Chapitre 2
Cours 2
Fonctions polynômes du second degré
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Le plan est muni d'un repère orthonormé.
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ADéfinition et courbe représentative
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Définition
Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur \mathbb{R} dont une
expression est de la forme ax^2 + bx + c , où a, b et c sont des réels tels que
a \neq 0. Sa courbe représentative \mathcal { P } est appelée parabole.
a \gt 0
a \lt 0
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La fonction carré est une fonction polynôme du second degré avec a = 1 et b = c = 0 .
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On impose seulement a \neq 0 ; il est possible d'avoir b = 0 ainsi que c = 0 .
Exemples : g ( x ) = 5 x ^ { 2 } + 2 x ( a = 5 , b = 2 , c = 0 ) ;
h ( x ) = 7 x ^ { 2 } - \sqrt { 2 }
( a = 7 , b = 0, c = - \sqrt { 2 } ).
Exemples : g ( x ) = 5 x ^ { 2 } + 2 x ( a = 5 , b = 2 , c = 0 ) ;
h ( x ) = 7 x ^ { 2 } - \sqrt { 2 }
( a = 7 , b = 0, c = - \sqrt { 2 } ).
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Définition
Le point « le plus haut » ( a \lt 0 ) ou « le plus bas » ( a \gt 0 ) est appelé sommet de la parabole \mathcal { P }.
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Le sommet peut aussi être défini comme le point d'intersection entre la parabole et son axe de symétrie.
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Propriété
c est l'ordonnée du point de \mathcal { P } qui a pour abscisse 0 ; autrement dit, c'est l'ordonnée du point d'intersection de \mathcal { P } et de l'axe des ordonnées.
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Démonstration
On a : f ( 0 ) = a \times 0 ^ { 2 } + b \times 0 + c = a \times 0 + b \times 0 + c = 0 + 0 + c = c.
Ainsi, c est bien l'ordonnée du point de \mathcal { P } qui a pour abscisse 0.
Ainsi, c est bien l'ordonnée du point de \mathcal { P } qui a pour abscisse 0.
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Exemple
La fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = - 3 x ^ { 2 } + 5 x - \dfrac { 1 } { 2 } est une fonction polynôme du second degré avec a = - 3 , b = 5 et c = - \dfrac { 1 } { 2 }.
La fonction \ell définie par \ell ( x ) = 2 x ^ { 2 } - \sqrt { x } n'est pas une fonction polynôme du second degré.
La fonction \ell définie par \ell ( x ) = 2 x ^ { 2 } - \sqrt { x } n'est pas une fonction polynôme du second degré.
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Application et méthode
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Énoncé
Voici la représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré f définie sur \mathbb{R} par f(x) = ax^2 + bx + c.
Déterminer l'expression de f .
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- Déterminer le type de fonction à l'aide de la nature de la courbe (ici parabole) ou de l'énoncé.
- Par lecture graphique, déterminer les coordonnées de trois points de la courbe.
- Écrire le système correspondant et le résoudre.
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Solution
\text{A}(0 ; 1) permet de déterminer la valeur de c , soit c = 1 .
\text{B}(1 ; 5) permet d'écrire f(1) = 5 , soit a + b + 1 = 5 .
\text{C}(2 ; 3) permet d'écrire f(2) = 3 , soit 4a + 2b + 1 = 3 .
On résout le système \left\{ \begin{array} { r } { a + b + 1 = 5 } \\ { 4 a + 2 b + 1 = 3 } \end{array} \right., soit a = -3 , b = 7 et c = 1 .
f a donc pour expression f(x) = -3x^2 + 7x + 1 .
\text{B}(1 ; 5) permet d'écrire f(1) = 5 , soit a + b + 1 = 5 .
\text{C}(2 ; 3) permet d'écrire f(2) = 3 , soit 4a + 2b + 1 = 3 .
On résout le système \left\{ \begin{array} { r } { a + b + 1 = 5 } \\ { 4 a + 2 b + 1 = 3 } \end{array} \right., soit a = -3 , b = 7 et c = 1 .
f a donc pour expression f(x) = -3x^2 + 7x + 1 .
Pour s'entraîner
Exercices et p. 59
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BDifférentes expressions
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Propriété
1. Toute fonction polynôme du second degré admet une expression dite forme canonique. Il existe deux réels \alpha et \beta tels que, pour tout réel x, f ( x ) = a ( x - \alpha ) ^ { 2 } + \beta.
2. Le sommet \text{S} de la parabole \mathcal { P } a pour coordonnées \text{S}(\alpha ; \beta).
3. La parabole \mathcal { P } admet pour axe de symétrie la droite d'équation x = \alpha .
4. La fonction f définie sur \mathbb{R} par f ( x ) = a \left( x - x _ { 1 } \right) \left( x - x _ { 2 } \right) est une fonction polynôme du second degré ; avec a, x_1 et x_2 des réels tels que a \neq 0. Cette expression est appelée forme factorisée.
2. Le sommet \text{S} de la parabole \mathcal { P } a pour coordonnées \text{S}(\alpha ; \beta).
3. La parabole \mathcal { P } admet pour axe de symétrie la droite d'équation x = \alpha .
4. La fonction f définie sur \mathbb{R} par f ( x ) = a \left( x - x _ { 1 } \right) \left( x - x _ { 2 } \right) est une fonction polynôme du second degré ; avec a, x_1 et x_2 des réels tels que a \neq 0. Cette expression est appelée forme factorisée.
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Lorsque x_1 = x_2 , on obtient une forme factorisée de la forme
f ( x ) = a \left( x - x _ { 1 } \right) ^ { 2 }. Dans ce cas, la forme factorisée est aussi la forme canonique.
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Démonstration
1. Démonstration faite dans le cours du p. 74.
2. Démonstration faite dans la du cours, p. 52.
3. Soit h un réel quelconque. On considère deux points \text{M} et \text{M} ^ { \prime } de \mathcal { P } d'abscisses respectives \alpha - h et \alpha + h.
D'une part, f ( \alpha - h ) = a ( \alpha - h - \alpha ) ^ { 2 } + \beta
= a ( - h ) ^ { 2 } + \beta
= a h ^ { 2 } + \beta.
D'autre part, f ( \alpha + h ) = a ( \alpha + h - \alpha ) ^ { 2 } + \beta
= a h ^ { 2 } + \beta.
Puisque f ( \alpha - h ) = f ( \alpha + h ), les points \text{M} et \text{M} ^ { \prime } ont la même ordonnée et la droite d'équation x = \alpha est bien un axe de symétrie pour \mathcal { P }.
4. Pour tout réel x , on a :
a \left( x - x _ { 1 } \right) \left( x - x _ { 2 } \right) = a \left( x ^ { 2 } - x _ { 1 } x - x _ { 2 } x + x _ { 1 } x _ { 2 } \right)
= a \left[ x ^ { 2 } - \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } \right) x + x _ { 1 } x _ { 2 } \right]
= a x ^ { 2 } - a \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } \right) x + a x _ { 1 } x _ { 2 }
= a x ^ { 2 } + b x + c avec :
a \neq 0,
b = - a \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } \right),
c = a x _ { 1 } x _ { 2 }.
f est bien une fonction polynôme du second degré.
2. Démonstration faite dans la du cours, p. 52.
3. Soit h un réel quelconque. On considère deux points \text{M} et \text{M} ^ { \prime } de \mathcal { P } d'abscisses respectives \alpha - h et \alpha + h.
D'une part, f ( \alpha - h ) = a ( \alpha - h - \alpha ) ^ { 2 } + \beta
= a ( - h ) ^ { 2 } + \beta
= a h ^ { 2 } + \beta.
D'autre part, f ( \alpha + h ) = a ( \alpha + h - \alpha ) ^ { 2 } + \beta
= a h ^ { 2 } + \beta.
Puisque f ( \alpha - h ) = f ( \alpha + h ), les points \text{M} et \text{M} ^ { \prime } ont la même ordonnée et la droite d'équation x = \alpha est bien un axe de symétrie pour \mathcal { P }.
4. Pour tout réel x , on a :
a \left( x - x _ { 1 } \right) \left( x - x _ { 2 } \right) = a \left( x ^ { 2 } - x _ { 1 } x - x _ { 2 } x + x _ { 1 } x _ { 2 } \right)
= a \left[ x ^ { 2 } - \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } \right) x + x _ { 1 } x _ { 2 } \right]
= a x ^ { 2 } - a \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } \right) x + a x _ { 1 } x _ { 2 }
= a x ^ { 2 } + b x + c avec :
a \neq 0,
b = - a \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } \right),
c = a x _ { 1 } x _ { 2 }.
f est bien une fonction polynôme du second degré.
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\mathcal { P } n'admet pas de point d'intersection avec l'axe des abscisses si et seulement si l'équation f(x) = 0 n'admet pas de solution. Dans ce cas, f n'admet pas de forme factorisée.
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Exemple
f est la fonction polynôme définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = - 2 ( x + 1 ) ^ { 2 } + 3.
Le point \mathrm { S } ( - 1 \: ; 3 ) est le sommet de la parabole C _ { f }.
C _ { f } a pour axe de symétrie la droite d'équation x = -1 .
C _ { f } a pour axe de symétrie la droite d'équation x = -1 .
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Application et méthode
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Énoncé
Voici la représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré f définie sur \mathbb { R }.
Sans résoudre de système, déterminer une expression de f .
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Solution
Cas 1. On connaît les points \mathrm { S } ( - 1 \: ; - 8 ) et \mathrm { A } ( 0 \: ; - 6 ) \: : on utilise la forme canonique.
Donc \alpha = - 1 et \beta = - 8.
f a pour expression f(x) = a(x + 1)^2 - 8 .
Cas 2. On connaît les points \mathrm { D } ( - 3 \: ; 0 ) et \mathrm { C } ( 1 \: ; 0 ) \: : on utilise la forme factorisée.
Donc x _ { 1 } = - 3 et x _ { 2 } = 1.
f a pour expression f(x) = a(x + 3)(x - 1).
Pour finir, on utilise f(0) = -6 pour déterminer a = 2 .
Donc \alpha = - 1 et \beta = - 8.
f a pour expression f(x) = a(x + 1)^2 - 8 .
Cas 2. On connaît les points \mathrm { D } ( - 3 \: ; 0 ) et \mathrm { C } ( 1 \: ; 0 ) \: : on utilise la forme factorisée.
Donc x _ { 1 } = - 3 et x _ { 2 } = 1.
f a pour expression f(x) = a(x + 3)(x - 1).
Pour finir, on utilise f(0) = -6 pour déterminer a = 2 .
Pour s'entraîner
Exercice p .62
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- Choisir l'expression de f selon les critères suivants. Si on connaît les coordonnées :
- du sommet et d'un point de la courbe quelconque : forme canonique ;
- des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses et d'un autre point : forme factorisée ;
- du point d'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées et de deux autres points : forme développée.
- Écrire et résoudre l'équation ou le système d'équations.
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
