition et courbe représentative - Fonctions de référence

Méthode

  • Déterminer le type de fonction à l’aide de la nature de la courbe (ici parabole) ou de l’énoncé.
  • Par lecture graphique, déterminer les coordonnées de trois points de la courbe.
  • Écrire le système correspondant et le résoudre.

SOLUTION

A(0 ;1)\text{A}(0 ; 1) permet de déterminer la valeur de c,c , soit c=1.c = 1 .
B(1 ;5)\text{B}(1 ; 5) permet d’écrire f(1)=5,f(1) = 5 , soit a+b+1=5.a + b + 1 = 5 .
C(2 ;3)\text{C}(2 ; 3) permet d’écrire f(2)=3,f(2) = 3 , soit 4a+2b+1=3.4a + 2b + 1 = 3 .

On résout le système {a+b+1=54a+2b+1=3,\left\{ \begin{array} { r } { a + b + 1 = 5 } \\ { 4 a + 2 b + 1 = 3 } \end{array} \right., soit a=3,a = -3 , b=7 b = 7 et c=1.c = 1 .

ff a donc pour expression f(x)=3x2+7x+1.f(x) = -3x^2 + 7x + 1 .

Pour s'entraîner : exercices 27 et 28 p. 59

B
Différentes expressions


Propriétés

1. Toute fonction polynôme du second degré admet une expression dite forme canonique. Il existe deux réels α\alpha et β\beta tels que, pour tout réel x,x, f(x)=a(xα)2+β.f ( x ) = a ( x - \alpha ) ^ { 2 } + \beta.
2. Le sommet S\text{S} de la parabole P\mathcal { P } a pour coordonnées S(α ;β).\text{S}(\alpha ; \beta).
3. La parabole P\mathcal { P } admet pour axe de symétrie la droite d’équation x=α.x = \alpha .
4. La fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=a(xx1)(xx2)f ( x ) = a \left( x - x _ { 1 } \right) \left( x - x _ { 2 } \right) est une fonction polynôme du second degré ; avec a,a, x1x_1 et x2x_2 des réels tels que a0.a \neq 0. Cette expression est appelée forme factorisée.

Remarque

Lorsque x1=x2, x_1 = x_2 , on obtient une forme factorisée de la forme f(x)=a(xx1)2.f ( x ) = a \left( x - x _ { 1 } \right) ^ { 2 }. Dans ce cas, la forme factorisée est aussi la forme canonique.

DÉMONSTRATION

1. Démonstration faite dans le cours du p. 74.
2. Démonstration faite dans la du cours, p. 52.
3. Soit hh un réel quelconque. On considère deux points M\text{M} et M\text{M} ^ { \prime } de P\mathcal { P } d’abscisses respectives αh\alpha - h et α+h.\alpha + h.
D’une part, f(αh)=a(αhα)2+βf ( \alpha - h ) = a ( \alpha - h - \alpha ) ^ { 2 } + \beta
=a(h)2+β= a ( - h ) ^ { 2 } + \beta
=ah2+β.= a h ^ { 2 } + \beta.
D’autre part, f(α+h)=a(α+hα)2+βf ( \alpha + h ) = a ( \alpha + h - \alpha ) ^ { 2 } + \beta
=ah2+β.= a h ^ { 2 } + \beta.
Puisque f(αh)=f(α+h),f ( \alpha - h ) = f ( \alpha + h ), les points M\text{M} et M\text{M} ^ { \prime } ont la même ordonnée et la droite d’équation x=αx = \alpha est bien un axe de symétrie pour P.\mathcal { P }.

Fonctions polynômes du second degré - Différentes expressions - Fonctions de référence

4. Pour tout réel x,x , on a :
a(xx1)(xx2)=a(x2x1xx2x+x1x2)a \left( x - x _ { 1 } \right) \left( x - x _ { 2 } \right) = a \left( x ^ { 2 } - x _ { 1 } x - x _ { 2 } x + x _ { 1 } x _ { 2 } \right)
=a[x2(x1+x2)x+x1x2]= a \left[ x ^ { 2 } - \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } \right) x + x _ { 1 } x _ { 2 } \right]
=ax2a(x1+x2)x+ax1x2= a x ^ { 2 } - a \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } \right) x + a x _ { 1 } x _ { 2 }
=ax2+bx+c= a x ^ { 2 } + b x + c avec :
a0,a \neq 0,
b=a(x1+x2),b = - a \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } \right),
c=ax1x2.c = a x _ { 1 } x _ { 2 }.
ff est bien une fonction polynôme du second degré.

Remarque

P\mathcal { P } n’admet pas de point d’intersection avec l’axe des abscisses si et seulement si l’équation f(x)=0f(x) = 0 n’admet pas de solution. Dans ce cas, ff n’admet pas de forme factorisée.

Exemple

ff est la fonction polynôme définie sur R\mathbb { R } par f(x)=2(x+1)2+3.f ( x ) = - 2 ( x + 1 ) ^ { 2 } + 3. Le point S(1;3)\mathrm { S } ( - 1 \: ; 3 ) est le sommet de la parabole Cf.C _ { f }.
CfC _ { f } a pour axe de symétrie la droite d’équation x=1.x = -1 .

Application et méthode

Énoncé

Voici la représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré ff définie sur R.\mathbb { R }.
Sans résoudre de système, déterminer une expression de f.f .

Fonctions polynômes du second degré - Différentes expressions - Fonctions de référence

Méthode

  • Choisir l’expression de ff selon les critères suivants. Si on connaît les coordonnées :
    • du sommet et d’un point de la courbe quelconque : forme canonique ;
    • des points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses et d’un autre point : forme factorisée ;
    • du point d’intersection de la courbe avec l’axe des ordonnées et de deux autres points : forme développée.
  • Écrire et résoudre l’équation ou le système d’équations.

SOLUTION

Cas 1. On connaît les points S(1;8)\mathrm { S } ( - 1 \: ; - 8 ) et A(0;6):\mathrm { A } ( 0 \: ; - 6 ) \: : on utilise la forme canonique.
Donc α=1\alpha = - 1 et β=8. \beta = - 8.
ff a pour expression f(x)=a(x+1)28.f(x) = a(x + 1)^2 - 8 .

Cas 2. On connaît les points D(3;0)\mathrm { D } ( - 3 \: ; 0 ) et C(1;0): \mathrm { C } ( 1 \: ; 0 ) \: : on utilise la forme factorisée.
Donc x1=3x _ { 1 } = - 3 et x2=1.x _ { 2 } = 1.
ff a pour expression f(x)=a(x+3)(x1). f(x) = a(x + 3)(x - 1).
Pour finir, on utilise f(0)=6f(0) = -6 pour déterminer a=2.a = 2 .

Pour s'entraîner : exercice 63 p .62
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