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COURS 2


2
Fonctions polynômes du second degré




Le plan est muni d’un repère orthonormé.

A
Définition et courbe représentative



a<0a \lt 0

Fonctions polynômes du second degré - Définition et courbe représentative - Fonctions de référence

Exemples

La fonction définie sur R\mathbb { R } par f(x)=3x2+5x12f ( x ) = - 3 x ^ { 2 } + 5 x - \dfrac { 1 } { 2 } est une fonction polynôme du second degré avec a=3,a = - 3 , b=5b = 5 et c=12.c = - \dfrac { 1 } { 2 }.
La fonction \ell définie par (x)=2x2x\ell ( x ) = 2 x ^ { 2 } - \sqrt { x } n’est pas une fonction polynôme du second degré.

Remarque

La fonction carré est une fonction polynôme du second degré avec a=1a = 1 et b=c=0.b = c = 0 .


a>0a \gt 0

Fonctions polynômes du second degré - Définition et courbe représentative - Fonctions de référence

Remarque

On impose seulement a0 ;a \neq 0 ; il est possible d’avoir b=0b = 0 ainsi que c=0.c = 0 .
Exemples : g(x)=5x2+2xg ( x ) = 5 x ^ { 2 } + 2 x ( a=5a = 5 , b=2,b = 2 , c=0c = 0 ) ;
h(x)=7x22h ( x ) = 7 x ^ { 2 } - \sqrt { 2 }
( a=7,a = 7 , b=0,b = 0, c=2c = - \sqrt { 2 } ).

DÉMONSTRATION

On a : f(0)=a×02+b×0+c=a×0+b×0+c=0+0+c=c.f ( 0 ) = a \times 0 ^ { 2 } + b \times 0 + c = a \times 0 + b \times 0 + c = 0 + 0 + c = c.
Ainsi, c est bien l’ordonnée du point de P\mathcal { P } qui a pour abscisse 0.0.


Fonctions polynômes du second degré - Définition et courbe représentative - Fonctions de référence

Définition

Le point « le plus haut » ( a<0a \lt 0 ) ou « le plus bas » ( a>0a \gt 0 ) est appelé sommet de la parabole P.\mathcal { P }.

Définitions

Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur R\mathbb{R} dont une expression est de la forme ax2+bx+c,ax^2 + bx + c ,a,a, bb et cc sont des réels tels que a0.a \neq 0. Sa courbe représentative P\mathcal { P } est appelée parabole.

Propriété

cc est l’ordonnée du point de P\mathcal { P } qui a pour abscisse 0 ;0 ; autrement dit, c’est l’ordonnée du point d’intersection de P\mathcal { P } et de l’axe des ordonnées.

Remarque

Le sommet peut aussi être défini comme le point d’intersection entre la parabole et son axe de symétrie.

Application et méthode


SOLUTION

A(0 ;1)\text{A}(0 ; 1) permet de déterminer la valeur de c,c , soit c=1.c = 1 .
B(1 ;5)\text{B}(1 ; 5) permet d’écrire f(1)=5,f(1) = 5 , soit a+b+1=5.a + b + 1 = 5 .
C(2 ;3)\text{C}(2 ; 3) permet d’écrire f(2)=3,f(2) = 3 , soit 4a+2b+1=3.4a + 2b + 1 = 3 .

On résout le système {a+b+1=54a+2b+1=3,\left\{ \begin{array} { r } { a + b + 1 = 5 } \\ { 4 a + 2 b + 1 = 3 } \end{array} \right., soit a=3,a = -3 , b=7 b = 7 et c=1.c = 1 .

ff a donc pour expression f(x)=3x2+7x+1.f(x) = -3x^2 + 7x + 1 .

Pour s'entraîner : exercices 27 et 28 p. 59

Énoncé

Voici la représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+c.f(x) = ax^2 + bx + c.
Déterminer l’expression de f.f .

Méthode

  • Déterminer le type de fonction à l’aide de la nature de la courbe (ici parabole) ou de l’énoncé.
  • Par lecture graphique, déterminer les coordonnées de trois points de la courbe.
  • Écrire le système correspondant et le résoudre.


Fonctions polynômes du second degré - Définition et courbe représentative - Fonctions de référence

Application et méthode


Fonctions polynômes du second degré - Différentes expressions - Fonctions de référence

Méthode

  • Choisir l’expression de ff selon les critères suivants. Si on connaît les coordonnées :
    • du sommet et d’un point de la courbe quelconque : forme canonique ;
    • des points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses et d’un autre point : forme factorisée ;
    • du point d’intersection de la courbe avec l’axe des ordonnées et de deux autres points : forme développée.
  • Écrire et résoudre l’équation ou le système d’équations.

SOLUTION

Cas 1. On connaît les points S(1;8)\mathrm { S } ( - 1 \: ; - 8 ) et A(0;6):\mathrm { A } ( 0 \: ; - 6 ) \: : on utilise la forme canonique.
Donc α=1\alpha = - 1 et β=8. \beta = - 8.
ff a pour expression f(x)=a(x+1)28.f(x) = a(x + 1)^2 - 8 .

Cas 2. On connaît les points D(3;0)\mathrm { D } ( - 3 \: ; 0 ) et C(1;0): \mathrm { C } ( 1 \: ; 0 ) \: : on utilise la forme factorisée.
Donc x1=3x _ { 1 } = - 3 et x2=1.x _ { 2 } = 1.
ff a pour expression f(x)=a(x+3)(x1). f(x) = a(x + 3)(x - 1).
Pour finir, on utilise f(0)=6f(0) = -6 pour déterminer a=2.a = 2 .

Pour s'entraîner : exercice 63 p .62

Énoncé

Voici la représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré ff définie sur R.\mathbb { R }.
Sans résoudre de système, déterminer une expression de f.f .

B
Différentes expressions


Propriétés

1. Toute fonction polynôme du second degré admet une expression dite forme canonique. Il existe deux réels α\alpha et β\beta tels que, pour tout réel x,x, f(x)=a(xα)2+β.f ( x ) = a ( x - \alpha ) ^ { 2 } + \beta.
2. Le sommet S\text{S} de la parabole P\mathcal { P } a pour coordonnées S(α ;β).\text{S}(\alpha ; \beta).
3. La parabole P\mathcal { P } admet pour axe de symétrie la droite d’équation x=α.x = \alpha .
4. La fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=a(xx1)(xx2)f ( x ) = a \left( x - x _ { 1 } \right) \left( x - x _ { 2 } \right) est une fonction polynôme du second degré ; avec a,a, x1x_1 et x2x_2 des réels tels que a0.a \neq 0. Cette expression est appelée forme factorisée.

Exemple

ff est la fonction polynôme définie sur R\mathbb { R } par f(x)=2(x+1)2+3.f ( x ) = - 2 ( x + 1 ) ^ { 2 } + 3. Le point S(1;3)\mathrm { S } ( - 1 \: ; 3 ) est le sommet de la parabole Cf.C _ { f }.
CfC _ { f } a pour axe de symétrie la droite d’équation x=1.x = -1 .

DÉMONSTRATION

1. Démonstration faite dans le cours du p. 74.
2. Démonstration faite dans la du cours, p. 52.
3. Soit hh un réel quelconque. On considère deux points M\text{M} et M\text{M} ^ { \prime } de P\mathcal { P } d’abscisses respectives αh\alpha - h et α+h.\alpha + h.
D’une part, f(αh)=a(αhα)2+βf ( \alpha - h ) = a ( \alpha - h - \alpha ) ^ { 2 } + \beta
=a(h)2+β= a ( - h ) ^ { 2 } + \beta
=ah2+β.= a h ^ { 2 } + \beta.
D’autre part, f(α+h)=a(α+hα)2+βf ( \alpha + h ) = a ( \alpha + h - \alpha ) ^ { 2 } + \beta
=ah2+β.= a h ^ { 2 } + \beta.
Puisque f(αh)=f(α+h),f ( \alpha - h ) = f ( \alpha + h ), les points M\text{M} et M\text{M} ^ { \prime } ont la même ordonnée et la droite d’équation x=αx = \alpha est bien un axe de symétrie pour P.\mathcal { P }.

Fonctions polynômes du second degré - Différentes expressions - Fonctions de référence

4. Pour tout réel x,x , on a :
a(xx1)(xx2)=a(x2x1xx2x+x1x2)a \left( x - x _ { 1 } \right) \left( x - x _ { 2 } \right) = a \left( x ^ { 2 } - x _ { 1 } x - x _ { 2 } x + x _ { 1 } x _ { 2 } \right)
=a[x2(x1+x2)x+x1x2]= a \left[ x ^ { 2 } - \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } \right) x + x _ { 1 } x _ { 2 } \right]
=ax2a(x1+x2)x+ax1x2= a x ^ { 2 } - a \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } \right) x + a x _ { 1 } x _ { 2 }
=ax2+bx+c= a x ^ { 2 } + b x + c avec :
a0,a \neq 0,
b=a(x1+x2),b = - a \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } \right),
c=ax1x2.c = a x _ { 1 } x _ { 2 }.
ff est bien une fonction polynôme du second degré.

Remarque

Lorsque x1=x2, x_1 = x_2 , on obtient une forme factorisée de la forme f(x)=a(xx1)2.f ( x ) = a \left( x - x _ { 1 } \right) ^ { 2 }. Dans ce cas, la forme factorisée est aussi la forme canonique.

Remarque

P\mathcal { P } n’admet pas de point d’intersection avec l’axe des abscisses si et seulement si l’équation f(x)=0f(x) = 0 n’admet pas de solution. Dans ce cas, ff n’admet pas de forme factorisée.
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